Theorem fourierdlem100 40423

Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierlemiblglemlem.p	|- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem100.t	|- T = ( B - A )
fourierdlem100.m	|- ( ph -> M e. NN )
fourierdlem100.q	|- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
fourierdlem100.f	|- ( ph -> F : RR --> CC )
fourierdlem100.per	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
fourierdlem100.fcn	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem100.r	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
fourierdlem100.l	|- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
fourierdlem100.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem100.d	|- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
fourierdlem100.o	|- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
fourierdlem100.n	|- N = ( ( # ` H ) - 1 )
fourierdlem100.h	|- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
fourierdlem100.s	|- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
fourierdlem100.e	|- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
fourierdlem100.j	|- J = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
fourierdlem100.i	|- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem100	|- ( ph -> ( x e. ( C [,] D ) |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )

Distinct variable groups:   x, k   A, f, k, y   A, i, x, k, y   A, m, p, i   B, f, k, y   B, i, x   B, m, p   C, f, y   C, i, m, p   x, C   D, f, y   D, i, m, p   x, D   f, E, k, y   i, E, x   i, F, x, y   f, H, y   x, H   f, I, k, y   i, I, x   i, J, x, y   x, L, y   i, M, m, p   x, M, y   f, N, k, y   i, N, x   m, N, p   Q, f, k, y   Q, i, x   Q, p   x, R, y   S, f, k, y   S, i, x   S, p   T, f, k, y   T, i, x   ph, f, k, y   ph, i, x

Allowed substitution hints:   ph( m, p)   C( k)   D( k)   P( x, y, f, i, k, m, p)   Q( m)   R( f, i, k, m, p)   S( m)   T( m, p)   E( m, p)   F( f, k, m, p)   H( i, k, m, p)   I( m, p)   J( f, k, m, p)   L( f, i, k, m, p)   M( f, k)   O( x, y, f, i, k, m, p)

Proof of Theorem fourierdlem100

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem100.f	. . 3 |- ( ph -> F : RR --> CC )
2		fourierdlem100.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
3		fourierdlem100.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( C (,) +oo ) )
4		elioore 12205	. . . . 5 |- ( D e. ( C (,) +oo ) -> D e. RR )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> D e. RR )
6	2, 5	iccssred 39727	. . 3 |- ( ph -> ( C [,] D ) C_ RR )
7	1, 6	feqresmpt 6250	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] D ) ) = ( x e. ( C [,] D ) |-> ( F ` x ) ) )
8		fourierdlem100.o	. . . 4 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
9		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( p ` i ) = ( p ` j ) )
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( i + 1 ) = ( j + 1 ) )
11	10	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( p ` ( i + 1 ) ) = ( p ` ( j + 1 ) ) )
12	9, 11	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) <-> ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) )
13	12	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) <-> A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) )
14	13	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) )
15	14	a1i 11	. . . . . 6 |- ( p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) -> ( ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) <-> ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) ) )
16	15	rabbiia 3185	. . . . 5 |- { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } = { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) }
17	16	mpteq2i 4741	. . . 4 |- ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } ) = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } )
18	8, 17	eqtri 2644	. . 3 |- O = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = C /\ ( p ` m ) = D ) /\ A. j e. ( 0..^ m ) ( p ` j ) < ( p ` ( j + 1 ) ) ) } )
19		fourierdlem100.t	. . . . . 6 |- T = ( B - A )
20		fourierlemiblglemlem.p	. . . . . 6 |- P = ( m e. NN |-> { p e. ( RR ^m ( 0 ... m ) ) | ( ( ( p ` 0 ) = A /\ ( p ` m ) = B ) /\ A. i e. ( 0..^ m ) ( p ` i ) < ( p ` ( i + 1 ) ) ) } )
21		fourierdlem100.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. NN )
22		fourierdlem100.q	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. ( P ` M ) )
23		elioo4g 12234	. . . . . . . . 9 |- ( D e. ( C (,) +oo ) <-> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
24	3, 23	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( C e. RR* /\ +oo e. RR* /\ D e. RR ) /\ ( C < D /\ D < +oo ) ) )
25	24	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C < D /\ D < +oo ) )
26	25	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> C < D )
27		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> y = x )
28	19	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B - A ) = T
29	28	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T )
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( k x. ( B - A ) ) = ( k x. T ) )
31	27, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) = ( x + ( k x. T ) ) )
32	31	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y = x -> ( ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
33	32	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = x -> ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q ) )
34	33	cbvrabv 3199	. . . . . . 7 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } = { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q }
35	34	uneq2i 3764	. . . . . 6 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { x e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
36		fourierdlem100.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( # ` H ) - 1 )
37		fourierdlem100.h	. . . . . . . . . 10 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } )
38	29	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k x. T ) = ( k x. ( B - A ) )
39	38	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. ( B - A ) ) )
40	39	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
41	40	rexbii 3041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
42	41	rgenw 2924	. . . . . . . . . . . 12 |- A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q )
43		rabbi 3120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( C [,] D ) ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q ) <-> { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
44	42, 43	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } = { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q }
45	44	uneq2i 3764	. . . . . . . . . 10 |- ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. ran Q } ) = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
46	37, 45	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } )
47	46	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( # ` H ) = ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) )
48	47	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( # ` H ) - 1 ) = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
49	36, 48	eqtri 2644	. . . . . 6 |- N = ( ( # ` ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) - 1 )
50		fourierdlem100.s	. . . . . . 7 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) )
51		isoeq5 6571	. . . . . . . . 9 |- ( H = ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) -> ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
52	46, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) <-> f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
53	52	iotabii 5873	. . . . . . 7 |- ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , H ) ) = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
54	50, 53	eqtri 2644	. . . . . 6 |- S = ( iota f f Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) )
55	19, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54	fourierdlem54 40377	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) /\ S Isom < , < ( ( 0 ... N ) , ( { C , D } u. { y e. ( C [,] D ) | E. k e. ZZ ( y + ( k x. ( B - A ) ) ) e. ran Q } ) ) ) )
56	55	simpld 475	. . . 4 |- ( ph -> ( N e. NN /\ S e. ( O ` N ) ) )
57	56	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
58	56	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> S e. ( O ` N ) )
59	1, 6	fssresd 6071	. . 3 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] D ) ) : ( C [,] D ) --> CC )
60		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) )
61	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C e. RR )
62	61	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> C e. RR* )
63	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> D e. ( C (,) +oo ) )
64	63, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> D e. RR )
65	64	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> D e. RR* )
66	8, 57, 58	fourierdlem15 40339	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> S : ( 0 ... N ) --> ( C [,] D ) )
68		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> j e. ( 0..^ N ) )
69	62, 65, 67, 68	fourierdlem8 40332	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) [,] ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
70	60, 69	syl5ss 3614	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) C_ ( C [,] D ) )
71	70	resabs1d 5428	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
72	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> M e. NN )
73	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> Q e. ( P ` M ) )
74	1	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> F : RR --> CC )
75		fourierdlem100.per	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
76	75	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ x e. RR ) -> ( F ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
77		fourierdlem100.fcn	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
78	77	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
79		fourierdlem100.e	. . . . 5 |- E = ( x e. RR |-> ( x + ( ( |_ ` ( ( B - x ) / T ) ) x. T ) ) )
80		fourierdlem100.j	. . . . 5 |- J = ( y e. ( A (,] B ) |-> if ( y = B , A , y ) )
81		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
82		eqid 2622	. . . . 5 |- ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) = ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
83		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. ( ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) ) = ( y e. ( ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) (,) ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) + ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) |-> ( ( F |` ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) (,) ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ` ( y - ( ( S ` ( j + 1 ) ) - ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) ) )
84		fourierdlem100.i	. . . . 5 |- I = ( x e. RR |-> sup ( { i e. ( 0..^ M ) | ( Q ` i ) <_ ( J ` ( E ` x ) ) } , RR , < ) )
85	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84	fourierdlem90 40413	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
86	71, 85	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) e. ( ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) -cn-> CC ) )
87		fourierdlem100.r	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
88	87	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> R e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` i ) ) )
89		eqid 2622	. . . . 5 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> R ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> R )
90	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89	fourierdlem89 40412	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> R ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
91	71	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) = ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) = ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
93	90, 92	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) = ( Q ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> R ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( J ` ( E ` ( S ` j ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` j ) ) )
94		fourierdlem100.l	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
95	94	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> L e. ( ( F |` ( ( Q ` i ) (,) ( Q ` ( i + 1 ) ) ) ) lim CC ( Q ` ( i + 1 ) ) ) )
96		eqid 2622	. . . . 5 |- ( i e. ( 0..^ M ) |-> L ) = ( i e. ( 0..^ M ) |-> L )
97	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96	fourierdlem91 40414	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> L ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
98	91	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> ( ( F |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
99	97, 98	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. ( 0..^ N ) ) -> if ( ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) = ( Q ` ( ( I ` ( S ` j ) ) + 1 ) ) , ( ( i e. ( 0..^ M ) |-> L ) ` ( I ` ( S ` j ) ) ) , ( F ` ( E ` ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) ) e. ( ( ( F |` ( C [,] D ) ) |` ( ( S ` j ) (,) ( S ` ( j + 1 ) ) ) ) lim CC ( S ` ( j + 1 ) ) ) )
100	18, 57, 58, 59, 86, 93, 99	fourierdlem69 40392	. 2 |- ( ph -> ( F |` ( C [,] D ) ) e. L^1 )
101	7, 100	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. ( C [,] D ) |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   iotacio 5849   -->wf 5884   ` cfv 5888   Isom wiso 5889  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZcz 11377   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   #chash 13117   -cn->ccncf 22679   L^1cibl 23386   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  fourierdlem105  40428