Theorem fourierdlem40 40364

Description: H is a continuous function on any partition interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem40.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem40.a	|- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.b	|- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
fourierdlem40.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem40.nxelab	|- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
fourierdlem40.fcn	|- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
fourierdlem40.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem40.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem40.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem40	|- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Distinct variable groups:   A, s   B, s   F, s   W, s   X, s   Y, s   ph, s

Allowed substitution hint:   H( s)

Proof of Theorem fourierdlem40

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem40.h	. . . . 5 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
2	1	reseq1i 5392	. . . 4 |- ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) )
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
4		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
5	4	renegcli 10342	. . . . . . . 8 |- -u pi e. RR
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi e. RR )
7	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> pi e. RR )
8		elioore 12205	. . . . . . . 8 |- ( s e. ( A (,) B ) -> s e. RR )
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
10	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> -u pi e. RR )
11	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi e. RR )
12	10, 11	iccssred 39727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
13		fourierdlem40.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. ( -u pi [,] pi ) )
14	12, 13	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
16	5, 4	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ -u pi <_ A /\ A <_ pi ) )
17	16	simp2bi 1077	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( -u pi [,] pi ) -> -u pi <_ A )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ A )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ A )
20	15	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR* )
21		fourierdlem40.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. ( -u pi [,] pi ) )
22	12, 21	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR )
23	22	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR* )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR* )
25		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( A (,) B ) )
26		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
27	20, 24, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
28	6, 15, 9, 19, 27	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi < s )
29	6, 9, 28	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u pi <_ s )
30	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
31		iooltub 39735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
32	20, 24, 25, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
33	5, 4	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ -u pi <_ B /\ B <_ pi ) )
34	33	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( -u pi [,] pi ) -> B <_ pi )
35	21, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B <_ pi )
36	35	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ pi )
37	9, 30, 7, 32, 36	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < pi )
38	9, 7, 37	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s <_ pi )
39	6, 7, 9, 29, 38	eliccd 39726	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
40	39	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) ) )
41	40	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( -u pi [,] pi ) )
42	41	resmptd 5452	. . 3 |- ( ph -> ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) )
43		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( s = 0 -> ( s e. ( A (,) B ) <-> 0 e. ( A (,) B ) ) )
44	43	biimpac 503	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( A (,) B ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
45	44	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
46		fourierdlem40.nxelab	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
47	46	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) /\ s = 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
48	45, 47	pm2.65da 600	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s = 0 )
49	48	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
50		fourierdlem40.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : RR --> RR )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> F : RR --> RR )
52		fourierdlem40.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> X e. RR )
54	53, 9	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. RR )
55	51, 54	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
56		fourierdlem40.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. RR )
57		fourierdlem40.w	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> W e. RR )
58	56, 57	ifcld 4131	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
59	58	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
60	55, 59	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
61	60	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
62	9	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. CC )
63	48	neqned 2801	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s =/= 0 )
64	61, 62, 63	divrecd 10804	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
65	49, 64	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) )
66	65	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
67	3, 42, 66	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) )
68	55	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. CC )
69	59	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. CC )
70	68, 69	negsubd 10398	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) )
71	70	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) )
72	71	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) )
73	14, 52	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR )
74	73	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + X ) e. RR* )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) e. RR* )
76	22, 52	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR )
77	76	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + X ) e. RR* )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( B + X ) e. RR* )
79	14	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. CC )
80	52	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. CC )
81	79, 80	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A + X ) = ( X + A ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) = ( X + A ) )
83	15, 9, 53, 27	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + A ) < ( X + s ) )
84	82, 83	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( A + X ) < ( X + s ) )
85	9, 30, 53, 32	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( X + B ) )
86	22	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. CC )
87	80, 86	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X + B ) = ( B + X ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + B ) = ( B + X ) )
89	85, 88	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) < ( B + X ) )
90	75, 78, 54, 84, 89	eliood 39720	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) )
91		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( ( X + s ) e. ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) = ( F ` ( X + s ) ) )
93	92	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( F ` ( X + s ) ) = ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) )
94	93	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) )
95		ioosscn 39716	. . . . . . . 8 |- ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) C_ CC )
97		fourierdlem40.fcn	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) e. ( ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) -cn-> CC ) )
98		ioosscn 39716	. . . . . . . 8 |- ( A (,) B ) C_ CC
99	98	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
100	96, 97, 99, 80, 90	fourierdlem23 40347	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F |` ( ( A + X ) (,) ( B + X ) ) ) ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
101	94, 100	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( F ` ( X + s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
102		0red 10041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
103	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
104	8	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
105		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ A )
106	27	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> A < s )
107	102, 103, 104, 105, 106	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 < s )
108	107	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = Y )
109	108	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ 0 <_ A ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u Y )
110	109	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) )
111	56	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u Y e. RR )
112	111	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u Y e. CC )
113		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
114	113	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
115	99, 112, 114	constcncfg 40084	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u Y ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
117	110, 116	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
118	14	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR* )
119	118	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A e. RR* )
120	23	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR* )
121		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
122		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> -. 0 <_ A )
123	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A e. RR )
124		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> 0 e. RR )
125	123, 124	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( A < 0 <-> -. 0 <_ A ) )
126	122, 125	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> A < 0 )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> A < 0 )
128		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> -. B <_ 0 )
129		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. RR )
130	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> B e. RR )
131	129, 130	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> ( 0 < B <-> -. B <_ 0 ) )
132	128, 131	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
133	132	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 < B )
134	119, 120, 121, 127, 133	eliood 39720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> 0 e. ( A (,) B ) )
135	46	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) /\ -. B <_ 0 ) -> -. 0 e. ( A (,) B ) )
136	134, 135	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> B <_ 0 )
137	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. RR )
138		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
139	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B e. RR )
140	32	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < B )
141		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> B <_ 0 )
142	137, 139, 138, 140, 141	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s < 0 )
143	137, 138, 142	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. 0 < s )
144	143	iffalsed 4097	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> if ( 0 < s , Y , W ) = W )
145	144	negeqd 10275	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B <_ 0 ) /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -u if ( 0 < s , Y , W ) = -u W )
146	145	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) = ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) )
147	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. CC )
148	147	negcld 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u W e. CC )
149	99, 148, 114	constcncfg 40084	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
150	149	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u W ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
151	146, 150	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B <_ 0 ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
152	136, 151	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 <_ A ) -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
153	117, 152	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> -u if ( 0 < s , Y , W ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
154	101, 153	addcncf 40086	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) + -u if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
155	72, 154	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
156		eqid 2622	. . . 4 |- ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) = ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) )
157		1cnd 10056	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
158	156	cdivcncf 22720	. . . . 5 |- ( 1 e. CC -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( s e. ( CC \ { 0 } ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( CC \ { 0 } ) -cn-> CC ) )
160		velsn 4193	. . . . . . . 8 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
161	48, 160	sylnibr 319	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> -. s e. { 0 } )
162	62, 161	eldifd 3585	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> s e. ( CC \ { 0 } ) )
163	162	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
164		dfss3 3592	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) <-> A. s e. ( A (,) B ) s e. ( CC \ { 0 } ) )
165	163, 164	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( CC \ { 0 } ) )
166	9, 63	rereccld 10852	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. RR )
167	166	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / s ) e. CC )
168	156, 159, 165, 114, 167	cncfmptssg 40083	. . 3 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( 1 / s ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
169	155, 168	mulcncf 23215	. 2 |- ( ph -> ( s e. ( A (,) B ) |-> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( 1 / s ) ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
170	67, 169	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( H |` ( A (,) B ) ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   picpi 14797   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427