Theorem fourierdlem66 40389

Description: Value of the G function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem66.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem66.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem66.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem66.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem66.d	|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
fourierdlem66.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem66.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem66.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem66.s	|- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
fourierdlem66.g	|- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
fourierdlem66.a	|- A = ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem66	|- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( G ` s ) = ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, s   ph, s

Allowed substitution hints:   ph( n)   A( n, s)   D( n, s)   S( n, s)   U( n, s)   F( n, s)   G( n, s)   H( n, s)   K( n, s)   W( n, s)   X( n, s)   Y( n, s)

Proof of Theorem fourierdlem66

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem66.a	. . . . . . . 8 |- A = ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } )
2	1	eqimssi 3659	. . . . . . 7 |- A C_ ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } )
3		difss 3737	. . . . . . 7 |- ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) C_ ( -u pi [,] pi )
4	2, 3	sstri 3612	. . . . . 6 |- A C_ ( -u pi [,] pi )
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ ( -u pi [,] pi ) )
6	5	sselda 3603	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
7	6	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
8		fourierdlem66.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : RR --> RR )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F : RR --> RR )
10		fourierdlem66.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. RR )
12		fourierdlem66.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y e. RR )
14		fourierdlem66.w	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. RR )
15	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )
16		fourierdlem66.h	. . . . . . 7 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
17		fourierdlem66.k	. . . . . . 7 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
18		fourierdlem66.u	. . . . . . 7 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
19	9, 11, 13, 15, 16, 17, 18	fourierdlem55 40378	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
20	19	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> U : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
21	20, 7	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( U ` s ) e. RR )
22		nnre 11027	. . . . . . 7 |- ( n e. NN -> n e. RR )
23		fourierdlem66.s	. . . . . . . 8 |- S = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
24	23	fourierdlem5 40329	. . . . . . 7 |- ( n e. RR -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
25	22, 24	syl 17	. . . . . 6 |- ( n e. NN -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
26	25	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> S : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
27	26, 7	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( S ` s ) e. RR )
28	21, 27	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR )
29		fourierdlem66.g	. . . 4 |- G = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
30	29	fvmpt2 6291	. . 3 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) e. RR ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
31	7, 28, 30	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( G ` s ) = ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) )
32	8, 10, 12, 14, 16	fourierdlem9 40333	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
33	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
34	33, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( H ` s ) e. RR )
35	17	fourierdlem43 40367	. . . . . . . . 9 |- K : ( -u pi [,] pi ) --> RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> K : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
37	36, 6	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( K ` s ) e. RR )
38	34, 37	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
39	18	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
40	6, 38, 39	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
41		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 0 e. RR )
42	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> F : RR --> RR )
43	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> X e. RR )
44		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
45	44	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u pi e. RR
46		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( -u pi e. RR /\ pi e. RR ) -> ( -u pi [,] pi ) C_ RR )
47	45, 44, 46	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u pi [,] pi ) C_ RR
48	4	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. A -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
49	47, 48	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. A -> s e. RR )
50	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. RR )
51	43, 50	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( X + s ) e. RR )
52	42, 51	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( F ` ( X + s ) ) e. RR )
53	12, 14	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( 0 < s , Y , W ) e. RR )
55	52, 54	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. RR )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. A )
57	2, 56	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) )
58	57	eldifbd 3587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. s e. { 0 } )
59		velsn 4193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. { 0 } <-> s = 0 )
60	58, 59	sylnib 318	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> -. s = 0 )
61	60	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s =/= 0 )
62	55, 50, 61	redivcld 10853	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) e. RR )
63	41, 62	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR )
64	16	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) e. RR ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
65	6, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( H ` s ) = if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
66	60	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
67	65, 66	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( H ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) )
68		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 1 e. RR )
69		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 2 e. RR )
71	50	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( s / 2 ) e. RR )
72	71	resincld 14873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
73	70, 72	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
74		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 2 e. CC )
75	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
76		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 =/= 0
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> 2 =/= 0 )
78		fourierdlem44 40368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ s =/= 0 ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
79	6, 61, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
80	74, 75, 77, 79	mulne0d 10679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
81	50, 73, 80	redivcld 10853	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
82	68, 81	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR )
83	17	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) e. RR ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
84	6, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( K ` s ) = if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
85	60	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
86	84, 85	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( K ` s ) = ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
87	67, 86	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
88	55	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
89	50	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> s e. CC )
90	74, 75	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
91	88, 89, 90, 61, 80	dmdcan2d 10831	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) x. ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
92	40, 87, 91	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. A ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
93	92	adantlr 751	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( U ` s ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
94	22	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> n e. RR )
95		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> 1 e. RR )
96	95	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
97	94, 96	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
98	49	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> s e. RR )
99	97, 98	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
100	99	resincld 14873	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
101	23	fvmpt2 6291	. . . 4 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
102	7, 100, 101	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( S ` s ) = ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
103	93, 102	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( U ` s ) x. ( S ` s ) ) = ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) )
104	88	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) e. CC )
105	90	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
106	100	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. CC )
107	80	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
108	104, 105, 106, 107	div32d 10824	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
109	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> n e. RR )
110		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 2 ) e. RR
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
112	109, 111	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( n + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
113	49	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> s e. RR )
114	112, 113	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) e. RR )
115	114	resincld 14873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. RR )
116	115	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) e. CC )
117	69	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> 2 e. RR )
118	113	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( s / 2 ) e. RR )
119	118	resincld 14873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
120	117, 119	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. RR )
121	120	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) e. CC )
122		picn 24211	. . . . . . . . . 10 |- pi e. CC
123	122	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> pi e. CC )
124		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. A -> 2 e. CC )
125		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> ( s / 2 ) e. RR )
126		resincl 14870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( s / 2 ) e. RR -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
127	49, 125, 126	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. A -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. RR )
128	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. A -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
129	76	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. A -> 2 =/= 0 )
130		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) -> s =/= 0 )
131	130, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. A -> s =/= 0 )
132	48, 131, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. A -> ( sin ` ( s / 2 ) ) =/= 0 )
133	124, 128, 129, 132	mulne0d 10679	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. A -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
134	133	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) =/= 0 )
135		0re 10040	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR
136		pipos 24212	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
137	135, 136	gtneii 10149	. . . . . . . . . 10 |- pi =/= 0
138	137	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> pi =/= 0 )
139	116, 121, 123, 134, 138	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
140		2cnd 11093	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> 2 e. CC )
141	128	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( sin ` ( s / 2 ) ) e. CC )
142	140, 141, 123	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) x. pi ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. pi ) ) )
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
144	141, 123	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. pi ) = ( pi x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. pi ) ) = ( 2 x. ( pi x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
146	140, 123, 141	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) = ( 2 x. ( pi x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
147	145, 146	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( 2 x. ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
148	147	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( ( sin ` ( s / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
149	139, 143, 148	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
150	149	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( pi x. ( ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) / pi ) ) = ( pi x. ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
151	115, 120, 134	redivcld 10853	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. RR )
152	151	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) e. CC )
153	152, 123, 138	divcan2d 10803	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( pi x. ( ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) / pi ) ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
154		fourierdlem66.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
155	154	dirkerval2 40311	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` s ) = if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
156	49, 155	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( D ` n ) ` s ) = if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
157		fourierdlem24 40348	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. ( ( -u pi [,] pi ) \ { 0 } ) -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
158	157, 1	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. A -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
159	158	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. A -> -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
160	159	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
161	160	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
162	156, 161	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( D ` n ) ` s ) )
163	162	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( pi x. ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( pi x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
164	150, 153, 163	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( pi x. ( ( D ` n ) ` s ) ) )
165	164	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( pi x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
166	165	adantll 750	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( pi x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
167	122	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> pi e. CC )
168	154	dirkerre 40312	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN /\ s e. RR ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
169	49, 168	sylan2 491	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. RR )
170	169	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( n e. NN /\ s e. A ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
171	170	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( D ` n ) ` s ) e. CC )
172	104, 167, 171	mul12d 10245	. . 3 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( pi x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) = ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
173	108, 166, 172	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) x. ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) ) = ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )
174	31, 103, 173	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ s e. A ) -> ( G ` s ) = ( pi x. ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) x. ( ( D ` n ) ` s ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   [,]cicc 12178   mod cmo 12668   sincsin 14794   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem95  40418