Theorem fourierdlem77 40400

Description: If H is bounded, then U is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem77.f	|- ( ph -> F : RR --> RR )
fourierdlem77.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem77.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem77.w	|- ( ph -> W e. RR )
fourierdlem77.h	|- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
fourierdlem77.k	|- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
fourierdlem77.u	|- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
fourierdlem77.bd	|- ( ph -> E. a e. RR A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem77	|- ( ph -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b )

Distinct variable groups:   K, b, s   U, a, b   ph, a, s

Allowed substitution hints:   ph( b)   U( s)   F( s, a, b)   H( s, a, b)   K( a)   W( s, a, b)   X( s, a, b)   Y( s, a, b)

Proof of Theorem fourierdlem77

Dummy variables x c y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem77.bd	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )
2		pire 24210	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR
3	2	renegcli 10342	. . . . . . . . 9 |- -u pi e. RR
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> -u pi e. RR )
5	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> pi e. RR )
6		pirp 24213	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR+
7		neglt 39496	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi e. RR+ -> -u pi < pi )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- -u pi < pi
9	3, 2, 8	ltleii 10160	. . . . . . . . 9 |- -u pi <_ pi
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> -u pi <_ pi )
11		fourierdlem77.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 1 , ( s / ( 2 x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
12	11	fourierdlem62 40385	. . . . . . . . 9 |- K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR )
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> K e. ( ( -u pi [,] pi ) -cn-> RR ) )
14	4, 5, 10, 13	evthiccabs 39718	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( E. c e. ( -u pi [,] pi ) A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) /\ E. x e. ( -u pi [,] pi ) A. y e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` x ) ) <_ ( abs ` ( K ` y ) ) ) )
15	14	trud 1493	. . . . . 6 |- ( E. c e. ( -u pi [,] pi ) A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) /\ E. x e. ( -u pi [,] pi ) A. y e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` x ) ) <_ ( abs ` ( K ` y ) ) )
16	15	simpli 474	. . . . 5 |- E. c e. ( -u pi [,] pi ) A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) -> E. c e. ( -u pi [,] pi ) A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
18		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a e. RR )
19	11	fourierdlem43 40367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K : ( -u pi [,] pi ) --> RR
20	19	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. ( -u pi [,] pi ) -> ( K ` c ) e. RR )
21	20	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( K ` c ) e. RR )
22	18, 21	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( a x. ( K ` c ) ) e. RR )
23	22	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( a x. ( K ` c ) ) e. CC )
24	23	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) e. RR )
25	23	absge0d 14183	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) )
26	24, 25	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
27	26	3ad2antl2 1224	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
28	27	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) -> ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
29		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ s ph
30		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ s a e. RR
31		nfra1 2941	. . . . . . . . 9 |- F/ s A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a
32	29, 30, 31	nf3an 1831	. . . . . . . 8 |- F/ s ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )
33		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ s c e. ( -u pi [,] pi )
34		nfra1 2941	. . . . . . . 8 |- F/ s A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) )
35	32, 33, 34	nf3an 1831	. . . . . . 7 |- F/ s ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
36		simpl11 1136	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ph )
37		simpl12 1137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a e. RR )
38	36, 37	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ph /\ a e. RR ) )
39		simpl13 1138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )
40		rspa 2930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )
41	39, 40	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )
42		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> c e. ( -u pi [,] pi ) )
43	38, 41, 42	jca31 557	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) )
44		rspa 2930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
45	44	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
46		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
47		simp-5l 808	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ph )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> s e. ( -u pi [,] pi ) )
49		fourierdlem77.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : RR --> RR )
50		fourierdlem77.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> X e. RR )
51		fourierdlem77.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Y e. RR )
52		fourierdlem77.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> W e. RR )
53		fourierdlem77.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- H = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> if ( s = 0 , 0 , ( ( ( F ` ( X + s ) ) - if ( 0 < s , Y , W ) ) / s ) ) )
54	49, 50, 51, 52, 53	fourierdlem9 40333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> H : ( -u pi [,] pi ) --> RR )
55	54	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( H ` s ) e. RR )
56	19	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> ( K ` s ) e. RR )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( K ` s ) e. RR )
58	55, 57	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR )
59		fourierdlem77.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- U = ( s e. ( -u pi [,] pi ) |-> ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
60	59	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. ( -u pi [,] pi ) /\ ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) e. RR ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
61	48, 58, 60	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) = ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) )
62	61, 58	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) e. RR )
63	62	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( U ` s ) e. CC )
64	63	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) e. RR )
65	47, 64	sylancom 701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) e. RR )
66		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a e. RR )
67		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> c e. ( -u pi [,] pi ) )
68	66, 67, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) e. RR )
69		peano2re 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) e. RR )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) e. RR )
71	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) = ( abs ` ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
72	47, 71	sylancom 701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) = ( abs ` ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) )
73	55	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( H ` s ) e. CC )
74	73	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) e. RR )
75	47, 74	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) e. RR )
76		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. RR -> a e. CC )
77	76	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. RR -> ( abs ` a ) e. RR )
78	66, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` a ) e. RR )
79	56	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> ( K ` s ) e. CC )
80	79	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> ( abs ` ( K ` s ) ) e. RR )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( K ` s ) ) e. RR )
82	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c e. ( -u pi [,] pi ) -> ( K ` c ) e. CC )
83	82	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ( -u pi [,] pi ) -> ( abs ` ( K ` c ) ) e. RR )
84	67, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( K ` c ) ) e. RR )
85	73	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( H ` s ) ) )
86	47, 85	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( H ` s ) ) )
87	82	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c e. ( -u pi [,] pi ) -> 0 <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
88	67, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
89	74	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) e. RR )
90		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a e. RR )
91	77	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` a ) e. RR )
92		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a )
93	90	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a <_ ( abs ` a ) )
94	89, 90, 91, 92, 93	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) <_ ( abs ` a ) )
95	94	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( H ` s ) ) <_ ( abs ` a ) )
96		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) )
97	75, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96	lemul12bd 10967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( ( abs ` ( H ` s ) ) x. ( abs ` ( K ` s ) ) ) <_ ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( K ` c ) ) ) )
98	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( K ` s ) e. CC )
99	73, 98	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) = ( ( abs ` ( H ` s ) ) x. ( abs ` ( K ` s ) ) ) )
100	47, 99	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) = ( ( abs ` ( H ` s ) ) x. ( abs ` ( K ` s ) ) ) )
101	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> a e. CC )
102	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( K ` c ) e. CC )
103	101, 102	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( a e. RR /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) = ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( K ` c ) ) ) )
104	66, 67, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) = ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( K ` c ) ) ) )
105	97, 100, 104	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( ( H ` s ) x. ( K ` s ) ) ) <_ ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) )
106	72, 105	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) )
107	68	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) < ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) )
108	65, 68, 70, 106, 107	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) < ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) )
109	65, 70, 108	ltled 10185	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) ) /\ ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) )
110	43, 45, 46, 109	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) /\ s e. ( -u pi [,] pi ) ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) )
111	110	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) -> ( s e. ( -u pi [,] pi ) -> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) ) )
112	35, 111	ralrimi 2957	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) -> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) )
113		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( b = ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) -> ( ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b <-> ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) ) )
114	113	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( b = ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) -> ( A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b <-> A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) ) )
115	114	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) e. RR+ /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ ( ( abs ` ( a x. ( K ` c ) ) ) + 1 ) ) -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b )
116	28, 112, 115	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) /\ c e. ( -u pi [,] pi ) /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) ) -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b )
117	116	rexlimdv3a 3033	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) -> ( E. c e. ( -u pi [,] pi ) A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( K ` s ) ) <_ ( abs ` ( K ` c ) ) -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b ) )
118	17, 117	mpd 15	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR /\ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a ) -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b )
119	118	rexlimdv3a 3033	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( H ` s ) ) <_ a -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b ) )
120	1, 119	mpd 15	1 |- ( ph -> E. b e. RR+ A. s e. ( -u pi [,] pi ) ( abs ` ( U ` s ) ) <_ b )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   abscabs 13974   sincsin 14794   picpi 14797   -cn->ccncf 22679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-t1 21118  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fourierdlem87  40410