Theorem vonicclem1 40897

Description: The sequence of the measures of the half-open intervals converges to the measure of their intersection. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonicclem1.x	|- ( ph -> X e. Fin )
vonicclem1.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
vonicclem1.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
vonicclem1.u	|- ( ph -> X =/= (/) )
vonicclem1.t	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( B ` k ) )
vonicclem1.c	|- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
vonicclem1.d	|- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
vonicclem1.s	|- S = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
vonicclem1	|- ( ph -> S ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, n   C, k   k, X, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   B( k)   C( n)   D( k, n)   S( k, n)

Proof of Theorem vonicclem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonicclem1.s	. . . 4 |- S = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) )
3		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
4		vonicclem1.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) )
6		vonicclem1.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X e. Fin )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
8		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- dom (voln ` X ) = dom (voln ` X )
9		vonicclem1.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : X --> RR )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : X --> RR )
11		vonicclem1.b	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B : X --> RR )
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
13	12	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
14		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
15	14	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
16	13, 15	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
18	16, 17	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR )
19		vonicclem1.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
21	6	mptexd 6487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
23	20, 22	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
24	23	feq1d 6030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( C ` n ) : X --> RR <-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR ) )
25	18, 24	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) : X --> RR )
26	7, 8, 10, 25	hoimbl 40845	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) e. dom (voln ` X ) )
27	26	elexd 3214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) e. _V )
28	5, 27	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
29	3, 28	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) )
31		vonicclem1.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X =/= (/) )
32	31	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X =/= (/) )
33	3, 25	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) : X --> RR )
34		eqid 2622	. . . . . . 7 |- X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) )
35	7, 32, 10, 33, 34	vonn0hoi 40884	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) )
36	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
37	3, 36	syldanl 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
38	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) e. RR )
39		volico 40200	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( ( C ` n ) ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( ( C ` n ) ` k ) , ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
40	37, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = if ( ( A ` k ) < ( ( C ` n ) ` k ) , ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) )
41	3, 13	syldanl 735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
42		vonicclem1.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( B ` k ) )
43	42	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( B ` k ) )
44		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
45	44	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR+ )
46	45	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
47	41, 46	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) < ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
48	16	elexd 3214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) e. _V )
49	23, 48	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
50	3, 49	syldanl 735	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
51	47, 50	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) < ( ( C ` n ) ` k ) )
52	37, 41, 38, 43, 51	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( ( C ` n ) ` k ) )
53	52	iftrued 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> if ( ( A ` k ) < ( ( C ` n ) ` k ) , ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) , 0 ) = ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) )
54	40, 53	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) )
55	54	prodeq2dv 14653	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = prod_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) )
56	30, 35, 55	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = prod_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) )
57	49	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) = ( ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) - ( A ` k ) ) )
58	13	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. CC )
59	15	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. CC )
60	36	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. CC )
61	58, 59, 60	addsubd 10413	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) - ( A ` k ) ) = ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) )
62	57, 61	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) = ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) )
63	62	prodeq2dv 14653	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> prod_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) - ( A ` k ) ) = prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) )
64	56, 63	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) )
65	64	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) ) )
66	2, 65	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) ) )
67		nfv 1843	. . 3 |- F/ k ph
68	9	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
69	12, 68	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. RR )
70	69	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) e. CC )
71		eqid 2622	. . 3 |- ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) )
72	67, 6, 70, 71	fprodaddrecnncnv 40124	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) + ( 1 / n ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
73	66, 72	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> S ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635   volcvol 23232  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

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