Theorem vonioolem2 40895

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of open intervals. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonioolem2.x	|- ( ph -> X e. Fin )
vonioolem2.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
vonioolem2.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
vonioolem2.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
vonioolem2.t	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
vonioolem2.i	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
vonioolem2.c	|- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
vonioolem2.d	|- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
vonioolem2	|- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, k, n   C, k, n   D, n   n, I   k, X, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   D( k)   I( k)

Proof of Theorem vonioolem2

Dummy variables j m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vonioolem2.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
2	1	vonmea 40788	. . . 4 |- ( ph -> (voln ` X ) e. Meas )
3		1zzd 11408	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
4		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5	1	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- dom (voln ` X ) = dom (voln ` X )
7		vonioolem2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A : X --> RR )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : X --> RR )
9	8	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
10		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
11	10	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
12	9, 11	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
13		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
14	12, 13	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR )
15		vonioolem2.c	. . . . . . . . . 10 |- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
17	1	mptexd 6487	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
18	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
19	16, 18	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
20	19	feq1d 6030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( C ` n ) : X --> RR <-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR ) )
21	14, 20	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) : X --> RR )
22		vonioolem2.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR )
23	22	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B : X --> RR )
24	5, 6, 21, 23	hoimbl 40845	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom (voln ` X ) )
25		vonioolem2.d	. . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
26	24, 25	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> D : NN --> dom (voln ` X ) )
27		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ n e. NN )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( 1 / n ) = ( 1 / m ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) )
30	29	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
31	30	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
32	15, 31	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( m e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C = ( m e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) ) )
34		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( n + 1 ) ) )
35	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
36	35	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = ( n + 1 ) ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
39	38	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
40	5	mptexd 6487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) e. _V )
41	33, 37, 39, 40	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` ( n + 1 ) ) = ( k e. X |-> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
42		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
43	41, 42	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
44		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
45		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. RR )
46	45, 44	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. RR )
47		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
48		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) =/= 0 )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) =/= 0 )
50	44, 46, 49	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
52	9, 51	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. RR )
53	43, 52	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) e. RR )
54	53	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) e. RR* )
55		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
56	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
57	55, 56	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
58	57	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
59	45	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> n < ( n + 1 ) )
60		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
61	47	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. RR+ )
62	60, 61	ltrecd 11890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( 1 / ( n + 1 ) ) < ( 1 / n ) ) )
63	59, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( n + 1 ) ) < ( 1 / n ) )
64	50, 10, 63	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( 1 / n ) )
65	64	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( 1 / n ) )
66	51, 11, 9, 65	leadd2dd 10642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
67		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) e. _V )
68	19, 67	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
69	43, 68	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) <_ ( ( C ` n ) ` k ) <-> ( ( A ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
70	66, 69	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) <_ ( ( C ` n ) ` k ) )
71	56	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
72		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
73	71, 72	eqled 10140	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) <_ ( B ` k ) )
74		icossico 12243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) e. RR* /\ ( B ` k ) e. RR* ) /\ ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) <_ ( ( C ` n ) ` k ) /\ ( B ` k ) <_ ( B ` k ) ) ) -> ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
75	54, 58, 70, 73, 74	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
76	27, 75	ixpssixp 39269	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
77	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
78	24	elexd 3214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V )
79	77, 78	fvmpt2d 6293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( C ` n ) = ( C ` m ) )
81	80	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
83	82	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
84	83	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) = ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
85	25, 84	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- D = ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
86	85	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( C ` m ) = ( C ` ( n + 1 ) ) )
88	87	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( C ` m ) ` k ) = ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
90	89	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
91	90	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = ( n + 1 ) ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` m ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
92		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V
93	92	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V
94		ixpexg 7932	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V -> X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. _V )
97	86, 91, 39, 96	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` ( n + 1 ) ) = X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
98	79, 97	sseq12d 3634	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) C_ ( D ` ( n + 1 ) ) <-> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
99	76, 98	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) C_ ( D ` ( n + 1 ) ) )
100	1, 6, 7, 22	hoimbl 40845	. . . . 5 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom (voln ` X ) )
101		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ph
102	7	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
103	101, 1, 102, 56	vonhoire 40886	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
104		vonioolem2.i	. . . . . . 7 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) )
105	104	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
106		nftru 1730	. . . . . . . . 9 |- F/ k T.
107		ioossico 12262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
108	107	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
109	106, 108	ixpssixp 39269	. . . . . . . 8 |- ( T. -> X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
110	109	trud 1493	. . . . . . 7 |- X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) )
111	110	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
112	105, 111	eqsstrd 3639	. . . . 5 |- ( ph -> I C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
113	55	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR C_ RR* )
114	7, 113	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : X --> RR* )
115	22, 113	fssd 6057	. . . . . . 7 |- ( ph -> B : X --> RR* )
116	1, 6, 114, 115	ioovonmbl 40891	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) e. dom (voln ` X ) )
117	104, 116	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> I e. dom (voln ` X ) )
118	2, 100, 103, 112, 117	meassre 40694	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) e. RR )
119	2	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> (voln ` X ) e. Meas )
120	79, 24	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) e. dom (voln ` X ) )
121	117	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> I e. dom (voln ` X ) )
122	55, 102	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR* )
123	122	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR* )
124	60	rpreccld 11882	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR+ )
125	124	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR+ )
126	9, 125	ltaddrpd 11905	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) )
127		icossioo 12264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A ` k ) e. RR* /\ ( B ` k ) e. RR* ) /\ ( ( A ` k ) < ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) /\ ( B ` k ) <_ ( B ` k ) ) ) -> ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
128	123, 58, 126, 73, 127	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
129	27, 128	ixpssixp 39269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
130	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) )
131	130	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( ( C ` n ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) )
132	79, 131	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) )
133	104	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
134	132, 133	sseq12d 3634	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` n ) C_ I <-> X_ k e. X ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) ) )
135	129, 134	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) C_ I )
136	119, 6, 120, 121, 135	meassle 40680	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) <_ ( (voln ` X ) ` I ) )
137		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
138	2, 3, 4, 26, 99, 118, 136, 137	meaiuninc2 40699	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> ( (voln ` X ) ` U_ n e. NN ( D ` n ) ) )
139	101, 1, 102, 57	iunhoiioo 40890	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ n e. NN X_ k e. X ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) (,) ( B ` k ) ) )
140	132	iuneq2dv 4542	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ n e. NN ( D ` n ) = U_ n e. NN X_ k e. X ( ( ( A ` k ) + ( 1 / n ) ) [,) ( B ` k ) ) )
141	139, 140, 105	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ n e. NN ( D ` n ) = I )
142	141	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> I = U_ n e. NN ( D ` n ) )
143	142	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( (voln ` X ) ` U_ n e. NN ( D ` n ) ) )
144	143	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` U_ n e. NN ( D ` n ) ) = ( (voln ` X ) ` I ) )
145	138, 144	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> ( (voln ` X ) ` I ) )
146		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( D ` n ) = ( D ` m ) )
147	146	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( n = m -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) )
148	147	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) )
149	148	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) ) )
150		vonioolem2.n	. . . 4 |- ( ph -> X =/= (/) )
151		vonioolem2.t	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) < ( B ` k ) )
152	148	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
153		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m <-> m = n )
154	153	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = m -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) ) <-> ( m = n -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) ) )
155		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) <-> ( ( C ` m ) ` k ) = ( ( C ` n ) ` k ) )
156	155	imbi2i 326	. . . . . . . . 9 |- ( ( m = n -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) ) <-> ( m = n -> ( ( C ` m ) ` k ) = ( ( C ` n ) ` k ) ) )
157	154, 156	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( n = m -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) ) <-> ( m = n -> ( ( C ` m ) ` k ) = ( ( C ` n ) ` k ) ) )
158	81, 157	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( m = n -> ( ( C ` m ) ` k ) = ( ( C ` n ) ` k ) )
159	158	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( m = n -> ( ( B ` k ) - ( ( C ` m ) ` k ) ) = ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
160	159	prodeq2ad 39824	. . . . 5 |- ( m = n -> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` m ) ` k ) ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
161	160	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( m e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` m ) ` k ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( ( C ` n ) ` k ) ) )
162		eqid 2622	. . . 4 |- inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) = inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < )
163		eqid 2622	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) ) ) + 1 )
164		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( B ` j ) = ( B ` k ) )
165		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = k -> ( A ` j ) = ( A ` k ) )
166	164, 165	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = k -> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) = ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
167	166	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
168	167	rneqi 5352	. . . . . . . . 9 |- ran ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) = ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
169	168	infeq1i 8384	. . . . . . . 8 |- inf ( ran ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) , RR , < ) = inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < )
170	169	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( 1 / inf ( ran ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) , RR , < ) ) = ( 1 / inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) )
171	170	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) , RR , < ) ) ) = ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) ) )
172	171	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) , RR , < ) ) ) + 1 ) = ( ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) ) ) + 1 )
173	172	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( j e. X |-> ( ( B ` j ) - ( A ` j ) ) ) , RR , < ) ) ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( 1 / inf ( ran ( k e. X |-> ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) , RR , < ) ) ) + 1 ) )
174	1, 7, 22, 150, 151, 15, 25, 152, 161, 162, 163, 173	vonioolem1 40894	. . 3 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
175	149, 174	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
176		climuni 14283	. 2 |- ( ( ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> ( (voln ` X ) ` I ) /\ ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
177	145, 175, 176	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   |_cfl 12591   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635  Meascmea 40666  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-pws 16110  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-phl 19971  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969  df-rrx 23173  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

This theorem is referenced by:  vonioo  40896