Theorem vonicclem2 40898

Description: The n-dimensional Lebesgue measure of closed intervals. This is the second statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonicclem2.x	|- ( ph -> X e. Fin )
vonicclem2.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
vonicclem2.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
vonicclem2.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
vonicclem2.t	|- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( B ` k ) )
vonicclem2.i	|- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,] ( B ` k ) )
vonicclem2.c	|- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
vonicclem2.d	|- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
vonicclem2	|- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, n   B, k, n   C, k, n   D, n   n, I   k, X, n   ph, k, n

Allowed substitution hints:   D( k)   I( k)

Proof of Theorem vonicclem2

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . 4 |- F/ n ph
2		vonicclem2.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
3	2	vonmea 40788	. . . 4 |- ( ph -> (voln ` X ) e. Meas )
4		1zzd 11408	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
5		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
6	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X e. Fin )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- dom (voln ` X ) = dom (voln ` X )
8		vonicclem2.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A : X --> RR )
9	8	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A : X --> RR )
10		vonicclem2.b	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B : X --> RR )
11	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
12	11	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
13		nnrecre 11057	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
14	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / n ) e. RR )
15	12, 14	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
16		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
17	15, 16	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR )
18		vonicclem2.c	. . . . . . . . . 10 |- C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
19	18	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C = ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) ) )
20	2	mptexd 6487	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) e. _V )
22	19, 21	fvmpt2d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
23	22	feq1d 6030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( C ` n ) : X --> RR <-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) : X --> RR ) )
24	17, 23	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` n ) : X --> RR )
25	6, 7, 9, 24	hoimbl 40845	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) e. dom (voln ` X ) )
26		vonicclem2.d	. . . . 5 |- D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
27	25, 26	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> D : NN --> dom (voln ` X ) )
28		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ( ph /\ n e. NN )
29		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
30	8	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
31	29, 30	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR* )
32	31	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR* )
33		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) e. _V )
34	22, 33	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
35	34, 15	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) e. RR )
36	35	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) e. RR* )
37	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
38	37	leidd 10594	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( A ` k ) )
39		1red 10055	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> 1 e. RR )
40		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> n e. RR )
41	40, 39	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. RR )
42		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
43		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n + 1 ) e. NN -> ( n + 1 ) =/= 0 )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) =/= 0 )
45	39, 41, 44	redivcld 10853	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
46	45	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) e. RR )
47	40	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> n < ( n + 1 ) )
48		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
49	42	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. RR+ )
50	48, 49	ltrecd 11890	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( 1 / ( n + 1 ) ) < ( 1 / n ) ) )
51	47, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( n + 1 ) ) < ( 1 / n ) )
52	45, 13, 51	ltled 10185	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( 1 / n ) )
53	52	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( 1 / ( n + 1 ) ) <_ ( 1 / n ) )
54	46, 14, 12, 53	leadd2dd 10642	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( 1 / n ) = ( 1 / m ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) = ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) )
57	56	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
58	57	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) ) = ( m e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
59	18, 58	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- C = ( m e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> C = ( m e. NN |-> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) ) ) )
61		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( 1 / m ) = ( 1 / ( n + 1 ) ) )
62	61	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) = ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
63	62	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = ( n + 1 ) ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / m ) ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> n e. NN )
66	65	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
67	6	mptexd 6487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) e. _V )
68	60, 64, 66, 67	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( C ` ( n + 1 ) ) = ( k e. X |-> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) ) )
69		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) e. _V )
70	68, 69	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) = ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) )
71	70, 34	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) <_ ( ( C ` n ) ` k ) <-> ( ( B ` k ) + ( 1 / ( n + 1 ) ) ) <_ ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
72	54, 71	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) <_ ( ( C ` n ) ` k ) )
73		icossico 12243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A ` k ) e. RR* /\ ( ( C ` n ) ` k ) e. RR* ) /\ ( ( A ` k ) <_ ( A ` k ) /\ ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) <_ ( ( C ` n ) ` k ) ) ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
74	32, 36, 38, 72, 73	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
75	28, 74	ixpssixp 39269	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
76		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( C ` n ) = ( C ` m ) )
77	76	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` m ) ` k ) )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) )
79	78	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) )
80	79	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) = ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) )
81	26, 80	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- D = ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) )
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> D = ( m e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) ) )
83		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( C ` m ) = ( C ` ( n + 1 ) ) )
84	83	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( C ` m ) ` k ) = ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) )
85	84	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( n + 1 ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) )
86	85	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . 8 |- ( m = ( n + 1 ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) )
87	86	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ m = ( n + 1 ) ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` m ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) )
88		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) e. _V
89	88	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) e. _V
90		ixpexg 7932	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) e. _V -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) e. _V )
91	89, 90	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) e. _V
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) e. _V )
93	82, 87, 66, 92	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` ( n + 1 ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) )
94	26	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = ( n e. NN |-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) )
95	25	elexd 3214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) e. _V )
96	94, 95	fvmpt2d 6293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) )
97	93, 96	sseq12d 3634	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( D ` ( n + 1 ) ) C_ ( D ` n ) <-> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` ( n + 1 ) ) ` k ) ) C_ X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) ) )
98	75, 97	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` ( n + 1 ) ) C_ ( D ` n ) )
99		1nn 11031	. . . . . 6 |- 1 e. NN
100	99, 5	eleqtri 2699	. . . . 5 |- 1 e. ( ZZ>= ` 1 )
101	100	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 1 e. ( ZZ>= ` 1 ) )
102		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( C ` n ) = ( C ` 1 ) )
103	102	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( ( C ` n ) ` k ) = ( ( C ` 1 ) ` k ) )
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) )
105	104	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n = 1 ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) )
107	99	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. NN )
108		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) e. _V
109	108	rgenw 2924	. . . . . . . . 9 |- A. k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) e. _V
110		ixpexg 7932	. . . . . . . . 9 |- ( A. k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) e. _V -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) e. _V )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) e. _V
112	111	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) e. _V )
113	94, 106, 107, 112	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ph -> ( D ` 1 ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) )
114	113	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` ( D ` 1 ) ) = ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) ) )
115		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ k ph
116		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ph )
117	99	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> 1 e. NN )
118		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
119	99	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- 1 e. _V
120		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( n e. NN <-> 1 e. NN ) )
121	120	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> ( ( ph /\ n e. NN ) <-> ( ph /\ 1 e. NN ) ) )
122	121	anbi1d 741	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) <-> ( ( ph /\ 1 e. NN ) /\ k e. X ) ) )
123	103	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> ( ( ( C ` n ) ` k ) e. RR <-> ( ( C ` 1 ) ` k ) e. RR ) )
124	122, 123	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( n = 1 -> ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` n ) ` k ) e. RR ) <-> ( ( ( ph /\ 1 e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` 1 ) ` k ) e. RR ) ) )
125	119, 124, 35	vtocl 3259	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ 1 e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( C ` 1 ) ` k ) e. RR )
126	116, 117, 118, 125	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( C ` 1 ) ` k ) e. RR )
127	115, 2, 30, 126	vonhoire 40886	. . . . 5 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` 1 ) ` k ) ) ) e. RR )
128	114, 127	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` ( D ` 1 ) ) e. RR )
129		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
130	1, 3, 4, 5, 27, 98, 101, 128, 129	meaiininc 40701	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> ( (voln ` X ) ` |^|_ n e. NN ( D ` n ) ) )
131	115, 30, 11	iinhoiicc 40888	. . . . . . 7 |- ( ph -> |^|_ n e. NN X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,] ( B ` k ) ) )
132	34	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = ( ( A ` k ) [,) ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
133	132	ixpeq2dva 7923	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( C ` n ) ` k ) ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
134	96, 133	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( D ` n ) = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
135	134	iineq2dv 4543	. . . . . . 7 |- ( ph -> |^|_ n e. NN ( D ` n ) = |^|_ n e. NN X_ k e. X ( ( A ` k ) [,) ( ( B ` k ) + ( 1 / n ) ) ) )
136		vonicclem2.i	. . . . . . . 8 |- I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,] ( B ` k ) )
137	136	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> I = X_ k e. X ( ( A ` k ) [,] ( B ` k ) ) )
138	131, 135, 137	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ph -> |^|_ n e. NN ( D ` n ) = I )
139	138	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> I = |^|_ n e. NN ( D ` n ) )
140	139	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = ( (voln ` X ) ` |^|_ n e. NN ( D ` n ) ) )
141	140	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` |^|_ n e. NN ( D ` n ) ) = ( (voln ` X ) ` I ) )
142	130, 141	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> ( (voln ` X ) ` I ) )
143		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( D ` n ) = ( D ` m ) )
144	143	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( n = m -> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) = ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) )
145	144	cbvmptv 4750	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) )
146	145	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) ) )
147		vonicclem2.n	. . . 4 |- ( ph -> X =/= (/) )
148		vonicclem2.t	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( B ` k ) )
149	145	eqcomi 2631	. . . 4 |- ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) ) = ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) )
150	2, 8, 10, 147, 148, 18, 26, 149	vonicclem1 40897	. . 3 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` m ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
151	146, 150	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
152		climuni 14283	. 2 |- ( ( ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> ( (voln ` X ) ` I ) /\ ( n e. NN |-> ( (voln ` X ) ` ( D ` n ) ) ) ~~> prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) ) -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )
153	142, 151, 152	syl2anc 693	1 |- ( ph -> ( (voln ` X ) ` I ) = prod_ k e. X ( ( B ` k ) - ( A ` k ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ~~> cli 14215   prod_cprod 14635  volncvoln 40752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753

This theorem is referenced by:  vonicc  40899