Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem jm2.17c 37529
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N + 1 ) + 1 ) ) < ( ( 2 x. A ) ^ ( N + 1 ) ) )
Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 11090 . . . . . 6 |- 2 e. RR
2 eluzelre 11698 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
32adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. RR )
4 remulcl 10021 . . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
51, 3, 4sylancr 695 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
6 nnz 11399 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
76adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
87peano2zd 11485 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
9 frmy 37479 . . . . . . . 8 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
109fovcl 6765 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N + 1 ) ) e. ZZ )
1110zred 11482 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N + 1 ) ) e. RR )
128, 11syldan 487 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N + 1 ) ) e. RR )
135, 12remulcld 10070 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) e. RR )
14 nncn 11028 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
1514adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. CC )
16 ax-1cn 9994 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
17 pncan 10287 . . . . . . 7 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
1815, 16, 17sylancl 694 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( N + 1 ) - 1 ) = N )
1918oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) = ( A Yrm N ) )
209fovcl 6765 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
2120zred 11482 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
226, 21sylan2 491 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. RR )
2319, 22eqeltrd 2701 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) e. RR )
2413, 23resubcld 10458 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) e. RR )
25 nnnn0 11299 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2625adantl 482 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> N e. NN0 )
275, 26reexpcld 13025 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) ^ N ) e. RR )
285, 27remulcld 10070 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) e. RR )
29 rmy0 37494 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
3029adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
31 nngt0 11049 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < N )
3231adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < N )
33 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
34 0zd 11389 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 e. ZZ )
35 ltrmy 37519 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
3633, 34, 7, 35syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
3732, 36mpbid 222 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) )
3830, 37eqbrtrrd 4677 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm N ) )
3938, 19breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) )
4023, 13ltsubposd 10613 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 0 < ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) <-> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) < ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) ) )
4139, 40mpbid 222 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) < ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) )
42 jm2.17b 37528 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A Yrm ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) )
4325, 42sylan2 491 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) )
44 2nn 11185 . . . . . . . 8 |- 2 e. NN
45 eluz2nn 11726 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
46 nnmulcl 11043 . . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
4744, 45, 46sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 2 x. A ) e. NN )
4847nngt0d 11064 . . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < ( 2 x. A ) )
4948adantr 481 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 < ( 2 x. A ) )
50 lemul2 10876 . . . . 5 |- ( ( ( A Yrm ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. A ) ^ N ) e. RR /\ ( ( 2 x. A ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. A ) ) ) -> ( ( A Yrm ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) <-> ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) ) )
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1330 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. A ) ^ N ) <-> ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) ) )
5243, 51mpbid 222 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) )
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 10197 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) < ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) )
54 rmyluc2 37503 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N + 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( ( N + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
558, 54syldan 487 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N + 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) x. ( A Yrm ( N + 1 ) ) ) - ( A Yrm ( ( N + 1 ) - 1 ) ) ) )
565recnd 10068 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
5756, 26expp1d 13009 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. A ) ^ N ) x. ( 2 x. A ) ) )
5827recnd 10068 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) ^ N ) e. CC )
5958, 56mulcomd 10061 . . 3 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( ( 2 x. A ) ^ N ) x. ( 2 x. A ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) )
6057, 59eqtrd 2656 . 2 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( 2 x. A ) ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 x. A ) x. ( ( 2 x. A ) ^ N ) ) )
6153, 55, 603brtr4d 4685 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( ( N + 1 ) + 1 ) ) < ( ( 2 x. A ) ^ ( N + 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   Yrm crmy 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator