Theorem jm2.19 37560

Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) ) )

Proof of Theorem jm2.19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmyeq0 37520	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 <-> ( A Yrm N ) = 0 ) )
2	1	3adant2 1080	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 <-> ( A Yrm N ) = 0 ) )
3		0dvds 15002	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
4	3	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
5		frmy 37479	. . . . . . . 8 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
6	5	fovcl 6765	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
7	6	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
8		0dvds 15002	. . . . . 6 |- ( ( A Yrm N ) e. ZZ -> ( 0 || ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm N ) = 0 ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm N ) = 0 ) )
10	2, 4, 9	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( A Yrm N ) ) )
11	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( 0 || N <-> 0 || ( A Yrm N ) ) )
12		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> M = 0 )
13	12	breq1d 4663	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M || N <-> 0 || N ) )
14	12	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( A Yrm M ) = ( A Yrm 0 ) )
15		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		rmy0 37494	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
18	14, 17	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( A Yrm M ) = 0 )
19	18	breq1d 4663	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) <-> 0 || ( A Yrm N ) ) )
20	11, 13, 19	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M = 0 ) -> ( M || N <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) ) )
21	5	fovcl 6765	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
22	21	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
23		dvds0 14997	. . . . . . . 8 |- ( ( A Yrm M ) e. ZZ -> ( A Yrm M ) || 0 )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) || 0 )
25	16	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
26	24, 25	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) || ( A Yrm 0 ) )
27		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 -> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) = ( A Yrm 0 ) )
28	27	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm 0 ) ) )
29	26, 28	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 -> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
30	29	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 -> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
31		zre 11381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
32	31	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
33	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> N e. RR )
34		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
35	34	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. CC )
36	35	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> M e. CC )
37		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> M =/= 0 )
38	36, 37	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. RR+ )
39		modlt 12679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ ( abs ` M ) e. RR+ ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) < ( abs ` M ) )
40	33, 38, 39	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) < ( abs ` M ) )
41		simpll1 1100	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
42		simpll3 1102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> N e. ZZ )
43		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> M e. ZZ )
44		nnabscl 14065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
45	43, 37, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN )
46	42, 45	zmodcld 12691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) e. NN0 )
47		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ZZ -> ( abs ` M ) e. NN0 )
48	47	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( abs ` M ) e. NN0 )
49	48	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. NN0 )
50		ltrmynn0 37515	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) e. NN0 /\ ( abs ` M ) e. NN0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) < ( abs ` M ) <-> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) < ( A Yrm ( abs ` M ) ) ) )
51	41, 46, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) < ( abs ` M ) <-> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) < ( A Yrm ( abs ` M ) ) ) )
52	40, 51	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) < ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
53	46	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) e. ZZ )
54		rmyabs 37525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) = ( A Yrm ( abs ` ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
55	41, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) = ( A Yrm ( abs ` ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
56	33, 38	modcld 12674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) e. RR )
57		modge0 12678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ ( abs ` M ) e. RR+ ) -> 0 <_ ( N mod ( abs ` M ) ) )
58	33, 38, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> 0 <_ ( N mod ( abs ` M ) ) )
59	56, 58	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( N mod ( abs ` M ) ) ) = ( N mod ( abs ` M ) ) )
60	59	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( A Yrm ( abs ` ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) = ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) )
61	55, 60	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) = ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) )
62		rmyabs 37525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
63	41, 43, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) = ( A Yrm ( abs ` M ) ) )
64	52, 61, 63	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) < ( abs ` ( A Yrm M ) ) )
65	5	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) e. ZZ )
66	41, 53, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) e. ZZ )
67		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) e. ZZ -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) e. NN0 )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) e. NN0 )
69	68	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) e. RR )
70	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
71		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A Yrm M ) e. ZZ -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. NN0 )
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. NN0 )
73	72	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) e. RR )
74	69, 73	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) < ( abs ` ( A Yrm M ) ) <-> -. ( abs ` ( A Yrm M ) ) <_ ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) ) )
75	64, 74	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> -. ( abs ` ( A Yrm M ) ) <_ ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
76		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 )
77		rmyeq0 37520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) e. ZZ ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 <-> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) = 0 ) )
78	41, 53, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 <-> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) = 0 ) )
79	78	necon3bid 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 <-> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) =/= 0 ) )
80	76, 79	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) =/= 0 )
81		dvdsleabs2 15034	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A Yrm M ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) <_ ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) ) )
82	70, 66, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) -> ( abs ` ( A Yrm M ) ) <_ ( abs ` ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) ) )
83	75, 82	mtod 189	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) /\ ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 ) -> -. ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) )
84	83	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) =/= 0 -> -. ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
85	84	necon4ad 2813	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 ) )
86	30, 85	impbid 202	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
87		simpl2 1065	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> M e. ZZ )
88		simpl3 1066	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> N e. ZZ )
89		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> M =/= 0 )
90		dvdsabsmod0 37554	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 ) )
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( N mod ( abs ` M ) ) = 0 ) )
92		simpl1 1064	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
93	32	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> N e. RR )
94		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
95	94	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
96	95	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> M e. RR )
97		modabsdifz 37553	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ M e. RR /\ M =/= 0 ) -> ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) e. ZZ )
98	93, 96, 89, 97	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) e. ZZ )
99	98	znegcld 11484	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) e. ZZ )
100		jm2.19lem4 37559	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N + ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) ) ) )
101	92, 87, 88, 99, 100	syl121anc 1331	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N + ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) ) ) )
102	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. CC )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> N e. CC )
104	35	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> M e. CC )
105	104, 89	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( abs ` M ) e. RR+ )
106	93, 105	modcld 12674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) e. RR )
107	106	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) e. CC )
108	103, 107	subcld 10392	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) e. CC )
109	108, 104, 89	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) e. CC )
110	109, 104	mulneg1d 10483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) = -u ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N + ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) = ( N + -u ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) )
112	109, 104	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) e. CC )
113	103, 112	negsubd 10398	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N + -u ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) = ( N - ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) )
114	108, 104, 89	divcan1d 10802	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) = ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) )
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N - ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) = ( N - ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
116	103, 107	nncand 10397	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N - ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) = ( N mod ( abs ` M ) ) )
117	115, 116	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N - ( ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) = ( N mod ( abs ` M ) ) )
118	111, 113, 117	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( N mod ( abs ` M ) ) = ( N + ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) )
119	118	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) = ( A Yrm ( N + ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) ) )
120	119	breq2d 4665	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N + ( -u ( ( N - ( N mod ( abs ` M ) ) ) / M ) x. M ) ) ) ) )
121	101, 120	bitr4d 271	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm ( N mod ( abs ` M ) ) ) ) )
122	86, 91, 121	3bitr4d 300	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ M =/= 0 ) -> ( M || N <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) ) )
123	20, 122	pm2.61dane 2881	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M || N <-> ( A Yrm M ) || ( A Yrm N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   mod cmo 12668   abscabs 13974   || cdvds 14983   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  37564