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Theorem jm2.20nn 37564
Description: Lemma 2.20 of [JonesMatijasevic] p. 696, the "first step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.20nn |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) <-> ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) )
Proof of Theorem jm2.20nn
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2 nnz 11399 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
323ad2ant3 1084 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. ZZ )
4 frmy 37479 . . . . . . . . . . 11 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
54fovcl 6765 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
61, 3, 5syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
76zcnd 11483 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
87adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm N ) e. CC )
98sqvald 13005 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) = ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) )
10 zsqcl 12934 . . . . . . . . 9 |- ( ( A Yrm N ) e. ZZ -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ )
116, 10syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ )
1211adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ )
13 frmx 37478 . . . . . . . . . . . 12 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
1413fovcl 6765 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
151, 3, 14syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
1615nn0zd 11480 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
1716adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
187sqvald 13005 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) = ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) )
1918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) = ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) )
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) )
2119, 20eqbrtrrd 4677 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( A Yrm M ) )
22 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
23223ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. ZZ )
244fovcl 6765 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
251, 23, 24syl2anc 693 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
26 muldvds1 15006 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( A Yrm M ) -> ( A Yrm N ) || ( A Yrm M ) ) )
276, 6, 25, 26syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( A Yrm M ) -> ( A Yrm N ) || ( A Yrm M ) ) )
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( A Yrm M ) -> ( A Yrm N ) || ( A Yrm M ) ) )
2921, 28mpd 15 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm N ) || ( A Yrm M ) )
30 simpl1 1064 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> N e. ZZ )
3223adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> M e. ZZ )
33 jm2.19 37560 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N || M <-> ( A Yrm N ) || ( A Yrm M ) ) )
3430, 31, 32, 33syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( N || M <-> ( A Yrm N ) || ( A Yrm M ) ) )
3529, 34mpbird 247 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> N || M )
36 simpl2 1065 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> M e. NN )
37 simpl3 1066 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> N e. NN )
38 nndivdvds 14989 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
3936, 37, 38syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( N || M <-> ( M / N ) e. NN ) )
4035, 39mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( M / N ) e. NN )
41 nnm1nn0 11334 . . . . . . . . 9 |- ( ( M / N ) e. NN -> ( ( M / N ) - 1 ) e. NN0 )
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( M / N ) - 1 ) e. NN0 )
43 zexpcl 12875 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( M / N ) - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) e. ZZ )
4417, 42, 43syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) e. ZZ )
4540nnzd 11481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( M / N ) e. ZZ )
466adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm N ) e. ZZ )
4745, 46zmulcld 11488 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ )
4825adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
49 nncn 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> M e. CC )
50493ad2ant2 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> M e. CC )
51 nncn 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. CC )
52513ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> N e. CC )
53 nnne0 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
54533ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
5550, 52, 54divcan2d 10803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
5655oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) = ( A Yrm M ) )
5756, 25eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) e. ZZ )
5857adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) e. ZZ )
5944, 46zmulcld 11488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ )
6045, 59zmulcld 11488 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ )
6158, 60zsubcld 11487 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ )
62 3nn0 11310 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
6362a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 3 e. NN0 )
64 zexpcl 12875 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ 3 e. NN0 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
656, 63, 64syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
6665adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ )
67 2nn0 11309 . . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 2 e. NN0 )
69 3z 11410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ZZ
70 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
71 3re 11094 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. RR
72 2lt3 11195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 < 3
7370, 71, 72ltleii 10160 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 <_ 3
74 2z 11409 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
7574eluz1i 11695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 3 e. ZZ /\ 2 <_ 3 ) )
7669, 73, 75mpbir2an 955 . . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. ( ZZ>= ` 2 )
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
78 dvdsexp 15049 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ 2 e. NN0 /\ 3 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) )
796, 68, 77, 78syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) )
8079adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) )
81 jm2.23 37563 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ ( M / N ) e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
8230, 31, 40, 81syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
83 dvdstr 15018 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
8483imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
8512, 66, 61, 80, 82, 84syl32anc 1334 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
86 dvds2sub 15016 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) ) )
8786imp 445 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
8812, 48, 61, 20, 85, 87syl32anc 1334 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
8955adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( N x. ( M / N ) ) = M )
9089oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) = ( A Yrm M ) )
9190oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) = ( ( A Yrm M ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
9291oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) = ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm M ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
9325zcnd 11483 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
9493adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm M ) e. CC )
9560zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. CC )
9694, 95nncand 10397 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm M ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) = ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
9745zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( M / N ) e. CC )
9844zcnd 11483 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) e. CC )
9997, 98, 8mul12d 10245 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
10096, 99eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm M ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
10192, 100eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm M ) - ( ( A Yrm ( N x. ( M / N ) ) ) - ( ( M / N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
10288, 101breqtrd 4679 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
103 gcdcom 15235 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( A Xrm N ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm N ) gcd ( A Xrm N ) ) = ( ( A Xrm N ) gcd ( A Yrm N ) ) )
1046, 16, 103syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) gcd ( A Xrm N ) ) = ( ( A Xrm N ) gcd ( A Yrm N ) ) )
105 jm2.19lem1 37556 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) gcd ( A Yrm N ) ) = 1 )
1061, 3, 105syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Xrm N ) gcd ( A Yrm N ) ) = 1 )
107104, 106eqtrd 2656 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) gcd ( A Xrm N ) ) = 1 )
108107adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) gcd ( A Xrm N ) ) = 1 )
10967a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> 2 e. NN0 )
110 rpexp12i 15434 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( 2 e. NN0 /\ ( ( M / N ) - 1 ) e. NN0 ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) gcd ( A Xrm N ) ) = 1 -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) gcd ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) ) = 1 ) )
11146, 17, 109, 42, 110syl112anc 1330 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) gcd ( A Xrm N ) ) = 1 -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) gcd ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) ) = 1 ) )
112108, 111mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) gcd ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) ) = 1 )
113 coprmdvds 15366 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) gcd ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) ) = 1 ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
114113imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) x. ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) gcd ( ( A Xrm N ) ^ ( ( M / N ) - 1 ) ) ) = 1 ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) )
11512, 44, 47, 102, 112, 114syl32anc 1334 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) )
1169, 115eqbrtrrd 4677 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) )
117 rmy0 37494 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
1181173ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
119 nngt0 11049 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> 0 < N )
1201193ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < N )
121 0zd 11389 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 e. ZZ )
122 ltrmy 37519 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
1231, 121, 3, 122syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( 0 < N <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) ) )
124120, 123mpbid 222 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm N ) )
125118, 124eqbrtrrd 4677 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> 0 < ( A Yrm N ) )
126 elnnz 11387 . . . . . . . . 9 |- ( ( A Yrm N ) e. NN <-> ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ 0 < ( A Yrm N ) ) )
1276, 125, 126sylanbrc 698 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) e. NN )
128 nnne0 11053 . . . . . . . 8 |- ( ( A Yrm N ) e. NN -> ( A Yrm N ) =/= 0 )
129127, 128syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm N ) =/= 0 )
130129adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm N ) =/= 0 )
131 dvdsmulcr 15011 . . . . . 6 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm N ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) <-> ( A Yrm N ) || ( M / N ) ) )
13246, 45, 46, 130, 131syl112anc 1330 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) || ( ( M / N ) x. ( A Yrm N ) ) <-> ( A Yrm N ) || ( M / N ) ) )
133116, 132mpbid 222 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( A Yrm N ) || ( M / N ) )
13454adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> N =/= 0 )
135 dvdscmulr 15010 . . . . 5 |- ( ( ( A Yrm N ) e. ZZ /\ ( M / N ) e. ZZ /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( ( N x. ( A Yrm N ) ) || ( N x. ( M / N ) ) <-> ( A Yrm N ) || ( M / N ) ) )
13646, 45, 31, 134, 135syl112anc 1330 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( N x. ( A Yrm N ) ) || ( N x. ( M / N ) ) <-> ( A Yrm N ) || ( M / N ) ) )
137133, 136mpbird 247 . . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( N x. ( A Yrm N ) ) || ( N x. ( M / N ) ) )
138137, 89breqtrd 4679 . 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) -> ( N x. ( A Yrm N ) ) || M )
13911adantr 481 . . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ )
1403, 6zmulcld 11488 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( N x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ )
1414fovcl 6765 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ )
1421, 140, 141syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ )
143142adantr 481 . . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ )
14425adantr 481 . . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
145 nnm1nn0 11334 . . . . . . . . 9 |- ( ( A Yrm N ) e. NN -> ( ( A Yrm N ) - 1 ) e. NN0 )
146127, 145syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) - 1 ) e. NN0 )
147 zexpcl 12875 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) e. ZZ )
14816, 146, 147syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) e. ZZ )
149 dvdsmul2 15004 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) ) )
150148, 11, 149syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) ) )
15118oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
152148zcnd 11483 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) e. CC )
153152, 7, 7mul12d 10245 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( ( A Yrm N ) x. ( A Yrm N ) ) ) = ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
154151, 153eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) ) = ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
155150, 154breqtrd 4679 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) )
156148, 6zmulcld 11488 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ )
1576, 156zmulcld 11488 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ )
158142, 157zsubcld 11487 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ )
159 jm2.23 37563 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ /\ ( A Yrm N ) e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
1601, 3, 127, 159syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
161 dvdstr 15018 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) )
162161imp 445 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 3 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
16311, 65, 158, 79, 160, 162syl32anc 1334 . . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
164 dvdssub2 15023 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ /\ ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) - ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) <-> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
16511, 142, 157, 163, 164syl31anc 1329 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) <-> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( ( A Yrm N ) x. ( ( ( A Xrm N ) ^ ( ( A Yrm N ) - 1 ) ) x. ( A Yrm N ) ) ) ) )
166155, 165mpbird 247 . . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) )
167166adantr 481 . . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) )
168 simpr 477 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( N x. ( A Yrm N ) ) || M )
169 simpl1 1064 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
170140adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( N x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ )
17123adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> M e. ZZ )
172 jm2.19 37560 . . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( N x. ( A Yrm N ) ) || M <-> ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) || ( A Yrm M ) ) )
173169, 170, 171, 172syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( ( N x. ( A Yrm N ) ) || M <-> ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) || ( A Yrm M ) ) )
174168, 173mpbid 222 . . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) || ( A Yrm M ) )
175 dvdstr 15018 . . . 4 |- ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) || ( A Yrm M ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) ) )
176175imp 445 . . 3 |- ( ( ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) /\ ( A Yrm ( N x. ( A Yrm N ) ) ) || ( A Yrm M ) ) ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) )
177139, 143, 144, 167, 174, 176syl32anc 1334 . 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) /\ ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) -> ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) )
178138, 177impbida 877 1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( ( A Yrm N ) ^ 2 ) || ( A Yrm M ) <-> ( N x. ( A Yrm N ) ) || M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Xrm crmx 37464   Yrm crmy 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467
This theorem is referenced by:  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574
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