Theorem efif1olem4 24291

Description: The exponential function of an imaginary number maps any interval of length 2 pi one-to-one onto the unit circle. (Contributed by Paul Chapman, 16-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efif1o.1	|- F = ( w e. D |-> ( exp ` ( _i x. w ) ) )
efif1o.2	|- C = ( `' abs " { 1 } )
efif1olem4.3	|- ( ph -> D C_ RR )
efif1olem4.4	|- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( 2 x. pi ) )
efif1olem4.5	|- ( ( ph /\ z e. RR ) -> E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
efif1olem4.6	|- S = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efif1olem4	|- ( ph -> F : D -1-1-onto-> C )

Distinct variable groups:   x, w, y, z   w, C, x, y   x, F, y   ph, w, x, y, z   y, S, z   w, D, x, y, z

Allowed substitution hints:   C( z)   S( x, w)   F( z, w)

Proof of Theorem efif1olem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efif1olem4.3	. . . . . 6 |- ( ph -> D C_ RR )
2	1	sselda 3603	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. D ) -> w e. RR )
3		ax-icn 9995	. . . . . . . . 9 |- _i e. CC
4		recn 10026	. . . . . . . . 9 |- ( w e. RR -> w e. CC )
5		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ w e. CC ) -> ( _i x. w ) e. CC )
6	3, 4, 5	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( w e. RR -> ( _i x. w ) e. CC )
7		efcl 14813	. . . . . . . 8 |- ( ( _i x. w ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. w ) ) e. CC )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . 7 |- ( w e. RR -> ( exp ` ( _i x. w ) ) e. CC )
9		absefi 14926	. . . . . . 7 |- ( w e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. w ) ) ) = 1 )
10		absf 14077	. . . . . . . . 9 |- abs : CC --> RR
11		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- abs Fn CC
13		fniniseg 6338	. . . . . . . 8 |- ( abs Fn CC -> ( ( exp ` ( _i x. w ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( ( exp ` ( _i x. w ) ) e. CC /\ ( abs ` ( exp ` ( _i x. w ) ) ) = 1 ) ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( exp ` ( _i x. w ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( ( exp ` ( _i x. w ) ) e. CC /\ ( abs ` ( exp ` ( _i x. w ) ) ) = 1 ) )
15	8, 9, 14	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( w e. RR -> ( exp ` ( _i x. w ) ) e. ( `' abs " { 1 } ) )
16		efif1o.2	. . . . . 6 |- C = ( `' abs " { 1 } )
17	15, 16	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( w e. RR -> ( exp ` ( _i x. w ) ) e. C )
18	2, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. D ) -> ( exp ` ( _i x. w ) ) e. C )
19		efif1o.1	. . . 4 |- F = ( w e. D |-> ( exp ` ( _i x. w ) ) )
20	18, 19	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> F : D --> C )
21	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> D C_ RR )
22		simplrl 800	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x e. D )
23	21, 22	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x e. RR )
24	23	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x e. CC )
25		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> y e. D )
26	21, 25	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> y e. RR )
27	26	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> y e. CC )
28	24, 27	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( x - y ) e. CC )
29		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
30		pire 24210	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR
31	29, 30	remulcli 10054	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. RR
32	31	recni 10052	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) e. CC
33		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
34		pipos 24212	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < pi
35	29, 30, 33, 34	mulgt0ii 10170	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ( 2 x. pi )
36	31, 35	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 x. pi ) =/= 0
37		divcl 10691	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x - y ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) =/= 0 ) -> ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. CC )
38	32, 36, 37	mp3an23 1416	. . . . . . . . 9 |- ( ( x - y ) e. CC -> ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. CC )
39	28, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. CC )
40		absdiv 14035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x - y ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( abs ` ( 2 x. pi ) ) ) )
41	32, 36, 40	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x - y ) e. CC -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( abs ` ( 2 x. pi ) ) ) )
42	28, 41	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( abs ` ( 2 x. pi ) ) ) )
43		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
44	43, 31, 35	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ ( 2 x. pi )
45		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. pi ) ) -> ( abs ` ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. pi ) )
46	31, 44, 45	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` ( 2 x. pi ) ) = ( 2 x. pi )
47	46	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( abs ` ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( 2 x. pi ) )
48	42, 47	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( 2 x. pi ) ) )
49		efif1olem4.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( 2 x. pi ) )
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( 2 x. pi ) )
51	32	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. pi ) x. 1 ) = ( 2 x. pi )
52	50, 51	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) < ( ( 2 x. pi ) x. 1 ) )
53	28	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) e. RR )
54		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
55	31, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) )
56		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( abs ` ( x - y ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( 2 x. pi ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. pi ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( 2 x. pi ) ) < 1 <-> ( abs ` ( x - y ) ) < ( ( 2 x. pi ) x. 1 ) ) )
57	54, 55, 56	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( abs ` ( x - y ) ) e. RR -> ( ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( 2 x. pi ) ) < 1 <-> ( abs ` ( x - y ) ) < ( ( 2 x. pi ) x. 1 ) ) )
58	53, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( 2 x. pi ) ) < 1 <-> ( abs ` ( x - y ) ) < ( ( 2 x. pi ) x. 1 ) ) )
59	52, 58	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) / ( 2 x. pi ) ) < 1 )
60	48, 59	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) < 1 )
61	32, 36	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) =/= 0 )
62		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- _i =/= 0
63	3, 62	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i e. CC /\ _i =/= 0 )
64		divcan5 10727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x - y ) e. CC /\ ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) =/= 0 ) /\ ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) ) -> ( ( _i x. ( x - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
65	61, 63, 64	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x - y ) e. CC -> ( ( _i x. ( x - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
66	28, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( _i x. ( x - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
67	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> _i e. CC )
68	67, 24, 27	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( _i x. ( x - y ) ) = ( ( _i x. x ) - ( _i x. y ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( x - y ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. x ) - ( _i x. y ) ) ) )
70		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
71	3, 24, 70	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( _i x. x ) e. CC )
72		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
73	3, 27, 72	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( _i x. y ) e. CC )
74		efsub 14830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( _i x. x ) e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. x ) - ( _i x. y ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) / ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
75	71, 73, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( exp ` ( ( _i x. x ) - ( _i x. y ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. x ) ) / ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
76		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. y ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. y ) ) e. CC )
77	73, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( exp ` ( _i x. y ) ) e. CC )
78		efne0 14827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i x. y ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. y ) ) =/= 0 )
79	73, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( exp ` ( _i x. y ) ) =/= 0 )
80		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = x -> ( _i x. w ) = ( _i x. x ) )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = x -> ( exp ` ( _i x. w ) ) = ( exp ` ( _i x. x ) ) )
83		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` ( _i x. x ) ) e. _V
84	82, 19, 83	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. D -> ( F ` x ) = ( exp ` ( _i x. x ) ) )
85	22, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( F ` x ) = ( exp ` ( _i x. x ) ) )
86		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = y -> ( _i x. w ) = ( _i x. y ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = y -> ( exp ` ( _i x. w ) ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
88		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( exp ` ( _i x. y ) ) e. _V
89	87, 19, 88	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. D -> ( F ` y ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
90	25, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( F ` y ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
91	80, 85, 90	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
92	77, 79, 91	diveq1bd 10849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) / ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = 1 )
93	69, 75, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( exp ` ( _i x. ( x - y ) ) ) = 1 )
94		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _i e. CC /\ ( x - y ) e. CC ) -> ( _i x. ( x - y ) ) e. CC )
95	3, 28, 94	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( _i x. ( x - y ) ) e. CC )
96		efeq1 24275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i x. ( x - y ) ) e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. ( x - y ) ) ) = 1 <-> ( ( _i x. ( x - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( x - y ) ) ) = 1 <-> ( ( _i x. ( x - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
98	93, 97	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( _i x. ( x - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ )
99	66, 98	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
100		nn0abscl 14052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) e. NN0 )
101	99, 100	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) e. NN0 )
102		nn0lt10b 11439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) e. NN0 -> ( ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = 0 ) )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = 0 ) )
104	60, 103	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( abs ` ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) ) = 0 )
105	39, 104	abs00d 14185	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) = 0 )
106		diveq0 10695	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x - y ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) =/= 0 ) -> ( ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( x - y ) = 0 ) )
107	32, 36, 106	mp3an23 1416	. . . . . . . 8 |- ( ( x - y ) e. CC -> ( ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( x - y ) = 0 ) )
108	28, 107	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( ( ( x - y ) / ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( x - y ) = 0 ) )
109	105, 108	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> ( x - y ) = 0 )
110	24, 27, 109	subeq0d 10400	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) /\ ( F ` x ) = ( F ` y ) ) -> x = y )
111	110	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
112	111	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
113		dff13 6512	. . 3 |- ( F : D -1-1-> C <-> ( F : D --> C /\ A. x e. D A. y e. D ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
114	20, 112, 113	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F : D -1-1-> C )
115		neghalfpire 24217	. . . . . . . . 9 |- -u ( pi / 2 ) e. RR
116		halfpire 24216	. . . . . . . . 9 |- ( pi / 2 ) e. RR
117		iccssre 12255	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( pi / 2 ) e. RR /\ ( pi / 2 ) e. RR ) -> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR )
118	115, 116, 117	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) C_ RR
119	19, 16	efif1olem3 24290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( Im ` ( sqr ` x ) ) e. ( -u 1 [,] 1 ) )
120		resinf1o 24282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
121		efif1olem4.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- S = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
122		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S = ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) -> ( S : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) <-> ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) <-> ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) )
124	120, 123	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- S : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 )
125		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . 11 |- ( S : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) -> `' S : ( -u 1 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
126		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' S : ( -u 1 [,] 1 ) -1-1-onto-> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
127	124, 125, 126	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- `' S : ( -u 1 [,] 1 ) --> ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) )
128	127	ffvelrni 6358	. . . . . . . . 9 |- ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) e. ( -u 1 [,] 1 ) -> ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
129	119, 128	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
130	118, 129	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. RR )
131		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
132	29, 130, 131	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
133		efif1olem4.5	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. RR ) -> E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
134	133	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. RR E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
135	134	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> A. z e. RR E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
136		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( z = ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( z - y ) = ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) )
137	136	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
138	137	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( z = ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ <-> ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
139	138	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) -> ( E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ <-> E. y e. D ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
140	139	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR -> ( A. z e. RR E. y e. D ( ( z - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ -> E. y e. D ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
141	132, 135, 140	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. D ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
142		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) = 1 -> ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
143	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> _i e. CC )
144	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
145	144	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC )
146	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> D C_ RR )
147		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> y e. D )
148	146, 147	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> y e. RR )
149	148	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> y e. CC )
150	143, 145, 149	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) = ( ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) - ( _i x. y ) ) )
151	150	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) + ( _i x. y ) ) = ( ( ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) - ( _i x. y ) ) + ( _i x. y ) ) )
152		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( _i e. CC /\ ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. CC )
153	3, 145, 152	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) e. CC )
154	3, 149, 72	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( _i x. y ) e. CC )
155	153, 154	npcand 10396	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) - ( _i x. y ) ) + ( _i x. y ) ) = ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
156	151, 155	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) + ( _i x. y ) ) = ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
157	156	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) + ( _i x. y ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) )
158	145, 149	subcld 10392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) e. CC )
159		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) e. CC )
160	3, 158, 159	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) e. CC )
161		efadd 14824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) e. CC /\ ( _i x. y ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) + ( _i x. y ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
162	160, 154, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( exp ` ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) + ( _i x. y ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
163	130	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. CC )
164		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. CC
165		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( _i e. CC /\ 2 e. CC /\ ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
166	3, 164, 165	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. CC -> ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
167	163, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) )
168	167	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( exp ` ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = ( exp ` ( 2 x. ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) )
169		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( _i e. CC /\ ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC )
170	3, 163, 169	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC )
171		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. ZZ
172		efexp 14831	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC /\ 2 e. ZZ ) -> ( exp ` ( 2 x. ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ^ 2 ) )
173	170, 171, 172	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( exp ` ( 2 x. ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ^ 2 ) )
174	168, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( exp ` ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ^ 2 ) )
175	130	recoscld 14874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. RR )
176		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. C )
177	176, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. ( `' abs " { 1 } ) )
178		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs Fn CC -> ( x e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( x e. CC /\ ( abs ` x ) = 1 ) ) )
179	12, 178	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( `' abs " { 1 } ) <-> ( x e. CC /\ ( abs ` x ) = 1 ) )
180	177, 179	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( x e. CC /\ ( abs ` x ) = 1 ) )
181	180	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> x e. CC )
182	181	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
183	182	recld 13934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( Re ` ( sqr ` x ) ) e. RR )
184		cosq14ge0 24263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
185	129, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> 0 <_ ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
186	181	sqrtrege0d 14177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> 0 <_ ( Re ` ( sqr ` x ) ) )
187		sincossq 14906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. CC -> ( ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
188	163, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) = 1 )
189	181	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) = x )
190	189	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( abs ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( abs ` x ) )
191		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. NN0
192		absexp 14044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( sqr ` x ) e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) )
193	182, 191, 192	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( abs ` ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( abs ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) )
194	180	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( abs ` x ) = 1 )
195	190, 193, 194	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( abs ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) = 1 )
196	182	absvalsq2d 14182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( abs ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) ) )
197	188, 195, 196	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) ) )
198	121	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( S ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) )
199		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
200	129, 199	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( sin |` ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) ) ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
201	198, 200	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( S ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
202		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( S : ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -1-1-onto-> ( -u 1 [,] 1 ) /\ ( Im ` ( sqr ` x ) ) e. ( -u 1 [,] 1 ) ) -> ( S ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( Im ` ( sqr ` x ) ) )
203	124, 119, 202	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( S ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( Im ` ( sqr ` x ) ) )
204	201, 203	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( Im ` ( sqr ` x ) ) )
205	204	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) )
206	197, 205	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) ) - ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) ) )
207	163	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC )
208	207	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
209	163	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) e. CC )
210	209	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
211	208, 210	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) + ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) )
212	183	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( Re ` ( sqr ` x ) ) e. CC )
213	212	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) e. CC )
214	205, 208	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) e. CC )
215	213, 214	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) + ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) ) - ( ( Im ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) )
216	206, 211, 215	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) ^ 2 ) )
217	175, 183, 185, 186, 216	sq11d 13045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) = ( Re ` ( sqr ` x ) ) )
218	204	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( _i x. ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( _i x. ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) )
219	217, 218	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) + ( _i x. ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
220		efival 14882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) )
221	163, 220	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( ( cos ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) )
222	182	replimd 13937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( sqr ` x ) = ( ( Re ` ( sqr ` x ) ) + ( _i x. ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) )
223	219, 221, 222	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) = ( sqr ` x ) )
224	223	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( sqr ` x ) ^ 2 ) )
225	174, 224, 189	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( exp ` ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = x )
226	225	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( exp ` ( _i x. ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) ) ) = x )
227	157, 162, 226	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = x )
228	154, 76	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( exp ` ( _i x. y ) ) e. CC )
229	228	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( 1 x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
230	227, 229	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = ( 1 x. ( exp ` ( _i x. y ) ) ) <-> x = ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
231	142, 230	syl5ib 234	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) = 1 -> x = ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
232		efeq1 24275	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) = 1 <-> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
233	160, 232	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) = 1 <-> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ ) )
234		divcan5 10727	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) e. CC /\ ( ( 2 x. pi ) e. CC /\ ( 2 x. pi ) =/= 0 ) /\ ( _i e. CC /\ _i =/= 0 ) ) -> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
235	61, 63, 234	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) e. CC -> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
236	158, 235	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) )
237	236	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) / ( _i x. ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ <-> ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
238	233, 237	bitr2d 269	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ <-> ( exp ` ( _i x. ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) ) ) = 1 ) )
239	89	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( F ` y ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
240	239	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( x = ( F ` y ) <-> x = ( exp ` ( _i x. y ) ) ) )
241	231, 238, 240	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. C ) /\ y e. D ) -> ( ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ -> x = ( F ` y ) ) )
242	241	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> ( E. y e. D ( ( ( 2 x. ( `' S ` ( Im ` ( sqr ` x ) ) ) ) - y ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ -> E. y e. D x = ( F ` y ) ) )
243	141, 242	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. C ) -> E. y e. D x = ( F ` y ) )
244	243	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. x e. C E. y e. D x = ( F ` y ) )
245		dffo3 6374	. . 3 |- ( F : D -onto-> C <-> ( F : D --> C /\ A. x e. C E. y e. D x = ( F ` y ) ) )
246	20, 244, 245	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> F : D -onto-> C )
247		df-f1o 5895	. 2 |- ( F : D -1-1-onto-> C <-> ( F : D -1-1-> C /\ F : D -onto-> C ) )
248	114, 246, 247	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> F : D -1-1-onto-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   Recre 13837   Imcim 13838   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   expce 14792   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  efif1o  24292  eff1olem  24294