Theorem rrxmval 23188

Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnmval 33627. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	|- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
rrxmval.d	|- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )

Assertion

Ref	Expression
rrxmval	|- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Distinct variable groups:   h, F, k   h, G, k   h, I, k   h, V, k   k, X

Allowed substitution hints:   D( h, k)   X( h)

Proof of Theorem rrxmval

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- (ℝ^ ` I ) = (ℝ^ ` I )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = ( Base ` (ℝ^ ` I ) )
3	1, 2	rrxds 23181	. . . . 5 |- ( I e. V -> ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( dist ` (ℝ^ ` I ) ) )
4		rrxmval.d	. . . . 5 |- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
5	3, 4	syl6reqr 2675	. . . 4 |- ( I e. V -> D = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
6	1, 2	rrxbase 23176	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 } )
7		rrxmval.1	. . . . . 6 |- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
8	6, 7	syl6reqr 2675	. . . . 5 |- ( I e. V -> X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) )
9		mpt2eq12 6715	. . . . 5 |- ( ( X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) /\ X = ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) ) -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
10	8, 8, 9	syl2anc 693	. . . 4 |- ( I e. V -> ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( f e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) , g e. ( Base ` (ℝ^ ` I ) ) |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
11	5, 10	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( I e. V -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
12	11	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> D = ( f e. X , g e. X |-> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
13		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> f = F )
14	13	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( f ` x ) = ( F ` x ) )
15		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> g = G )
16	15	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( g ` x ) = ( G ` x ) )
17	14, 16	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) = ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) )
18	17	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) )
21		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F e. X )
22	7, 21	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> F : I --> RR )
23	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. RR )
24		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G e. X )
25	7, 24	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> G : I --> RR )
26	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. RR )
27	23, 26	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) e. RR )
28	27	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ x e. I ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) e. RR )
29		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
30	28, 29	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR )
31	7, 21	rrxfsupp 23185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) e. Fin )
32	7, 24	rrxfsupp 23185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) e. Fin )
33		unfi 8227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F supp 0 ) e. Fin /\ ( G supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
34	31, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
35	7	rrxmvallem 23187	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
36		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin /\ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
37	34, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin )
38		mptexg 6484	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. V -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
39		funmpt 5926	. . . . . . . . . . 11 |- Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
40		0cn 10032	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. CC
41		funisfsupp 8280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V /\ 0 e. CC ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
42	39, 40, 41	mp3an13 1415	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) e. _V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
43	38, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 <-> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) e. Fin ) )
45	37, 44	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 )
46		simp1 1061	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> I e. V )
47		regsumsupp 19968	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) : I --> RR /\ ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) finSupp 0 /\ I e. V ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
48	30, 45, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
49		suppssdm 7308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) )
50	29	dmmptss 5631	. . . . . . . . . . 11 |- dom ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) C_ I
51	49, 50	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I
52	51	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ I )
53	52	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> k e. I )
54		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) = ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) )
55		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> x = k )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( F ` x ) = ( F ` k ) )
57	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( G ` x ) = ( G ` k ) )
58	56, 57	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) = ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) /\ x = k ) -> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
60		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> k e. I )
61		ovexd 6680	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. _V )
62	54, 59, 60, 61	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
63	62	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
64	53, 63	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
65	64	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
66	48, 65	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
67	66	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
68	22	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. RR )
69	68	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. CC )
70	25	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. RR )
71	70	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. CC )
72	69, 71	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. CC )
73	72	sqcld 13006	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
74	53, 73	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. CC )
75	7, 21	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F supp 0 ) C_ I )
76	7, 24	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) C_ I )
77	75, 76	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I )
78	77	ssdifssd 3748	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ I )
79	78	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. I )
80	79, 63	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) )
81	77	ssdifd 3746	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) C_ ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
82	81	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) )
83		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 )
84	83	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) C_ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) )
85		0cnd 10033	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 e. CC )
86	30, 84, 46, 85	suppssr 7326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( I \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
87	82, 86	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) ` k ) = 0 )
88	80, 87	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ k e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \ ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = 0 )
89	35, 74, 88, 34	fsumss 14456	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
90	89	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> sum_ k e. ( ( x e. I |-> ( ( ( F ` x ) - ( G ` x ) ) ^ 2 ) ) supp 0 ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
91	20, 67, 90	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
92	91	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) /\ ( f = F /\ g = G ) ) -> ( sqr ` (RRfld gsumg ( x e. I |-> ( ( ( f ` x ) - ( g ` x ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
93		fvexd 6203	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. _V )
94	12, 92, 21, 24, 93	ovmpt2d 6788	1 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   - cmin 10266   2c2 11070   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   Basecbs 15857   distcds 15950   gsum_g cgsu 16101  RRfldcrefld 19950  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-nm 22387  df-tng 22389  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  rrxmfval  23189  rrxmet  23191  rrxdstprj1  23192