Theorem rrxdstprj1 23192

Description: The distance between two points in Euclidean space is greater than the distance between the projections onto one coordinate. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 7-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxmval.1	|- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
rrxmval.d	|- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
rrxdstprj1.1	|- M = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )

Assertion

Ref	Expression
rrxdstprj1	|- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) <_ ( F D G ) )

Distinct variable groups:   h, F   h, G   h, I   h, V

Allowed substitution hints:   A( h)   D( h)   M( h)   X( h)

Proof of Theorem rrxdstprj1

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 798	. . 3 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> I e. V )
2		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
3		simplr 792	. . 3 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( F e. X /\ G e. X ) )
4		rrxmval.1	. . . . . . . . 9 |- X = { h e. ( RR ^m I ) | h finSupp 0 }
5		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F e. X )
6	4, 5	rrxfsupp 23185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F supp 0 ) e. Fin )
7		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G e. X )
8	4, 7	rrxfsupp 23185	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G supp 0 ) e. Fin )
9		unfi 8227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F supp 0 ) e. Fin /\ ( G supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
10	6, 8, 9	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
11	4, 5	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F supp 0 ) C_ I )
12	4, 7	rrxsuppss 23186	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G supp 0 ) C_ I )
13	11, 12	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I )
14	13	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> k e. I )
15	4, 5	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F : I --> RR )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( F ` k ) e. RR )
17	4, 7	rrxf 23184	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G : I --> RR )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( G ` k ) e. RR )
19	16, 18	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) e. RR )
20	19	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
21	14, 20	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
22	19	sqge0d 13036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. I ) -> 0 <_ ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
23	14, 22	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> 0 <_ ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( F ` k ) = ( F ` A ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = A -> ( G ` k ) = ( G ` A ) )
26	24, 25	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = A -> ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) = ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = A -> ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ^ 2 ) )
28		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
29	10, 21, 23, 27, 28	fsumge1 14529	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ^ 2 ) <_ sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
30	13, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A e. I )
31	15, 30	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F ` A ) e. RR )
32	17, 30	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G ` A ) e. RR )
33	31, 32	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) e. RR )
34		absresq 14042	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) e. RR -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ^ 2 ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ^ 2 ) )
36	10, 21	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. RR )
37	10, 21, 23	fsumge0 14527	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
38		resqrtth 13996	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
39	36, 37, 38	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) )
40	29, 35, 39	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) )
41	33	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) e. CC )
42	41	abscld 14175	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) e. RR )
43	36, 37	resqrtcld 14156	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
44	41	absge0d 14183	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) )
45	36, 37	sqrtge0d 14159	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
46	42, 43, 44, 45	le2sqd 13044	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) <_ ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) <-> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
47	40, 46	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) <_ ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
48		rrxdstprj1.1	. . . . . 6 |- M = ( ( abs o. - ) |` ( RR X. RR ) )
49	48	remetdval 22592	. . . . 5 |- ( ( ( F ` A ) e. RR /\ ( G ` A ) e. RR ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) = ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) )
50	31, 32, 49	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) = ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) )
51		rrxmval.d	. . . . . . 7 |- D = ( dist ` (ℝ^ ` I ) )
52	4, 51	rrxmval 23188	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. X /\ G e. X ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
53	52	3expb 1266	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
54	53	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F D G ) = ( sqr ` sum_ k e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ( ( ( F ` k ) - ( G ` k ) ) ^ 2 ) ) )
55	47, 50, 54	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) <_ ( F D G ) )
56	1, 2, 3, 55	syl21anc 1325	. 2 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) <_ ( F D G ) )
57		simplll 798	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> I e. V )
58		simplrl 800	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> F e. X )
59		ssun1 3776	. . . . . . . . . 10 |- ( F supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) )
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
61	60	sscond 3747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) C_ ( I \ ( F supp 0 ) ) )
62	61	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> A e. ( I \ ( F supp 0 ) ) )
63		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ F e. X ) -> F e. X )
64	4, 63	rrxf 23184	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X ) -> F : I --> RR )
65		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- ( F supp 0 ) C_ ( F supp 0 )
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X ) -> ( F supp 0 ) C_ ( F supp 0 ) )
67		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X ) -> I e. V )
68		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. X ) -> 0 e. RR )
69	64, 66, 67, 68	suppssr 7326	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. X ) /\ A e. ( I \ ( F supp 0 ) ) ) -> ( F ` A ) = 0 )
70	57, 58, 62, 69	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( F ` A ) = 0 )
71		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> 0 e. RR )
72	70, 71	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( F ` A ) e. RR )
73		simplrr 801	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> G e. X )
74		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 |- ( G supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) )
75	74	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
76	75	sscond 3747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) C_ ( I \ ( G supp 0 ) ) )
77	76	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> A e. ( I \ ( G supp 0 ) ) )
78		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ G e. X ) -> G e. X )
79	4, 78	rrxf 23184	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ G e. X ) -> G : I --> RR )
80		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- ( G supp 0 ) C_ ( G supp 0 )
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ G e. X ) -> ( G supp 0 ) C_ ( G supp 0 ) )
82		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ G e. X ) -> I e. V )
83		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ G e. X ) -> 0 e. RR )
84	79, 81, 82, 83	suppssr 7326	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ G e. X ) /\ A e. ( I \ ( G supp 0 ) ) ) -> ( G ` A ) = 0 )
85	57, 73, 77, 84	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( G ` A ) = 0 )
86	85, 71	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( G ` A ) e. RR )
87	72, 86, 49	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) = ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) )
88	70, 85	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) = ( 0 - 0 ) )
89		0m0e0 11130	. . . . . 6 |- ( 0 - 0 ) = 0
90	88, 89	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) = 0 )
91	90	abs00bd 14031	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( G ` A ) ) ) = 0 )
92	87, 91	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) = 0 )
93	4, 51	rrxmet 23191	. . . . 5 |- ( I e. V -> D e. ( Met ` X ) )
94	93	ad3antrrr 766	. . . 4 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
95		metge0 22150	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ F e. X /\ G e. X ) -> 0 <_ ( F D G ) )
96	94, 58, 73, 95	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> 0 <_ ( F D G ) )
97	92, 96	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) /\ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) <_ ( F D G ) )
98		simplr 792	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A e. I )
99		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> F e. X )
100	4, 99	rrxsuppss 23186	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( F supp 0 ) C_ I )
101		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> G e. X )
102	4, 101	rrxsuppss 23186	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( G supp 0 ) C_ I )
103	100, 102	unssd 3789	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I )
104		undif 4049	. . . . 5 |- ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) C_ I <-> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) u. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) = I )
105	103, 104	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) u. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) = I )
106	98, 105	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> A e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) u. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) )
107		elun 3753	. . 3 |- ( A e. ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) u. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) <-> ( A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \/ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) )
108	106, 107	sylib 208	. 2 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( A e. ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) \/ A e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) )
109	56, 97, 108	mpjaodan 827	1 |- ( ( ( I e. V /\ A e. I ) /\ ( F e. X /\ G e. X ) ) -> ( ( F ` A ) M ( G ` A ) ) <_ ( F D G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416   distcds 15950   Metcme 19732  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-xmet 19739  df-met 19740  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-nm 22387  df-tng 22389  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  rrnprjdstle  40521