Theorem perfectALTVlem2 41631

Description: Lemma for perfectALTV 41632. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Revised by AV, 1-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
perfectALTVlem.1	|- ( ph -> A e. NN )
perfectALTVlem.2	|- ( ph -> B e. NN )
perfectALTVlem.3	|- ( ph -> B e. Odd )
perfectALTVlem.4	|- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
perfectALTVlem2	|- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Proof of Theorem perfectALTVlem2

Dummy variables x k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectALTVlem.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. NN )
2		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
4		perfectALTVlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
5		perfectALTVlem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. Odd )
6		perfectALTVlem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
7	4, 1, 5, 6	perfectALTVlem1 41630	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN ) )
8	7	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN )
9	8	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
10	1	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
11	8	nnge1d 11063	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
12		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
13		exp1 12866	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
15		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
16	14, 15	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
17		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR )
19		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
20	4	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )
21	20	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )
22		1lt2 11194	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < 2 )
24	4	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
25		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + A ) )
26	2, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 1 + A ) )
27		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28	4	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
29		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
30	27, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
31	26, 30	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( A + 1 ) )
32		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ( A + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 2 /\ 1 < ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
33	18, 19, 21, 23, 31, 32	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
34	16, 33	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
35	7	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
36	35	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR )
37	3, 3, 36	ltaddsubd 10627	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
38	34, 37	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
39		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
41		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
42	36, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
43		expgt1 12898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
44	18, 20, 23, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
45		posdif 10521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
46	2, 36, 45	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
47	44, 46	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
48	42, 47	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
49		elrp 11834	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ <-> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
50	48, 49	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR+ )
51		nnrp 11842	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
52	1, 51	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR+ )
53	40, 50, 52	ltdiv2d 11895	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
54	38, 53	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) )
55	1	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
56	55	div1d 10793	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / 1 ) = B )
57	54, 56	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < B )
58	3, 9, 10, 11, 57	lelttrd 10195	. . . 4 |- ( ph -> 1 < B )
59		eluz2b2 11761	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
60	1, 58, 59	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
61		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... B ) e. Fin )
62		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
63	1, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
64		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... B ) e. Fin /\ { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
65	61, 63, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
67		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. NN | x || B } C_ NN
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } C_ NN )
69	68	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
70	69	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
71	69	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
72	71	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
73		df-tp 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } )
74		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ B e. NN ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
75	8, 1, 74	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
77		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. NN )
78	77	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { n } C_ NN )
79	76, 78	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) C_ NN )
80	73, 79	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ NN )
81		eltpi 4229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) )
82	7	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
83	82	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
84	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ )
85		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
86	83, 84, 85	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
87	82	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
88	82	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) =/= 0 )
89	55, 87, 88	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = B )
90	86, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B )
91		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( x || B <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B ) )
92	90, 91	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
93	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
94	1	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ZZ )
95		iddvds 14995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ZZ -> B || B )
96	94, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || B )
97		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( x || B <-> B || B ) )
98	96, 97	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = B -> x || B ) )
99	98	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = B -> x || B ) )
100		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n || B )
101		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( x || B <-> n || B ) )
102	100, 101	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = n -> x || B ) )
103	93, 99, 102	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) -> x || B ) )
104	81, 103	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> x || B ) )
105	104	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> x || B )
106	80, 105	ssrabdv 3681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ { x e. NN | x || B } )
107	66, 70, 72, 106	fsumless 14528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
109		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
110	108, 109	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) )
111	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) )
112		tpfi 8236	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin )
114	80	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. NN )
115	114	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. CC )
116	110, 111, 113, 115	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) )
117	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC )
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
119	118	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
120	8, 117, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = B -> k = B )
122	121	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { B } k = B )
123	1, 55, 122	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { B } k = B )
124	120, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
125		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } )
126	9, 57	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
127		disjsn2 4247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
129	125, 128	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } ) = (/) )
130		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } )
131	130	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } ) )
132		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin
133	132	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin )
134	75	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. NN )
135	134	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. CC )
136	129, 131, 133, 135	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) )
137	87, 55	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) e. CC )
138	55, 137, 87, 88	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
139	35	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. CC )
140	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
141	139, 140, 55	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) )
142	55	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
144	141, 143	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) )
146	139, 55	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) e. CC )
147	55, 146	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
148	145, 147	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
149	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
150	139, 55, 87, 88	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
151	149, 150	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
152	55, 87, 88	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = B )
153	152	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
154	138, 151, 153	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
155	124, 136, 154	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
156	155	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
157	77	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. CC )
158		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> k = n )
159	158	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ n e. CC ) -> sum_ k e. { n } k = n )
160	157, 157, 159	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { n } k = n )
161	156, 160	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
162	116, 161	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
163	4	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN0 )
164		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
165	12, 163, 164	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
166		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN
167		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
168	166, 163, 167	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. NN )
169	168	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. CC )
170		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 ^ A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
171	169, 12, 170	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
172	165, 171	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) )
174	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 2 e. CC )
175	174, 169, 55	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
176		isodd7 41577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B e. Odd <-> ( B e. ZZ /\ ( 2 gcd B ) = 1 ) )
177		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ZZ /\ ( 2 gcd B ) = 1 ) -> ( 2 gcd B ) = 1 )
178	176, 177	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B e. Odd -> ( 2 gcd B ) = 1 )
179	5, 178	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 gcd B ) = 1 )
180		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
181	180	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
182		rpexp1i 15433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
183	181, 94, 163, 182	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
184	179, 183	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 )
185		sgmmul 24926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 ^ A ) e. NN /\ B e. NN /\ ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) ) -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
186	140, 168, 1, 184, 185	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
187		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
188	28, 27, 187	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 2 ^ A ) )
190	189	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) )
191		1sgm2ppw 24925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
192	20, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
193	190, 192	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
194	193	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
195	186, 6, 194	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
196	173, 175, 195	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
197	196	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
198		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
199		sgmnncl 24873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) e. NN )
200	198, 1, 199	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. NN )
201	200	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. CC )
202	201, 87, 88	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( 1 sigma B ) )
203	197, 150, 202	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma B ) )
204		sgmval 24868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
205	27, 1, 204	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
206		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. { x e. NN | x || B } )
207	67, 206	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
208	207	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. CC )
209	208	cxp1d 24452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> ( k ^c 1 ) = k )
210	209	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
211	203, 205, 210	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
212	211	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
213	107, 162, 212	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
214	36, 9	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
215	214	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
216	77	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR+ )
217	215, 216	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
218	77	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR )
219	215, 218	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. RR )
220	215, 219	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
221	217, 220	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
222	213, 221	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
223		elpri 4197	. . . . . . 7 |- ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
224	222, 223	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
225	224	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
226	225	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
227	3, 58	gtned 10172	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= 1 )
228	227	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 =/= B )
229		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. NN )
231		1dvds 14996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> 1 || B )
232	94, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 || B )
233		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( n || B <-> 1 || B ) )
234		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) <-> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
235		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = B <-> 1 = B ) )
236	234, 235	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) <-> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) )
237	233, 236	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) <-> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
238	237	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) -> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
239	230, 226, 232, 238	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) )
240	239	ord 392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 = B ) )
241	240	necon1ad 2811	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 =/= B -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
242	228, 241	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
243	242	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n = 1 <-> n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
244	243	orbi1d 739	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n = 1 \/ n = B ) <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
245	244	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
246	245	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
247	226, 246	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) )
248		isprm2 15395	. . 3 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) ) )
249	60, 247, 248	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> B e. Prime )
250	214	ltp1d 10954	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
251		peano2re 10209	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
252	214, 251	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
253	214, 252	ltnled 10184	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
254	250, 253	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
255	207	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
256	207	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
257	256	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
258		df-tp 4182	. . . . . . . . . 10 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } )
259		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
260	229, 259	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { 1 } C_ NN )
261	75, 260	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) C_ NN )
262	258, 261	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
263		eltpi 4229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) )
264		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( x || B <-> 1 || B ) )
265	232, 264	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x = 1 -> x || B ) )
266	92, 98, 265	3jaod 1392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) -> x || B ) )
267	263, 266	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> x || B ) )
268	267	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> x || B )
269	262, 268	ssrabdv 3681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ { x e. NN | x || B } )
270	65, 255, 257, 269	fsumless 14528	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
271	270	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
272	55, 87, 88	diveq1ad 10810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = 1 <-> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
273	272	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 <-> B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
274	273	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 )
275	274	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
276	228	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= B )
277	275, 276	nelprd 4203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
278		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
279	277, 278	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) )
280	258	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) )
281		tpfi 8236	. . . . . . . . 9 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin
282	281	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin )
283	262	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
284	283	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. NN )
285	284	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. CC )
286	279, 280, 282, 285	fsumsplit 14471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) )
287		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> k = 1 )
288	287	sumsn 14475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
289	140, 27, 288	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
290	155, 289	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
291	290	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
292	286, 291	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
293	211	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
294	271, 292, 293	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
295	294	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
296	295	necon1bd 2812	. . 3 |- ( ph -> ( -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
297	254, 296	mpd 15	. 2 |- ( ph -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
298	249, 297	jca 554	1 |- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   ^c ccxp 24302   sigma csgm 24822   Odd codd 41538

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-sgm 24828  df-even 41539  df-odd 41540

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