Theorem aalioulem3 24089

Description: Lemma for aaliou 24093. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aalioulem2.a	|- N = (deg ` F )
aalioulem2.b	|- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
aalioulem2.c	|- ( ph -> N e. NN )
aalioulem2.d	|- ( ph -> A e. RR )
aalioulem3.e	|- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )

Assertion

Ref	Expression
aalioulem3	|- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, x, r   x, A, r   x, F, r

Allowed substitution hints:   N( x, r)

Proof of Theorem aalioulem3

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		aalioulem2.d	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		1re 10039	. . . . 5 |- 1 e. RR
3		resubcl 10345	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( A - 1 ) e. RR )
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. RR )
5		peano2re 10209	. . . . 5 |- ( A e. RR -> ( A + 1 ) e. RR )
6	1, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. RR )
7		reelprrecn 10028	. . . . 5 |- RR e. { RR , CC }
8		ssid 3624	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
9		fncpn 23696	. . . . . . . . 9 |- ( CC C_ CC -> ( C^n ` CC ) Fn NN0 )
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( C^n ` CC ) Fn NN0
11		1nn0 11308	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
12		fnfvelrn 6356	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C^n ` CC ) Fn NN0 /\ 1 e. NN0 ) -> ( ( C^n ` CC ) ` 1 ) e. ran ( C^n ` CC ) )
13	10, 11, 12	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( C^n ` CC ) ` 1 ) e. ran ( C^n ` CC )
14		intss1 4492	. . . . . . 7 |- ( ( ( C^n ` CC ) ` 1 ) e. ran ( C^n ` CC ) -> |^| ran ( C^n ` CC ) C_ ( ( C^n ` CC ) ` 1 ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . 6 |- |^| ran ( C^n ` CC ) C_ ( ( C^n ` CC ) ` 1 )
16		aalioulem2.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. (Poly ` ZZ ) )
17		plycpn 24044	. . . . . . 7 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F e. |^| ran ( C^n ` CC ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F e. |^| ran ( C^n ` CC ) )
19	15, 18	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ph -> F e. ( ( C^n ` CC ) ` 1 ) )
20		cpnres 23700	. . . . 5 |- ( ( RR e. { RR , CC } /\ F e. ( ( C^n ` CC ) ` 1 ) ) -> ( F |` RR ) e. ( ( C^n ` RR ) ` 1 ) )
21	7, 19, 20	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( F |` RR ) e. ( ( C^n ` RR ) ` 1 ) )
22		df-ima 5127	. . . . 5 |- ( F " RR ) = ran ( F |` RR )
23		zssre 11384	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
24		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
25		plyss 23955	. . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ C_ RR /\ RR C_ CC ) -> (Poly ` ZZ ) C_ (Poly ` RR ) )
26	23, 24, 25	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- (Poly ` ZZ ) C_ (Poly ` RR )
27	26, 16	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. (Poly ` RR ) )
28		plyreres 24038	. . . . . . 7 |- ( F e. (Poly ` RR ) -> ( F |` RR ) : RR --> RR )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F |` RR ) : RR --> RR )
30		frn 6053	. . . . . 6 |- ( ( F |` RR ) : RR --> RR -> ran ( F |` RR ) C_ RR )
31	29, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( F |` RR ) C_ RR )
32	22, 31	syl5eqss 3649	. . . 4 |- ( ph -> ( F " RR ) C_ RR )
33		iccssre 12255	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ ( A + 1 ) e. RR ) -> ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) C_ RR )
34	4, 6, 33	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) C_ RR )
35	34, 24	syl6ss 3615	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) C_ CC )
36		plyf 23954	. . . . . . 7 |- ( F e. (Poly ` ZZ ) -> F : CC --> CC )
37	16, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : CC --> CC )
38		fdm 6051	. . . . . 6 |- ( F : CC --> CC -> dom F = CC )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> dom F = CC )
40	35, 39	sseqtr4d 3642	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) C_ dom F )
41	4, 6, 21, 32, 40	c1lip3 23762	. . 3 |- ( ph -> E. a e. RR A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) )
42		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> r e. RR )
43	42	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> r e. CC )
44	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> A e. RR )
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> A e. RR )
46	45	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> A e. CC )
47	43, 46	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( r - A ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
48		simp3 1063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 )
49	47, 48	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( r - A ) ) <_ 1 )
50		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> 1 e. RR )
51		elicc4abs 14059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ r e. RR ) -> ( r e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) <-> ( abs ` ( r - A ) ) <_ 1 ) )
52	45, 50, 42, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( r e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) <-> ( abs ` ( r - A ) ) <_ 1 ) )
53	49, 52	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> r e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
54	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A e. CC )
55	54	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( A - A ) = 0 )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` ( A - A ) ) = ( abs ` 0 ) )
57		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs ` 0 ) = 0
58		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 <_ 1
59	57, 58	eqbrtri 4674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` 0 ) <_ 1
60	56, 59	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( abs ` ( A - A ) ) <_ 1 )
61		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
62		elicc4abs 14059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ 1 e. RR /\ A e. RR ) -> ( A e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) <-> ( abs ` ( A - A ) ) <_ 1 ) )
63	1, 61, 1, 62	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) <-> ( abs ` ( A - A ) ) <_ 1 ) )
64	60, 63	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
65	64	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> A e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
66	65	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> A e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( F ` b ) = ( F ` r ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) = ( ( F ` c ) - ( F ` r ) ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = r -> ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` r ) ) ) )
70		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = r -> ( c - b ) = ( c - r ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = r -> ( abs ` ( c - b ) ) = ( abs ` ( c - r ) ) )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = r -> ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) = ( a x. ( abs ` ( c - r ) ) ) )
73	69, 72	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = r -> ( ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` r ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - r ) ) ) ) )
74		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = A -> ( F ` c ) = ( F ` A ) )
75	74	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = A -> ( ( F ` c ) - ( F ` r ) ) = ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) )
76	75	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = A -> ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` r ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) )
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = A -> ( c - r ) = ( A - r ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = A -> ( abs ` ( c - r ) ) = ( abs ` ( A - r ) ) )
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = A -> ( a x. ( abs ` ( c - r ) ) ) = ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
80	76, 79	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = A -> ( ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` r ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - r ) ) ) <-> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
81	73, 80	rspc2v 3322	. . . . . . . . . 10 |- ( ( r e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) /\ A e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ) -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
82	53, 66, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
83		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ph )
84		aalioulem3.e	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` A ) = 0 )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( F ` A ) = 0 )
86		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
87	85, 86	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( F ` A ) e. CC )
88	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> F : CC --> CC )
89	88	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> F : CC --> CC )
90	89, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( F ` r ) e. CC )
91	87, 90	abssubd 14192	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` r ) - ( F ` A ) ) ) )
92	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( ( F ` r ) - ( F ` A ) ) = ( ( F ` r ) - 0 ) )
93	90	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( ( F ` r ) - 0 ) = ( F ` r ) )
94	92, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( ( F ` r ) - ( F ` A ) ) = ( F ` r ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( F ` r ) - ( F ` A ) ) ) = ( abs ` ( F ` r ) ) )
96	91, 95	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) = ( abs ` ( F ` r ) ) )
97	96	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( ( abs ` ( ( F ` A ) - ( F ` r ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
98	82, 97	sylibd 229	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR /\ ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 ) -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
99	98	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( r e. RR -> ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) ) )
100	99	com34 91	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( r e. RR -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) ) )
101	100	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> ( r e. RR -> ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) ) )
102	101	ralrimdv 2968	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
103	102	reximdva 3017	. . 3 |- ( ph -> ( E. a e. RR A. b e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) A. c e. ( ( A - 1 ) [,] ( A + 1 ) ) ( abs ` ( ( F ` c ) - ( F ` b ) ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( c - b ) ) ) -> E. a e. RR A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) )
104	41, 103	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. a e. RR A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
105		1rp 11836	. . . . . 6 |- 1 e. RR+
106	105	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ a = 0 ) -> 1 e. RR+ )
107		recn 10026	. . . . . . . 8 |- ( a e. RR -> a e. CC )
108	107	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> a e. CC )
109		df-ne 2795	. . . . . . . 8 |- ( a =/= 0 <-> -. a = 0 )
110	109	biimpri 218	. . . . . . 7 |- ( -. a = 0 -> a =/= 0 )
111		absrpcl 14028	. . . . . . 7 |- ( ( a e. CC /\ a =/= 0 ) -> ( abs ` a ) e. RR+ )
112	108, 110, 111	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ -. a = 0 ) -> ( abs ` a ) e. RR+ )
113	112	rpreccld 11882	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ -. a = 0 ) -> ( 1 / ( abs ` a ) ) e. RR+ )
114	106, 113	ifclda 4120	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) e. RR+ )
115		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) )
116		eqif 4126	. . . . . . . . 9 |- ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) <-> ( ( a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 ) \/ ( -. a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) ) ) )
117	115, 116	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( ( a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 ) \/ ( -. a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) ) )
118		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
119		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = 0 -> ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) = ( 0 x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
120	119	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) = ( 0 x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
121	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> A e. RR )
122		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> r e. RR )
123	121, 122	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( A - r ) e. RR )
124	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( A - r ) e. CC )
125	124	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR )
126	125	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. CC )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. CC )
128	127	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( 0 x. ( abs ` ( A - r ) ) ) = 0 )
129	120, 128	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) = 0 )
130	118, 129	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ 0 )
131	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> F : CC --> CC )
132	122	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> r e. CC )
133	131, 132	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( F ` r ) e. CC )
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( F ` r ) e. CC )
135	134	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` r ) ) )
136	133	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) e. RR )
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) e. RR )
138		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
139		letri3 10123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( abs ` ( F ` r ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) = 0 <-> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( abs ` ( F ` r ) ) ) ) )
140	137, 138, 139	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) = 0 <-> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( abs ` ( F ` r ) ) ) ) )
141	130, 135, 140	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) = 0 )
142	141	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( 1 x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) = ( 1 x. 0 ) )
143		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
144	143	mul01i 10226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 x. 0 ) = 0
145	142, 144	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( 1 x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) = 0 )
146	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( A - r ) e. CC )
147	146	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> 0 <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
148	145, 147	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( 1 x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
149		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) = ( 1 x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) )
150	149	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 -> ( ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> ( 1 x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
151	148, 150	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a = 0 ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
152	151	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( ( a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
153	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) e. RR )
154	153	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) e. CC )
155		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> a e. RR )
156	155	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> a e. CC )
157	156, 111	sylancom 701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( abs ` a ) e. RR+ )
158	157	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( ( abs ` a ) e. CC /\ ( abs ` a ) =/= 0 ) )
159		divrec2 10702	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( abs ` ( F ` r ) ) e. CC /\ ( abs ` a ) e. CC /\ ( abs ` a ) =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) / ( abs ` a ) ) = ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) )
160	159	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( F ` r ) ) e. CC /\ ( ( abs ` a ) e. CC /\ ( abs ` a ) =/= 0 ) ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) / ( abs ` a ) ) = ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) )
161	154, 158, 160	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) / ( abs ` a ) ) = ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) )
162		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> a e. RR )
163	162, 125	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) e. RR )
164	162	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> a e. CC )
165	164	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( abs ` a ) e. RR )
166	165, 125	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( A - r ) ) ) e. RR )
167		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
168	124	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
169		leabs 14039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. RR -> a <_ ( abs ` a ) )
170	169	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> a <_ ( abs ` a ) )
171	162, 165, 125, 168, 170	lemul1ad 10963	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) <_ ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
172	136, 163, 166, 167, 171	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( A - r ) ) ) )
174	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( abs ` ( A - r ) ) e. RR )
175	153, 174, 157	ledivmuld 11925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( ( ( abs ` ( F ` r ) ) / ( abs ` a ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( ( abs ` a ) x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
176	173, 175	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) / ( abs ` a ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
177	161, 176	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ a =/= 0 ) -> ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
178	109, 177	sylan2br 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ -. a = 0 ) -> ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
179		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) = ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) )
180	179	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) -> ( ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> ( ( 1 / ( abs ` a ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
181	178, 180	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) /\ -. a = 0 ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
182	181	expimpd 629	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( ( -. a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
183	152, 182	jaod 395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( ( ( a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = 1 ) \/ ( -. a = 0 /\ if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) = ( 1 / ( abs ` a ) ) ) ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
184	117, 183	mpi 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ ( r e. RR /\ ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) )
185	184	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR ) -> ( ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
186	185	imim2d 57	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. RR ) /\ r e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
187	186	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
188		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) = ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) )
189	188	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( x = if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) -> ( ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) <-> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
190	189	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( x = if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
191	190	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( x = if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) -> ( A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) <-> A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
192	191	rspcev 3309	. . . 4 |- ( ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) e. RR+ /\ A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( if ( a = 0 , 1 , ( 1 / ( abs ` a ) ) ) x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )
193	114, 187, 192	syl6an 568	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. RR ) -> ( A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
194	193	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. a e. RR A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( abs ` ( F ` r ) ) <_ ( a x. ( abs ` ( A - r ) ) ) ) -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) ) )
195	104, 194	mpd 15	1 |- ( ph -> E. x e. RR+ A. r e. RR ( ( abs ` ( A - r ) ) <_ 1 -> ( x x. ( abs ` ( F ` r ) ) ) <_ ( abs ` ( A - r ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   [,]cicc 12178   abscabs 13974   C^nccpn 23629  Polycply 23940  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-cpn 23633  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  aalioulem4  24090