Theorem amgmw2d 42550

Description: Weighted arithmetic-geometric mean inequality for n = 2 (compare amgm2d 38501). (Contributed by Kunhao Zheng, 20-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
amgmw2d.0	|- ( ph -> A e. RR+ )
amgmw2d.1	|- ( ph -> P e. RR+ )
amgmw2d.2	|- ( ph -> B e. RR+ )
amgmw2d.3	|- ( ph -> Q e. RR+ )
amgmw2d.4	|- ( ph -> ( P + Q ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
amgmw2d	|- ( ph -> ( ( A ^c P ) x. ( B ^c Q ) ) <_ ( ( A x. P ) + ( B x. Q ) ) )

Proof of Theorem amgmw2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- (mulGrp ` ℂfld ) = (mulGrp ` ℂfld )
2		fzofi 12773	. . . 4 |- ( 0..^ 2 ) e. Fin
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ 2 ) e. Fin )
4		2nn 11185	. . . . 5 |- 2 e. NN
5		lbfzo0 12507	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) <-> 2 e. NN )
6	4, 5	mpbir 221	. . . 4 |- 0 e. ( 0..^ 2 )
7		ne0i 3921	. . . 4 |- ( 0 e. ( 0..^ 2 ) -> ( 0..^ 2 ) =/= (/) )
8	6, 7	mp1i 13	. . 3 |- ( ph -> ( 0..^ 2 ) =/= (/) )
9		amgmw2d.0	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR+ )
10		amgmw2d.2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR+ )
11	9, 10	s2cld 13616	. . . . 5 |- ( ph -> <" A B "> e. Word RR+ )
12		wrdf 13310	. . . . 5 |- ( <" A B "> e. Word RR+ -> <" A B "> : ( 0..^ ( # ` <" A B "> ) ) --> RR+ )
13	11, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> <" A B "> : ( 0..^ ( # ` <" A B "> ) ) --> RR+ )
14		s2len 13634	. . . . . 6 |- ( # ` <" A B "> ) = 2
15	14	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` <" A B "> ) ) = ( 0..^ 2 )
16	15	feq2i 6037	. . . 4 |- ( <" A B "> : ( 0..^ ( # ` <" A B "> ) ) --> RR+ <-> <" A B "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+ )
17	13, 16	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> <" A B "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+ )
18		amgmw2d.1	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. RR+ )
19		amgmw2d.3	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. RR+ )
20	18, 19	s2cld 13616	. . . . 5 |- ( ph -> <" P Q "> e. Word RR+ )
21		wrdf 13310	. . . . 5 |- ( <" P Q "> e. Word RR+ -> <" P Q "> : ( 0..^ ( # ` <" P Q "> ) ) --> RR+ )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> <" P Q "> : ( 0..^ ( # ` <" P Q "> ) ) --> RR+ )
23		s2len 13634	. . . . . 6 |- ( # ` <" P Q "> ) = 2
24	23	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 0..^ ( # ` <" P Q "> ) ) = ( 0..^ 2 )
25	24	feq2i 6037	. . . 4 |- ( <" P Q "> : ( 0..^ ( # ` <" P Q "> ) ) --> RR+ <-> <" P Q "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+ )
26	22, 25	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> <" P Q "> : ( 0..^ 2 ) --> RR+ )
27		cnring 19768	. . . . . 6 |- ℂfld e. Ring
28		ringmnd 18556	. . . . . 6 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. Mnd )
29	27, 28	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> ℂfld e. Mnd )
30	18	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ph -> P e. CC )
31	19	rpcnd 11874	. . . . 5 |- ( ph -> Q e. CC )
32		cnfldbas 19750	. . . . . 6 |- CC = ( Base ` ℂfld )
33		cnfldadd 19751	. . . . . 6 |- + = ( +g ` ℂfld )
34	32, 33	gsumws2 17379	. . . . 5 |- ( (ℂfld e. Mnd /\ P e. CC /\ Q e. CC ) -> (ℂfld gsumg <" P Q "> ) = ( P + Q ) )
35	29, 30, 31, 34	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> (ℂfld gsumg <" P Q "> ) = ( P + Q ) )
36		amgmw2d.4	. . . 4 |- ( ph -> ( P + Q ) = 1 )
37	35, 36	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg <" P Q "> ) = 1 )
38	1, 3, 8, 17, 26, 37	amgmwlem 42548	. 2 |- ( ph -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg ( <" A B "> oF ^c <" P Q "> ) ) <_ (ℂfld gsumg ( <" A B "> oF x. <" P Q "> ) ) )
39	9, 10	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) )
40	18, 19	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( P e. RR+ /\ Q e. RR+ ) )
41		ofs2 13710	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) /\ ( P e. RR+ /\ Q e. RR+ ) ) -> ( <" A B "> oF ^c <" P Q "> ) = <" ( A ^c P ) ( B ^c Q ) "> )
42	39, 40, 41	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( <" A B "> oF ^c <" P Q "> ) = <" ( A ^c P ) ( B ^c Q ) "> )
43	42	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg ( <" A B "> oF ^c <" P Q "> ) ) = ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" ( A ^c P ) ( B ^c Q ) "> ) )
44	1	ringmgp 18553	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
45	27, 44	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd )
46	18	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. RR )
47	9, 46	rpcxpcld 24476	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ^c P ) e. RR+ )
48	47	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^c P ) e. CC )
49	19	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> Q e. RR )
50	10, 49	rpcxpcld 24476	. . . . 5 |- ( ph -> ( B ^c Q ) e. RR+ )
51	50	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> ( B ^c Q ) e. CC )
52	1, 32	mgpbas 18495	. . . . 5 |- CC = ( Base ` (mulGrp ` ℂfld ) )
53		cnfldmul 19752	. . . . . 6 |- x. = ( .r ` ℂfld )
54	1, 53	mgpplusg 18493	. . . . 5 |- x. = ( +g ` (mulGrp ` ℂfld ) )
55	52, 54	gsumws2 17379	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` ℂfld ) e. Mnd /\ ( A ^c P ) e. CC /\ ( B ^c Q ) e. CC ) -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" ( A ^c P ) ( B ^c Q ) "> ) = ( ( A ^c P ) x. ( B ^c Q ) ) )
56	45, 48, 51, 55	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg <" ( A ^c P ) ( B ^c Q ) "> ) = ( ( A ^c P ) x. ( B ^c Q ) ) )
57	43, 56	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( (mulGrp ` ℂfld ) gsumg ( <" A B "> oF ^c <" P Q "> ) ) = ( ( A ^c P ) x. ( B ^c Q ) ) )
58		ofs2 13710	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) /\ ( P e. RR+ /\ Q e. RR+ ) ) -> ( <" A B "> oF x. <" P Q "> ) = <" ( A x. P ) ( B x. Q ) "> )
59	39, 40, 58	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( <" A B "> oF x. <" P Q "> ) = <" ( A x. P ) ( B x. Q ) "> )
60	59	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( <" A B "> oF x. <" P Q "> ) ) = (ℂfld gsumg <" ( A x. P ) ( B x. Q ) "> ) )
61	9, 18	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( ph -> ( A x. P ) e. RR+ )
62	61	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. P ) e. CC )
63	10, 19	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( ph -> ( B x. Q ) e. RR+ )
64	63	rpcnd 11874	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. Q ) e. CC )
65	32, 33	gsumws2 17379	. . . 4 |- ( (ℂfld e. Mnd /\ ( A x. P ) e. CC /\ ( B x. Q ) e. CC ) -> (ℂfld gsumg <" ( A x. P ) ( B x. Q ) "> ) = ( ( A x. P ) + ( B x. Q ) ) )
66	29, 62, 64, 65	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> (ℂfld gsumg <" ( A x. P ) ( B x. Q ) "> ) = ( ( A x. P ) + ( B x. Q ) ) )
67	60, 66	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( <" A B "> oF x. <" P Q "> ) ) = ( ( A x. P ) + ( B x. Q ) ) )
68	38, 57, 67	3brtr3d 4684	1 |- ( ph -> ( ( A ^c P ) x. ( B ^c Q ) ) <_ ( ( A x. P ) + ( B x. Q ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   2c2 11070   RR+crp 11832  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   <"cs2 13586   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  young2d  42551