bposlem2 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > bposlem2		Structured version Visualization version Unicode version

Theorem bposlem2 25010

Description: There are no odd primes in the range

dividing the

-th central binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
bposlem2.1
bposlem2.2
bposlem2.3
bposlem2.4
bposlem2.5

**Assertion**
Ref	Expression
bposlem2

Proof of Theorem bposlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bposlem2.1	. . 3
2		bposlem2.2	. . 3
3		pcbcctr 25001	. . 3 $/\$
4	1, 2, 3	syl2anc 693	. 2
5		elfznn 12370	. . . . . 6
6		elnn1uz2 11765	. . . . . 6 $\/$
7	5, 6	sylib 208	. . . . 5 $\/$
8		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
9		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . 15
10	2, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
11	10	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13
12	11	exp1d 13003	. . . . . . . . . . . 12
13	8, 12	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 $/\$
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	14	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 $/\$
16		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . 13
17	11	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18		bposlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19	17, 18	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15
20		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21	1	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	10	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16
23	10	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
25	20, 21, 22, 23, 24	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	19, 25	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14
27	21, 10	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . 15
28		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
30		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
31	29, 30	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
32		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
33	28, 31, 32	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . 15
34	27, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
35	26, 34	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13
36	16, 35	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . 12
37		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13
38	1	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13
39	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13
40	37, 38, 11, 39	divassd 10836	. . . . . . . . . . . 12
41	36, 40	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11
42		bposlem2.4	. . . . . . . . . . . . 13
43		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . 16
44		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
45	43, 1, 44	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14
47		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48		3pos 11114	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	47, 48	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
50		ltdiv23 10914	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	49, 50	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
52	46, 22, 23, 51	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . 13
53	42, 52	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12
54		df-3 11080	. . . . . . . . . . . 12
55	53, 54	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11
56	46, 10	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12
57		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12
58		flbi 12617	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
59	56, 57, 58	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$
60	41, 55, 59	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
62	15, 61	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$
63	13	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
66	29, 27, 65	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	47	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
68		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
70	40, 53	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
71		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
73	66, 67, 69, 70, 72	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	73, 74	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . 15
76		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
77	29, 31, 76	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78	27, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
79	75, 78	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14
80		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . 14
81	79, 80	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . 13
82		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14
83		flbi 12617	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
84	27, 82, 83	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
85	26, 81, 84	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
87	64, 86	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
89	88, 16	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$
90	62, 89	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$
91		2cn 11091	. . . . . . . 8
92	91	subidi 10352	. . . . . . 7
93	90, 92	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
94	45	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
96		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . . . . . 13
97		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
98	10, 96, 97	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
99	98	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 $/\$
100	95, 99	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 $/\$
101	100	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 $/\$
102	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
103		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
104	47, 22, 103	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
106	98	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
107		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
108	49, 107	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
109	46, 22, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	42, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
112	22, 22	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
114		bposlem2.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
115		nnltp1le 11433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
116	43, 10, 115	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117	114, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
118	54, 117	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16
119		lemul1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
120	47, 119	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
121	22, 22, 23, 120	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122	118, 121	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
124	11	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
126	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
127	10	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
129		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
130	126, 128, 129	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
131	125, 130	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
132	105, 113, 106, 123, 131	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
133	102, 105, 106, 111, 132	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	98	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
135	134	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
136	133, 135	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 $/\$
137		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
138	102, 137, 99	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . 11 $/\$
139	136, 138	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$
140		1e0p1 11552	. . . . . . . . . 10
141	139, 140	syl6breq 4694	. . . . . . . . 9 $/\$
142	100	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 $/\$
143		0z 11388	. . . . . . . . . 10
144		flbi 12617	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
145	142, 143, 144	sylancl 694	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
146	101, 141, 145	mpbir2and 957	. . . . . . . 8 $/\$
147	1	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
149	148, 99	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
150	149	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 $/\$
151	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
152	21, 147	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
153	38	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
154	152, 153	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
156	151, 102, 106, 155, 133	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
157	156, 135	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
158	151, 137, 99	ltdivmuld 11923	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
159	157, 158	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
160	159, 140	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 $/\$
161	149	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
162		flbi 12617	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
163	161, 143, 162	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
164	150, 160, 163	mpbir2and 957	. . . . . . . . . 10 $/\$
165	164	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
166		2t0e0 11183	. . . . . . . . 9
167	165, 166	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$
168	146, 167	oveq12d 6668	. . . . . . 7 $/\$
169		0m0e0 11130	. . . . . . 7
170	168, 169	syl6eq 2672	. . . . . 6 $/\$
171	93, 170	jaodan 826	. . . . 5 $/\$ $\/$
172	7, 171	sylan2 491	. . . 4 $/\$
173	172	sumeq2dv 14433	. . 3
174		fzfid 12772	. . . 4
175		sumz 14453	. . . . 5 $\/$
176	175	olcs 410	. . . 4
177	174, 176	syl 17	. . 3
178	173, 177	eqtrd 2656	. 2
179	4, 178	eqtrd 2656	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wss 3574 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cfn 7955

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cfl 12591

cexp 12860

cbc 13089

csu 14416

cprime 15385

cpc 15541

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386 df-pc 15542

This theorem is referenced by: bposlem3 25011

W3C validator