Theorem circlemethnat 30719

Description: The Hardy, Littlewood and Ramanujan Circle Method, Chapter 5.1 of [Nathanson] p. 123. This expresses R, the number of different ways a nonnegative integer N can be represented as the sum of at most S integers in the set A as an integral of Vinogradov trigonometric sums. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
circlemethnat.r	|- R = ( # ` ( A (repr ` S ) N ) )
circlemethnat.f	|- F = ( ( ( (𝟭 ` NN ) ` A )vts N ) ` x )
circlemethnat.n	|- N e. NN0
circlemethnat.a	|- A C_ NN
circlemethnat.s	|- S e. NN

Assertion

Ref	Expression
circlemethnat	|- R = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( F ^ S ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x

Distinct variable groups:   x, A   x, N   x, S

Allowed substitution hints:   R( x)   F( x)

Proof of Theorem circlemethnat

Dummy variables a c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN e. _V
2		circlemethnat.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ NN
3		indf 30077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( NN e. _V /\ A C_ NN ) -> ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> { 0 , 1 } )
4	1, 2, 3	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> { 0 , 1 }
5		pr01ssre 29570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { 0 , 1 } C_ RR
6		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR C_ CC
7	5, 6	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- { 0 , 1 } C_ CC
8		fss 6056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> { 0 , 1 } /\ { 0 , 1 } C_ CC ) -> ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> CC )
9	4, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> CC
10		cnex 10017	. . . . . . . . . . . . 13 |- CC e. _V
11	10, 1	elmap 7886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (𝟭 ` NN ) ` A ) e. ( CC ^m NN ) <-> ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> CC )
12	9, 11	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( (𝟭 ` NN ) ` A ) e. ( CC ^m NN )
13	12	elexi 3213	. . . . . . . . . 10 |- ( (𝟭 ` NN ) ` A ) e. _V
14	13	fvconst2 6469	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( 0..^ S ) -> ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) = ( (𝟭 ` NN ) ` A ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ c e. ( NN (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) = ( (𝟭 ` NN ) ` A ) )
16	15	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ c e. ( NN (repr ` S ) N ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) ` ( c ` a ) ) = ( ( (𝟭 ` NN ) ` A ) ` ( c ` a ) ) )
17	16	prodeq2dv 14653	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ c e. ( NN (repr ` S ) N ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) ` ( c ` a ) ) = prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( (𝟭 ` NN ) ` A ) ` ( c ` a ) ) )
18	17	sumeq2dv 14433	. . . . 5 |- ( T. -> sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) ` ( c ` a ) ) = sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( (𝟭 ` NN ) ` A ) ` ( c ` a ) ) )
19	2	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> A C_ NN )
20		circlemethnat.n	. . . . . . 7 |- N e. NN0
21	20	a1i 11	. . . . . 6 |- ( T. -> N e. NN0 )
22		circlemethnat.s	. . . . . . . 8 |- S e. NN
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> S e. NN )
24	23	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( T. -> S e. NN0 )
25	19, 21, 24	hashrepr 30703	. . . . 5 |- ( T. -> ( # ` ( A (repr ` S ) N ) ) = sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( (𝟭 ` NN ) ` A ) ` ( c ` a ) ) )
26	18, 25	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( T. -> sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) ` ( c ` a ) ) = ( # ` ( A (repr ` S ) N ) ) )
27		circlemethnat.r	. . . 4 |- R = ( # ` ( A (repr ` S ) N ) )
28	26, 27	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( T. -> R = sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) ` ( c ` a ) ) )
29	12	fconst6 6095	. . . . 5 |- ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN )
30	29	a1i 11	. . . 4 |- ( T. -> ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) : ( 0..^ S ) --> ( CC ^m NN ) )
31	21, 23, 30	circlemeth 30718	. . 3 |- ( T. -> sum_ c e. ( NN (repr ` S ) N ) prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) ` ( c ` a ) ) = S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
32		fzofi 12773	. . . . . . . 8 |- ( 0..^ S ) e. Fin
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( 0..^ S ) e. Fin )
34		circlemethnat.f	. . . . . . . 8 |- F = ( ( ( (𝟭 ` NN ) ` A )vts N ) ` x )
35	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> N e. NN0 )
36		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,) 1 ) C_ RR
37	36, 6	sstri 3612	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 (,) 1 ) C_ CC
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( 0 (,) 1 ) C_ CC )
39	38	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> x e. CC )
40	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( (𝟭 ` NN ) ` A ) : NN --> CC )
41	35, 39, 40	vtscl 30716	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( (𝟭 ` NN ) ` A )vts N ) ` x ) e. CC )
42	34, 41	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> F e. CC )
43		fprodconst 14708	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0..^ S ) e. Fin /\ F e. CC ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) F = ( F ^ ( # ` ( 0..^ S ) ) ) )
44	33, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) F = ( F ^ ( # ` ( 0..^ S ) ) ) )
45	14	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a ) = ( (𝟭 ` NN ) ` A ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) = ( ( (𝟭 ` NN ) ` A )vts N ) )
47	46	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) = ( ( ( (𝟭 ` NN ) ` A )vts N ) ` x ) )
48	47, 34	syl6reqr 2675	. . . . . . 7 |- ( ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) /\ a e. ( 0..^ S ) ) -> F = ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) )
49	48	prodeq2dv 14653	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) F = prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) )
50	24	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> S e. NN0 )
51		hashfzo0 13217	. . . . . . . 8 |- ( S e. NN0 -> ( # ` ( 0..^ S ) ) = S )
52	50, 51	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( # ` ( 0..^ S ) ) = S )
53	52	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( F ^ ( # ` ( 0..^ S ) ) ) = ( F ^ S ) )
54	44, 49, 53	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) = ( F ^ S ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) = ( ( F ^ S ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
56	55	itgeq2dv 23548	. . 3 |- ( T. -> S. ( 0 (,) 1 ) ( prod_ a e. ( 0..^ S ) ( ( ( ( ( 0..^ S ) X. { ( (𝟭 ` NN ) ` A ) } ) ` a )vts N ) ` x ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( F ^ S ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
57	28, 31, 56	3eqtrd 2660	. 2 |- ( T. -> R = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( F ^ S ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
58	57	trud 1493	1 |- R = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( F ^ S ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   (,)cioo 12175  ..^cfzo 12465   ^cexp 12860   #chash 13117   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   expce 14792   picpi 14797   S.citg 23387  𝟭cind 30072  reprcrepr 30686  vtscvts 30713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ind 30073  df-repr 30687  df-vts 30714

This theorem is referenced by: (None)