dirkertrigeqlem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkertrigeqlem2 40316

Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkertrigeqlem2.a
dirkertrigeqlem2.sinne0
dirkertrigeqlem2.n

**Assertion**
Ref	Expression
dirkertrigeqlem2

Distinct variable groups:

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10056	. . . . . . . . 9
2	1	halfcld 11277	. . . . . . . 8
3		fzfid 12772	. . . . . . . . 9
4		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13
5	4	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
7		dirkertrigeqlem2.a	. . . . . . . . . . . . 13
8	7	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
10	6, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	10	coscld 14861	. . . . . . . . 9 $/\$
12	3, 11	fsumcl 14464	. . . . . . . 8
13	2, 12	addcld 10059	. . . . . . 7
14	8	sincld 14860	. . . . . . 7
15		dirkertrigeqlem2.sinne0	. . . . . . 7
16	13, 14, 15	divcan4d 10807	. . . . . 6
17	16	eqcomd 2628	. . . . 5
18	3, 14, 11	fsummulc1 14517	. . . . . . . . 9
19	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
20	11, 19	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21		sinmulcos 40076	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
22	9, 10, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
23		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
24	6, 23, 9	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
25	23, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
26	10, 25	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
27	8	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	27	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
30	24, 26, 29	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
32	10, 9	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
33	32	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
35	10, 9	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
36		sinneg 14876	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
38	34, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
39	31, 38	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
40	9, 10	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
41	40	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
42	31, 41	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
43	35	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
44	42, 43	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
45	6, 9	mulsubfacd 10492	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
48	39, 44, 47	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49	48	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
50	20, 22, 49	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$
51	50	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9
52		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11
53		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
55	54, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
56	55	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
57	42, 56	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 $/\$
58		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
60	3, 52, 57, 59	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . 10
61	3, 57	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . 11
62	61, 52, 59	divrec2d 10805	. . . . . . . . . 10
63	60, 62	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9
64	18, 51, 63	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . 7
66	2, 12, 14	adddird 10065	. . . . . . 7
67	2, 14, 61	adddid 10064	. . . . . . 7
68	65, 66, 67	3eqtr4d 2666	. . . . . 6
69	68	oveq1d 6665	. . . . 5
70	10	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71	42, 70, 56	npncand 10416	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
72	71	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 $/\$
73	72	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . 10
74	42, 70	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 $/\$
75	70, 56	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11 $/\$
76	3, 74, 75	fsumadd 14470	. . . . . . . . . 10
77		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
79		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
81		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
83		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
85		dirkertrigeqlem2.n	. . . . . . . . . . . . 13
86	85	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12
87		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . 14
88	85, 87	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13
89		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . 13
90	88, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
91		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16
92	91	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15
93	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
94	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
95	93, 94	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
96	95	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
97	78, 80, 82, 84, 86, 90, 96	telfsum2 14537	. . . . . . . . . . 11
98		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	5, 98	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
100	99	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
105	104	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . 12
106		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
109		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
112		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
113	112	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
114	113	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
115		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
117	116	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
118		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
119	93, 118	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	119, 94	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
121	120	sincld 14860	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
122	108, 111, 114, 117, 86, 90, 121	telfsum2 14537	. . . . . . . . . . . 12
123	85	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	123	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	124, 1	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
127	126	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13
128	1	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
129	128	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
130	8	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . 16
131	129, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15
132	131	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
133		sin0 14879	. . . . . . . . . . . . . . 15
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
135	132, 134	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
136	127, 135	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
137	105, 122, 136	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11
138	97, 137	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
139	73, 76, 138	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
141	27	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12
142	141	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
145	124, 1	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14
146	145, 8	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13
147	146	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12
148	147, 14	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11
149	124, 8	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13
150	149	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12
151		0cnd 10033	. . . . . . . . . . . 12
152	150, 151	subcld 10392	. . . . . . . . . . 11
153	14, 148, 152	addassd 10062	. . . . . . . . . 10
154	153	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9
155	14, 147	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . 11
156	150	subid1d 10381	. . . . . . . . . . 11
157	155, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
158	147, 150	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10
159	157, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
160	144, 154, 159	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
161	140, 160	eqtrd 2656	. . . . . . 7
162	161	oveq2d 6666	. . . . . 6
163	162	oveq1d 6665	. . . . 5
164	17, 69, 163	3eqtrd 2660	. . . 4
165		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
167	123, 166	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10
168	167, 7	remulcld 10070	. . . . . . . . 9
169	168	recnd 10068	. . . . . . . 8
170	2, 8	mulcld 10060	. . . . . . . 8
171		sinmulcos 40076	. . . . . . . 8 $/\$
172	169, 170, 171	syl2anc 693	. . . . . . 7
173	124, 2, 8	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12
174	173	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
175	149, 170, 170	addassd 10062	. . . . . . . . . . 11
176	2, 2, 8	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . 14
177	1	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . 15
178	177	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
179	176, 178	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13
180	179	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
181	124, 1, 8	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12
182	180, 181	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11
183	174, 175, 182	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . 10
184	183	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
185	173	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
186	149, 170	pncand 10393	. . . . . . . . . . 11
187	185, 186	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10
188	187	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9
189	184, 188	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
190	189	oveq1d 6665	. . . . . . 7
191	172, 190	eqtr4d 2659	. . . . . 6
192	158	oveq1d 6665	. . . . . 6
193	150, 147	addcld 10059	. . . . . . 7
194	193, 52, 59	divrec2d 10805	. . . . . 6
195	191, 192, 194	3eqtrrd 2661	. . . . 5
196	195	oveq1d 6665	. . . 4
197	8, 52, 59	divcan2d 10803	. . . . . . . . 9
198	197	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
199	198	fveq2d 6195	. . . . . . 7
200	8	halfcld 11277	. . . . . . . 8
201		sin2t 14907	. . . . . . . 8
202	200, 201	syl 17	. . . . . . 7
203	199, 202	eqtrd 2656	. . . . . 6
204	203	oveq2d 6666	. . . . 5
205	200	sincld 14860	. . . . . . . 8
206	200	coscld 14861	. . . . . . . 8
207	52, 205, 206	mulassd 10063	. . . . . . 7
208	8, 52, 59	divrec2d 10805	. . . . . . . . 9
209	208	fveq2d 6195	. . . . . . . 8
210	209	oveq2d 6666	. . . . . . 7
211	207, 210	eqtr3d 2658	. . . . . 6
212	211	oveq2d 6666	. . . . 5
213	169	sincld 14860	. . . . . 6
214	52, 205	mulcld 10060	. . . . . 6
215	170	coscld 14861	. . . . . 6
216	205, 206	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
217	203, 15	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . 9
218	52, 216, 217	mulne0bbd 10683	. . . . . . . 8
219	205, 206, 218	mulne0bad 10682	. . . . . . 7
220	52, 205, 59, 219	mulne0d 10679	. . . . . 6
221	205, 206, 218	mulne0bbd 10683	. . . . . . 7
222	209, 221	eqnetrrd 2862	. . . . . 6
223	213, 214, 215, 220, 222	divcan5rd 10828	. . . . 5
224	204, 212, 223	3eqtrd 2660	. . . 4
225	164, 196, 224	3eqtrd 2660	. . 3
226	225	oveq1d 6665	. 2
227		picn 24211	. . . 4
228	227	a1i 11	. . 3
229		pire 24210	. . . . 5
230		pipos 24212	. . . . 5
231	229, 230	gt0ne0ii 10564	. . . 4
232	231	a1i 11	. . 3
233	213, 214, 228, 220, 232	divdiv32d 10826	. 2
234	213, 228, 214, 232, 220	divdiv1d 10832	. . 3
235	228, 52, 205	mulassd 10063	. . . . 5
236	228, 52	mulcomd 10061	. . . . . 6
237	236	oveq1d 6665	. . . . 5
238	235, 237	eqtr3d 2658	. . . 4
239	238	oveq2d 6666	. . 3
240	234, 239	eqtrd 2656	. 2
241	226, 233, 240	3eqtrd 2660	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cuz 11687

cfz 12326

csu 14416

csin 14794

ccos 14795

cpi 14797

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: dirkertrigeq 40318

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