Theorem dirkertrigeq 40318

Description: Trigonometric equality for the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeq.d	|- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
dirkertrigeq.n	|- ( ph -> N e. NN )
dirkertrigeq.f	|- F = ( D ` N )
dirkertrigeq.h	|- H = ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeq	|- ( ph -> F = H )

Distinct variable groups:   k, N, s   ph, k, s   n, s

Allowed substitution hints:   ph( n)   D( k, n, s)   F( k, n, s)   H( k, n, s)   N( n)

Proof of Theorem dirkertrigeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeq.f	. . 3 |- F = ( D ` N )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> F = ( D ` N ) )
3		dirkertrigeq.n	. . 3 |- ( ph -> N e. NN )
4		dirkertrigeq.d	. . . 4 |- D = ( n e. NN |-> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( n + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
5	4	dirkerval 40308	. . 3 |- ( N e. NN -> ( D ` N ) = ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
6	3, 5	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( D ` N ) = ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
7		dirkertrigeq.h	. . 3 |- H = ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
8		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
9	3	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
10	8, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
11		peano2cn 10208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 x. N ) e. CC -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. CC )
13		picn 24211	. . . . . . . . . 10 |- pi e. CC
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. CC )
15		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
17		pire 24210	. . . . . . . . . . 11 |- pi e. RR
18		pipos 24212	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < pi
19	17, 18	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . 10 |- pi =/= 0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi =/= 0 )
21	12, 8, 14, 16, 20	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) / pi ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
22	21	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) / pi ) )
23	22	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) / pi ) )
24		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) )
26		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ZZ )
27	26	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. CC )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
29		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR -> s e. CC )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> s e. CC )
31		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. CC
32	31, 13	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. pi ) e. CC
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
34	31, 13, 15, 19	mulne0i 10670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 x. pi ) =/= 0
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
36	28, 30, 33, 35	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( k x. s ) / ( 2 x. pi ) ) = ( k x. ( s / ( 2 x. pi ) ) ) )
37	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. ZZ )
38		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 )
39		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> s e. RR )
40		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. RR+
41		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi e. RR+
42		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. RR+ /\ pi e. RR+ ) -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
43	40, 41, 42	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 x. pi ) e. RR+
44		mod0 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ ) -> ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( s / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
45	39, 43, 44	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 <-> ( s / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
46	38, 45	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( s / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( s / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
48	37, 47	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. ( s / ( 2 x. pi ) ) ) e. ZZ )
49	36, 48	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( k x. s ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ )
50	27	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> k e. CC )
51	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> s e. CC )
52	50, 51	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( k x. s ) e. CC )
53		coseq1 24274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k x. s ) e. CC -> ( ( cos ` ( k x. s ) ) = 1 <-> ( ( k x. s ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( s e. RR /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( cos ` ( k x. s ) ) = 1 <-> ( ( k x. s ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
55	54	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( cos ` ( k x. s ) ) = 1 <-> ( ( k x. s ) / ( 2 x. pi ) ) e. ZZ ) )
56	49, 55	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) = 1 )
57	56	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> A. k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) = 1 )
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> A. k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) = 1 )
59	58	sumeq2d 14432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) 1 )
60		fzfid 12772	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
61		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> 1 e. CC )
62		fsumconst 14522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... N ) ) x. 1 ) )
63	60, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) 1 = ( ( # ` ( 1 ... N ) ) x. 1 ) )
64	3	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN0 )
65		hashfz1 13134	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) x. 1 ) = ( N x. 1 ) )
68	9	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
69	67, 68	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) x. 1 ) = N )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) x. 1 ) = N )
71	59, 63, 70	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) = N )
72	71	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + N ) )
73	9	div1d 10793	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N / 1 ) = N )
74	73	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N = ( N / 1 ) )
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + N ) = ( ( 1 / 2 ) + ( N / 1 ) ) )
76		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
77		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 =/= 0
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 =/= 0 )
79	76, 8, 9, 76, 16, 78	divadddivd 10845	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N / 1 ) ) = ( ( ( 1 x. 1 ) + ( N x. 2 ) ) / ( 2 x. 1 ) ) )
80	76, 76	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. 1 ) e. CC )
81	9, 8	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N x. 2 ) e. CC )
82	80, 81	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 1 x. 1 ) + ( N x. 2 ) ) = ( ( N x. 2 ) + ( 1 x. 1 ) ) )
83	9, 8	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N x. 2 ) = ( 2 x. N ) )
84	76	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 x. 1 ) = 1 )
85	83, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N x. 2 ) + ( 1 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
86	82, 85	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 x. 1 ) + ( N x. 2 ) ) = ( ( 2 x. N ) + 1 ) )
87	8	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
88	86, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 1 x. 1 ) + ( N x. 2 ) ) / ( 2 x. 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) )
89	75, 79, 88	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + N ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) )
90	89	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + N ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) )
91	72, 90	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) / pi ) )
93	23, 25, 92	3eqtr4rd 2667	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
94		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
95	94	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
96	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR -> pi e. CC )
97	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR -> pi =/= 0 )
98	29, 96, 97	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. RR -> ( ( s / pi ) x. pi ) = s )
99	98	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. RR -> s = ( ( s / pi ) x. pi ) )
100	99	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> s = ( ( s / pi ) x. pi ) )
101		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( s mod pi ) = 0 )
102		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> s e. RR )
103		mod0 12675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. RR /\ pi e. RR+ ) -> ( ( s mod pi ) = 0 <-> ( s / pi ) e. ZZ ) )
104	102, 41, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( s mod pi ) = 0 <-> ( s / pi ) e. ZZ ) )
105	101, 104	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. RR /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( s / pi ) e. ZZ )
106	105	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( s / pi ) e. ZZ )
107		rpreccl 11857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( pi e. RR+ -> ( 1 / pi ) e. RR+ )
108	41, 107	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 1 / pi ) e. RR+
109		moddi 12738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1 / pi ) e. RR+ /\ s e. RR /\ ( 2 x. pi ) e. RR+ ) -> ( ( 1 / pi ) x. ( s mod ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 1 / pi ) x. s ) mod ( ( 1 / pi ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
110	108, 43, 109	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / pi ) x. ( s mod ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 1 / pi ) x. s ) mod ( ( 1 / pi ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
111	29, 96, 97	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. RR -> ( s / pi ) = ( ( 1 / pi ) x. s ) )
112	111	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / pi ) x. s ) = ( s / pi ) )
113	96, 97	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s e. RR -> ( 1 / pi ) e. CC )
114	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s e. RR -> ( 2 x. pi ) e. CC )
115	113, 114	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / pi ) x. ( 2 x. pi ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( 1 / pi ) ) )
116		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s e. RR -> 2 e. CC )
117	116, 96, 113	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. ( 1 / pi ) ) = ( 2 x. ( pi x. ( 1 / pi ) ) ) )
118	13, 19	recidi 10756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( pi x. ( 1 / pi ) ) = 1
119	118	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 x. ( pi x. ( 1 / pi ) ) ) = ( 2 x. 1 )
120	116	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( s e. RR -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
121	119, 120	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. RR -> ( 2 x. ( pi x. ( 1 / pi ) ) ) = 2 )
122	115, 117, 121	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s e. RR -> ( ( 1 / pi ) x. ( 2 x. pi ) ) = 2 )
123	112, 122	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR -> ( ( ( 1 / pi ) x. s ) mod ( ( 1 / pi ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( s / pi ) mod 2 ) )
124	110, 123	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( s e. RR -> ( ( s / pi ) mod 2 ) = ( ( 1 / pi ) x. ( s mod ( 2 x. pi ) ) ) )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( s / pi ) mod 2 ) = ( ( 1 / pi ) x. ( s mod ( 2 x. pi ) ) ) )
126	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 1 / pi ) e. CC )
127		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. RR -> s e. RR )
128	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( s e. RR -> ( 2 x. pi ) e. RR+ )
129	127, 128	modcld 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( s e. RR -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) e. RR )
130	129	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. RR -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) e. CC )
131	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) e. CC )
132		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 e. CC
133	132, 13, 77, 19	divne0i 10773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 / pi ) =/= 0
134	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( 1 / pi ) =/= 0 )
135		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( s mod ( 2 x. pi ) ) =/= 0 )
137	126, 131, 134, 136	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( 1 / pi ) x. ( s mod ( 2 x. pi ) ) ) =/= 0 )
138	125, 137	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( s / pi ) mod 2 ) =/= 0 )
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( s / pi ) mod 2 ) =/= 0 )
140		oddfl 39489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( s / pi ) e. ZZ /\ ( ( s / pi ) mod 2 ) =/= 0 ) -> ( s / pi ) = ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) )
141	106, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( s / pi ) = ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) )
142	141	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( s / pi ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) )
143	100, 142	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> s = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) )
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( k x. s ) = ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) )
145	144	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( cos ` ( k x. s ) ) = ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
146	145	sumeq2sdv 14435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) = sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) )
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) ) )
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( s e. RR /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) ) / pi ) )
149	148	adantlll 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) ) / pi ) )
150	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> N e. NN )
151	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR -> pi e. RR )
152	127, 151, 97	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> ( s / pi ) e. RR )
153	152	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( ( s / pi ) / 2 ) e. RR )
154	153	flcld 12599	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) e. ZZ )
155	154	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) e. ZZ )
156		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi )
157	150, 155, 156	dirkertrigeqlem3 40317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) )
158	157	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) )
159	141	adantlll 754	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( s / pi ) = ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) )
160	159	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) = ( s / pi ) )
161	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( ( s / pi ) x. pi ) )
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) )
163	162	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) ) )
164	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) = ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) )
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) ) = ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) ) )
167	163, 166	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) )
168	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) )
169	168	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) )
170	98	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s e. RR -> ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) = ( s / 2 ) )
171	170	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. RR -> ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) = ( sin ` ( s / 2 ) ) )
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( s e. RR -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) )
173	169, 172	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( s e. RR -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
175	174	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( s / pi ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( s / pi ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
176	167, 175	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( ( s / pi ) / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
177	149, 158, 176	3eqtrrd 2661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
178		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> s e. RR )
179		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> -. ( s mod pi ) = 0 )
180	178, 41, 103	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( s mod pi ) = 0 <-> ( s / pi ) e. ZZ ) )
181	179, 180	mtbid 314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> -. ( s / pi ) e. ZZ )
182	178	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> s e. CC )
183		sineq0 24273	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( s e. CC -> ( ( sin ` s ) = 0 <-> ( s / pi ) e. ZZ ) )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` s ) = 0 <-> ( s / pi ) e. ZZ ) )
185	181, 184	mtbird 315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> -. ( sin ` s ) = 0 )
186	185	neqned 2801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> ( sin ` s ) =/= 0 )
187	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> N e. NN )
188	178, 186, 187	dirkertrigeqlem2 40316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) )
189	188	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
190	189	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) /\ -. ( s mod pi ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
191	177, 190	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) )
192	95, 191	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ s e. RR ) /\ -. ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
193	93, 192	pm2.61dan 832	. . . 4 |- ( ( ph /\ s e. RR ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) = if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) )
194	193	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( s e. RR |-> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ k e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( k x. s ) ) ) / pi ) ) = ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) )
195	7, 194	syl5req 2669	. 2 |- ( ph -> ( s e. RR |-> if ( ( s mod ( 2 x. pi ) ) = 0 , ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / ( 2 x. pi ) ) , ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. s ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( s / 2 ) ) ) ) ) ) = H )
196	2, 6, 195	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> F = H )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   mod cmo 12668   #chash 13117   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dirkeritg  40319  fourierdlem83  40406