Theorem dirkertrigeqlem3 40317

Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonometric equality. Here we handle the case for an angle that's an odd multiple of pi. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3.n	|- ( ph -> N e. NN )
dirkertrigeqlem3.k	|- ( ph -> K e. ZZ )
dirkertrigeqlem3.a	|- A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi )

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem3	|- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   n, N   ph, n

Allowed substitution hints:   A( n)   K( n)

Proof of Theorem dirkertrigeqlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkertrigeqlem3.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi )
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. A ) = ( n x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
4		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. ZZ )
5	4	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. CC )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. CC )
7		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 2 e. CC )
8		dirkertrigeqlem3.k	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> K e. ZZ )
9	8	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> K e. CC )
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> K e. CC )
11	7, 10	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. K ) e. CC )
12		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> 1 e. CC )
13	11, 12	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
14		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. CC
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> pi e. CC )
16	13, 15	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) e. CC )
17	6, 16	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) )
18	13, 15, 6	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. ( pi x. n ) ) )
19	15, 6	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( pi x. n ) e. CC )
20	11, 12, 19	adddird 10065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) )
21	11, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) e. CC )
22	12, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) e. CC )
23	21, 22	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 x. ( pi x. n ) ) + ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) ) )
24	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> pi e. CC )
25	24, 5	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( pi x. n ) e. CC )
26	25	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) = ( pi x. n ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 1 x. ( pi x. n ) ) = ( pi x. n ) )
28	7, 10, 15, 6	mul4d 10248	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( K x. n ) ) )
29	7, 15	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( 2 x. pi ) e. CC )
30	10, 6	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( K x. n ) e. CC )
31	29, 30	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( K x. n ) ) = ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) )
32	28, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) = ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) )
33	27, 32	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( 1 x. ( pi x. n ) ) + ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
34	23, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( 2 x. K ) x. ( pi x. n ) ) + ( 1 x. ( pi x. n ) ) ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
35	18, 20, 34	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) x. n ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
36	3, 17, 35	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( n x. A ) = ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
37	36	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( n x. A ) ) = ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
38	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> K e. ZZ )
39	4	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. ZZ )
40	38, 39	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( K x. n ) e. ZZ )
41		cosper 24234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( pi x. n ) e. CC /\ ( K x. n ) e. ZZ ) -> ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
42	19, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( ( pi x. n ) + ( ( K x. n ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
43	37, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( cos ` ( n x. A ) ) = ( cos ` ( pi x. n ) ) )
44	43	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
45	44	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) )
46	45	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
47	46	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
48		dirkertrigeqlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. NN )
49	48	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. CC )
50		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
51		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 =/= 0
52	51	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
53	49, 50, 52	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = N )
54	53	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N = ( 2 x. ( N / 2 ) ) )
55	54	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) )
56	55	sumeq1d 14431	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
58	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> pi e. CC )
59		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> n e. ZZ )
60	59	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> n e. CC )
61	58, 60	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> ( pi x. n ) = ( n x. pi ) )
62	61	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
63	62	rgen 2922	. . . . . . . . . 10 |- A. n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) )
64	63	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> A. n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
65	64	sumeq2d 14432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N mod 2 ) = 0 )
67	48	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N e. RR )
68	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> N e. RR )
69		2rp 11837	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR+
70		mod0 12675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR+ ) -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
71	68, 69, 70	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( N mod 2 ) = 0 <-> ( N / 2 ) e. ZZ ) )
72	66, 71	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N / 2 ) e. ZZ )
73		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. RR )
75	48	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < N )
76		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
77	76	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 2 )
78	67, 74, 75, 77	divgt0d 10959	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( N / 2 ) )
79	78	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 0 < ( N / 2 ) )
80		elnnz 11387	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N / 2 ) e. NN <-> ( ( N / 2 ) e. ZZ /\ 0 < ( N / 2 ) ) )
81	72, 79, 80	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N / 2 ) e. NN )
82		dirkertrigeqlem1 40315	. . . . . . . . 9 |- ( ( N / 2 ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( N / 2 ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
84	57, 65, 83	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = 0 )
85	84	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + 0 ) )
86		halfcn 11247	. . . . . . 7 |- ( 1 / 2 ) e. CC
87	86	addid1i 10223	. . . . . 6 |- ( ( 1 / 2 ) + 0 ) = ( 1 / 2 )
88	85, 87	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( 1 / 2 ) )
89	88	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) = ( ( 1 / 2 ) / pi ) )
90		ax-1cn 9994	. . . . . 6 |- 1 e. CC
91		2cnne0 11242	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
92		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
93		pipos 24212	. . . . . . . 8 |- 0 < pi
94	92, 93	gt0ne0ii 10564	. . . . . . 7 |- pi =/= 0
95	14, 94	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( pi e. CC /\ pi =/= 0 )
96		divdiv1 10736	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
97	90, 91, 95, 96	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) )
98	97	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
99	47, 89, 98	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
100	1	oveq2i 6661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
101	100	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
102	86	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
103	49, 102	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
104	50, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. K ) e. CC )
105		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 x. K ) e. CC -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) + 1 ) e. CC )
107	14	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> pi e. CC )
108	103, 106, 107	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) ) )
109		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. CC )
110	49, 102, 104, 109	muladdd 10489	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) ) )
111	49, 50, 9	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. ( 2 x. K ) ) = ( 2 x. ( N x. K ) ) )
112	102	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 ) )
113	111, 112	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) )
114	49	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. 1 ) = N )
115	50, 9	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. K ) = ( K x. 2 ) )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( K x. 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) )
117	9, 50, 102	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( K x. 2 ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) )
118		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. CC
119	118, 51	recidi 10756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
120	119	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( K x. 1 )
121	9	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( K x. 1 ) = K )
122	120, 121	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K x. ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ) = K )
123	116, 117, 122	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) = K )
124	114, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) = ( N + K ) )
125	113, 124	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( N x. ( 2 x. K ) ) + ( 1 x. ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( N x. 1 ) + ( ( 2 x. K ) x. ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( N + K ) ) )
126	49, 9	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N x. K ) e. CC )
127	50, 126	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. K ) ) e. CC )
128	49, 9	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N + K ) e. CC )
129	127, 102, 128	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( 1 / 2 ) ) + ( N + K ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) )
130	110, 125, 129	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) )
131	102, 128	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) e. CC )
132	127, 131	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N x. K ) ) + ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( 2 x. ( N x. K ) ) ) )
133	50, 126	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( N x. K ) ) = ( ( N x. K ) x. 2 ) )
134	133	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( 2 x. ( N x. K ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) )
135	130, 132, 134	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) )
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) x. pi ) )
137	126, 50	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( N x. K ) x. 2 ) e. CC )
138	131, 137, 107	adddird 10065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) + ( ( N x. K ) x. 2 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) ) )
139	126, 50, 107	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) )
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( ( N x. K ) x. 2 ) x. pi ) ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
141	136, 138, 140	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. ( ( 2 x. K ) + 1 ) ) x. pi ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
142	101, 108, 141	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) = ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) = ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
144	131, 107	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) e. CC )
145	48	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ZZ )
146	145, 8	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N x. K ) e. ZZ )
147		sinper 24233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) e. CC /\ ( N x. K ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) )
148	144, 146, 147	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) + ( ( N x. K ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) )
149	102, 128	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) = ( ( N + K ) + ( 1 / 2 ) ) )
150	49, 9, 102	addassd 10062	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( N + K ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( K + ( 1 / 2 ) ) ) )
151	9, 102	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
152	49, 151	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N + ( K + ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) )
153	149, 150, 152	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) )
155	154	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( 1 / 2 ) + ( N + K ) ) x. pi ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) )
156	143, 148, 155	3eqtrd 2660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) )
157	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) )
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) )
159	106, 107, 50, 52	div23d 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) x. pi ) / 2 ) = ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) x. pi ) )
160	104, 109, 50, 52	divdird 10839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. K ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
161	9, 50, 52	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. K ) / 2 ) = K )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
163	160, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
164	163	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. K ) + 1 ) / 2 ) x. pi ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) )
165	158, 159, 164	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A / 2 ) = ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) )
166	165	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( A / 2 ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
167	166	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) = ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
168	156, 167	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
169	168	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
170	151, 49, 107	adddird 10065	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) )
171	170	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) )
172	171	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
173	172	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) + N ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
174	49	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. CC )
175	50, 174	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( N / 2 ) ) = ( ( N / 2 ) x. 2 ) )
176	53, 175	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N = ( ( N / 2 ) x. 2 ) )
177	176	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N x. pi ) = ( ( ( N / 2 ) x. 2 ) x. pi ) )
178	174, 50, 107	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( N / 2 ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
179	177, 178	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N x. pi ) = ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) )
180	179	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
181	180	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
182	181	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
183	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> K e. CC )
184		1cnd 10056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> 1 e. CC )
185	184	halfcld 11277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
186	183, 185	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( K + ( 1 / 2 ) ) e. CC )
187	14	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> pi e. CC )
188	186, 187	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
189		sinper 24233	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC /\ ( N / 2 ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
190	188, 72, 189	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( ( N / 2 ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
191	182, 190	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
192	50, 107	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) e. CC )
193	151, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
194	193	sincld 14860	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) e. CC )
195	192, 194	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
196	195	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
197	191, 196	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
198	94	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> pi =/= 0 )
199	151, 107, 198	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) = ( K + ( 1 / 2 ) ) )
200	8	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> K e. RR )
201	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 2 e. RR+ )
202	201	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR+ )
203	200, 202	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K < ( K + ( 1 / 2 ) ) )
204		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. RR )
205	204	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. RR )
206		halflt1 11250	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 / 2 ) < 1
207	206	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) < 1 )
208	205, 204, 200, 207	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K + ( 1 / 2 ) ) < ( K + 1 ) )
209		btwnnz 11453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ K < ( K + ( 1 / 2 ) ) /\ ( K + ( 1 / 2 ) ) < ( K + 1 ) ) -> -. ( K + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
210	8, 203, 208, 209	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -. ( K + ( 1 / 2 ) ) e. ZZ )
211	199, 210	eqneltrd 2720	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -. ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ )
212		sineq0 24273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 <-> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ ) )
213	193, 212	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 <-> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) / pi ) e. ZZ ) )
214	211, 213	mtbird 315	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) = 0 )
215	214	neqned 2801	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) =/= 0 )
216	50, 107, 52, 198	mulne0d 10679	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
217	194, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
218	194, 215	dividd 10799	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = 1 )
219	218	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
220	217, 219	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
221	220	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
222	197, 221	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( 1 / ( 2 x. pi ) ) )
223	169, 173, 222	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
224	99, 223	eqtrd 2656	. 2 |- ( ( ph /\ ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
225	46	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) )
226	145	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> N e. ZZ )
227		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> -. ( N mod 2 ) = 0 )
228	227	neqned 2801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N mod 2 ) =/= 0 )
229		oddfl 39489	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( N mod 2 ) =/= 0 ) -> N = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) )
230	226, 228, 229	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> N = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) )
231	230	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( 1 ... N ) = ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) )
232	231	sumeq1d 14431	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
233		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N = 1 -> ( N / 2 ) = ( 1 / 2 ) )
234	233	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) )
235		halffl 39510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |_ ` ( 1 / 2 ) ) = 0
236	234, 235	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N = 1 -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) = 0 )
237	236	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N = 1 -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = ( 2 x. 0 ) )
238		2t0e0 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 x. 0 ) = 0
239	237, 238	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N = 1 -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = 0 )
240	239	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
241	90	addid2i 10224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 + 1 ) = 1
242	240, 241	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) = 1 )
243	242	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( N = 1 -> ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( 1 ... 1 ) )
244	243	sumeq1d 14431	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) )
245		1z 11407	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. ZZ
246		coscl 14857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi e. CC -> ( cos ` pi ) e. CC )
247	14, 246	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos ` pi ) e. CC
248		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( pi x. n ) = ( pi x. 1 ) )
249	14	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi x. 1 ) = pi
250	248, 249	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( pi x. n ) = pi )
251	250	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
252	251	fsum1 14476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( cos ` pi ) e. CC ) -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
253	245, 247, 252	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi )
254	253	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... 1 ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` pi ) )
255		cospi 24224	. . . . . . . . . . 11 |- ( cos ` pi ) = -u 1
256	255	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N = 1 -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
257	244, 254, 256	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( N = 1 -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
258	257	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
259		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
260	259	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. NN )
261	67	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N / 2 ) e. RR )
262	261	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
263	262	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
264		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 / 2 ) = 1
265	73	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. RR )
266	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> N e. RR )
267	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 e. RR+ )
268		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. N = 1 -> N =/= 1 )
269		nnne1ge2 39504	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ N =/= 1 ) -> 2 <_ N )
270	48, 268, 269	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 2 <_ N )
271	265, 266, 267, 270	lediv1dd 11930	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 / 2 ) <_ ( N / 2 ) )
272	264, 271	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 1 <_ ( N / 2 ) )
273	261	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( N / 2 ) e. RR )
274		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( 1 <_ ( N / 2 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
275	273, 245, 274	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 1 <_ ( N / 2 ) <-> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
276	272, 275	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) )
277		elnnz1 11403	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN <-> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ /\ 1 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
278	263, 276, 277	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN )
279	260, 278	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. NN )
280		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
281	279, 280	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
282	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> pi e. CC )
283		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) -> n e. ZZ )
284	283	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) -> n e. CC )
285	284	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> n e. CC )
286	282, 285	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( pi x. n ) e. CC )
287	286	coscld 14861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. N = 1 ) /\ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) e. CC )
288		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) -> ( pi x. n ) = ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) )
289	288	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) )
290	281, 287, 289	fsump1 14487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) + ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) )
291	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> pi e. CC )
292		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> n e. ZZ )
293	292	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> n e. CC )
294	291, 293	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> ( pi x. n ) = ( n x. pi ) )
295	294	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) -> ( cos ` ( pi x. n ) ) = ( cos ` ( n x. pi ) ) )
296	295	sumeq2i 14429	. . . . . . . . . . 11 |- sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) )
297		dirkertrigeqlem1 40315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. NN -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
298	278, 297	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( n x. pi ) ) = 0 )
299	296, 298	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = 0 )
300	262	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. CC )
301	50, 300	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) e. CC )
302	107, 301, 109	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) + ( pi x. 1 ) ) )
303	107, 50, 300	mul13d 39491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
304	249	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( pi x. 1 ) = pi )
305	303, 304	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) + ( pi x. 1 ) ) = ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) )
306	300, 192	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
307	306, 107	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) + pi ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
308	302, 305, 307	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
309	308	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
310		cosper 24234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi e. CC /\ ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
311	107, 262, 310	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( cos ` pi ) )
312	255	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( cos ` pi ) = -u 1 )
313	309, 311, 312	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = -u 1 )
314	313	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) = -u 1 )
315	299, 314	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) + ( cos ` ( pi x. ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ) ) = ( 0 + -u 1 ) )
316		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
317	316	addid2i 10224	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 + -u 1 ) = -u 1
318	317	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> ( 0 + -u 1 ) = -u 1 )
319	290, 315, 318	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. N = 1 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
320	258, 319	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
321	320	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
322	232, 321	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) = -u 1 )
323	322	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) )
324	323	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( pi x. n ) ) ) / pi ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
325	168, 172	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
326	325	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
327	230	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) )
328	301, 109, 107	adddird 10065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
329	107	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 x. pi ) = pi )
330	329	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + pi ) )
331	301, 107	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) e. CC )
332	331, 107	addcomd 10238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) + pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
333	328, 330, 332	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
334	333	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) + 1 ) x. pi ) = ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) )
335	50, 300	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) )
336	335	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) = ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) x. pi ) )
337	300, 50, 107	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. 2 ) x. pi ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
338	336, 337	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) = ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) )
339	338	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
340	339	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( pi + ( ( 2 x. ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) x. pi ) ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
341	327, 334, 340	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( N x. pi ) = ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
342	341	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
343	193	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC )
344	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> pi e. CC )
345	306	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) e. CC )
346	343, 344, 345	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( pi + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
347	342, 346	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) = ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
348	347	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) = ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) )
349	348	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + ( N x. pi ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
350	193, 107	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) e. CC )
351		sinper 24233	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) e. CC /\ ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) )
352	350, 262, 351	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) )
353		sinppi 24241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) e. CC -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
354	193, 353	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
355	352, 354	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) = -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) )
356	355	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) )
357	195	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
358	194, 194, 215	divnegd 10814	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) )
359	218	negeqd 10275	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -u ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = -u 1 )
360	358, 359	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) = -u 1 )
361	360	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) )
362	194	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) e. CC )
363	362, 194, 192, 215, 216	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) / ( 2 x. pi ) ) = ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) )
364	86, 90	negsubi 10359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( ( 1 / 2 ) - 1 )
365	90, 86	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( ( 1 / 2 ) - 1 )
366		1mhlfehlf 11251	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / 2 )
367	366	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = -u ( 1 / 2 )
368		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( 1 / 2 ) = ( -u 1 / 2 ) )
369	90, 118, 51, 368	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12 |- -u ( 1 / 2 ) = ( -u 1 / 2 )
370	367, 369	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 - ( 1 / 2 ) ) = ( -u 1 / 2 )
371	364, 365, 370	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( -u 1 / 2 )
372	371	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) = ( ( -u 1 / 2 ) / pi )
373		divdiv1 10736	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( -u 1 / 2 ) / pi ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) )
374	316, 91, 95, 373	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u 1 / 2 ) / pi ) = ( -u 1 / ( 2 x. pi ) )
375	372, 374	eqtr2i 2645	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi )
376	375	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( -u 1 / ( 2 x. pi ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
377	361, 363, 376	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( -u ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) / ( ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
378	356, 357, 377	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
379	378	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( sin ` ( ( ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) + pi ) + ( ( |_ ` ( N / 2 ) ) x. ( 2 x. pi ) ) ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( ( K + ( 1 / 2 ) ) x. pi ) ) ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) )
380	326, 349, 379	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + -u 1 ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
381	225, 324, 380	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ph /\ -. ( N mod 2 ) = 0 ) -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )
382	224, 381	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( ( ( 1 / 2 ) + sum_ n e. ( 1 ... N ) ( cos ` ( n x. A ) ) ) / pi ) = ( ( sin ` ( ( N + ( 1 / 2 ) ) x. A ) ) / ( ( 2 x. pi ) x. ( sin ` ( A / 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   mod cmo 12668   sum_csu 14416   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  40318