Theorem ftalem4 24802

Description: Lemma for fta 24806: Closure of the auxiliary variables for ftalem5 24803. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Sep-2014.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ftalem.1	|- A = (coeff ` F )
ftalem.2	|- N = (deg ` F )
ftalem.3	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
ftalem.4	|- ( ph -> N e. NN )
ftalem4.5	|- ( ph -> ( F ` 0 ) =/= 0 )
ftalem4.6	|- K = inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < )
ftalem4.7	|- T = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) )
ftalem4.8	|- U = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
ftalem4.9	|- X = if ( 1 <_ U , 1 , U )

Assertion

Ref	Expression
ftalem4	|- ( ph -> ( ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) /\ ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, K, n   k, N, n   k, F, n   ph, k   S, k   T, k   k, X, n

Allowed substitution hints:   ph( n)   S( n)   T( n)   U( k, n)

Proof of Theorem ftalem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ftalem4.6	. . . 4 |- K = inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < )
2		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ NN
3		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
4	2, 3	sseqtri 3637	. . . . 5 |- { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 )
5		ftalem.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. NN )
6	5	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N =/= 0 )
7		ftalem.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
8		ftalem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- N = (deg ` F )
9		ftalem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- A = (coeff ` F )
10	8, 9	dgreq0 24021	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( F = 0p <-> ( A ` N ) = 0 ) )
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F = 0p <-> ( A ` N ) = 0 ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = (deg ` 0p ) )
13		dgr0 24018	. . . . . . . . . . . 12 |- (deg ` 0p ) = 0
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( F = 0p -> (deg ` F ) = 0 )
15	8, 14	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( F = 0p -> N = 0 )
16	11, 15	syl6bir 244	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A ` N ) = 0 -> N = 0 ) )
17	16	necon3d 2815	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( N =/= 0 -> ( A ` N ) =/= 0 ) )
18	6, 17	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` N ) =/= 0 )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
20	19	neeq1d 2853	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( A ` n ) =/= 0 <-> ( A ` N ) =/= 0 ) )
21	20	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( N e. NN /\ ( A ` N ) =/= 0 ) )
22	5, 18, 21	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
23		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( N e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } -> { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) )
25		infssuzcl 11772	. . . . 5 |- ( ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } =/= (/) ) -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
26	4, 24, 25	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> inf ( { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } , RR , < ) e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
27	1, 26	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> K e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } )
28		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( n = K -> ( A ` n ) = ( A ` K ) )
29	28	neeq1d 2853	. . . 4 |- ( n = K -> ( ( A ` n ) =/= 0 <-> ( A ` K ) =/= 0 ) )
30	29	elrab 3363	. . 3 |- ( K e. { n e. NN | ( A ` n ) =/= 0 } <-> ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) )
31	27, 30	sylib 208	. 2 |- ( ph -> ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) )
32		ftalem4.7	. . . 4 |- T = ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) )
33		plyf 23954	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F : CC --> CC )
34	7, 33	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : CC --> CC )
35		0cn 10032	. . . . . . . 8 |- 0 e. CC
36		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( F : CC --> CC /\ 0 e. CC ) -> ( F ` 0 ) e. CC )
37	34, 35, 36	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. CC )
38	9	coef3 23988	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC )
39	7, 38	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
40	31	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K e. NN )
41	40	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. NN0 )
42	39, 41	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` K ) e. CC )
43	31	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` K ) =/= 0 )
44	37, 42, 43	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) e. CC )
45	44	negcld 10379	. . . . 5 |- ( ph -> -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) e. CC )
46	40	nnrecred 11066	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. RR )
47	46	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / K ) e. CC )
48	45, 47	cxpcld 24454	. . . 4 |- ( ph -> ( -u ( ( F ` 0 ) / ( A ` K ) ) ^c ( 1 / K ) ) e. CC )
49	32, 48	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> T e. CC )
50		ftalem4.8	. . . 4 |- U = ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) )
51		ftalem4.5	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` 0 ) =/= 0 )
52	37, 51	absrpcld 14187	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( F ` 0 ) ) e. RR+ )
53		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) ... N ) e. Fin )
54		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 -> ( K + 1 ) e. NN0 )
55	41, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. NN0 )
56		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ( K + 1 ) ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) )
57		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( K + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
58	55, 56, 57	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN0 )
59	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
60	58, 59	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
61		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ k ) e. CC )
62	49, 61	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( T ^ k ) e. CC )
63	58, 62	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( T ^ k ) e. CC )
64	60, 63	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) e. CC )
65	64	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR )
66	53, 65	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) e. RR )
67	64	absge0d 14183	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) )
68	53, 65, 67	fsumge0 14527	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) )
69	66, 68	ge0p1rpd 11902	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) e. RR+ )
70	52, 69	rpdivcld 11889	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( F ` 0 ) ) / ( sum_ k e. ( ( K + 1 ) ... N ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( T ^ k ) ) ) + 1 ) ) e. RR+ )
71	50, 70	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> U e. RR+ )
72		ftalem4.9	. . . 4 |- X = if ( 1 <_ U , 1 , U )
73		1rp 11836	. . . . 5 |- 1 e. RR+
74		ifcl 4130	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR+ /\ U e. RR+ ) -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) e. RR+ )
75	73, 71, 74	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> if ( 1 <_ U , 1 , U ) e. RR+ )
76	72, 75	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> X e. RR+ )
77	49, 71, 76	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) )
78	31, 77	jca 554	1 |- ( ph -> ( ( K e. NN /\ ( A ` K ) =/= 0 ) /\ ( T e. CC /\ U e. RR+ /\ X e. RR+ ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   abscabs 13974   sum_csu 14416   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  ftalem5  24803