Proof of Theorem sineq0
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sinval 14852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
2 | 1 | eqeq1d 2624 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
3 | | ax-icn 9995 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
4 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
5 | 3, 4 | mpan 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
6 | | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
7 | 5, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
8 | | negicn 10282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
9 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
10 | 8, 9 | mpan 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
11 | | efcl 14813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
13 | 7, 12 | subcld 10392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
14 | | 2mulicn 11255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
15 | | 2muline0 11256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
16 | | diveq0 10695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
17 | 14, 15, 16 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
18 | 13, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
19 | 7, 12 | subeq0ad 10402 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
20 | 2, 18, 19 | 3bitrd 294 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
21 | | oveq2 6658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
22 | | 2cn 11091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
23 | | mul12 10202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
24 | 3, 22, 23 | mp3an12 1414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
25 | 5 | 2timesd 11275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
26 | 24, 25 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
27 | 26 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
28 | | efadd 14824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
29 | 5, 5, 28 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
30 | 27, 29 | eqtr2d 2657 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
31 | | efadd 14824 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
32 | 5, 10, 31 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
33 | 3 | negidi 10350 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
34 | 33 | oveq1i 6660 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
35 | | adddir 10031 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
36 | 3, 8, 35 | mp3an12 1414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
37 | | mul02 10214 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
38 | 34, 36, 37 | 3eqtr3a 2680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
39 | 38 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
40 | | ef0 14821 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
41 | 39, 40 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
42 | 32, 41 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
43 | 30, 42 | eqeq12d 2637 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
44 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
45 | 43, 44 | syl6bi 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
46 | 21, 45 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
47 | 20, 46 | sylbid 230 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
48 | | abs1 14037 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
49 | 48 | eqeq2i 2634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
50 | | 2re 11090 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
51 | | 2ne0 11113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
52 | | mulre 13861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
53 | 50, 51, 52 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
54 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
55 | 22, 54 | mpan 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
56 | | absefib 14928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
58 | 53, 57 | bitr2d 269 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
59 | 49, 58 | syl5bb 272 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
60 | 47, 59 | sylibd 229 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
61 | 60 | imp 445 |
. . . . . . . . . . . 12
|
62 | | pirp 24213 |
. . . . . . . . . . . 12
|
63 | | modval 12670 |
. . . . . . . . . . . 12
|
64 | 61, 62, 63 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . 11
|
65 | | picn 24211 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
66 | | pire 24210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
67 | | pipos 24212 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
68 | 66, 67 | gt0ne0ii 10564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
69 | | redivcl 10744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
70 | 66, 68, 69 | mp3an23 1416 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
71 | 61, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
72 | 71 | flcld 12599 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
73 | 72 | zcnd 11483 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
74 | | mulcl 10020 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
75 | 65, 73, 74 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . 12
|
76 | | negsub 10329 |
. . . . . . . . . . . 12
|
77 | 75, 76 | syldan 487 |
. . . . . . . . . . 11
|
78 | | mulcom 10022 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
79 | 65, 73, 78 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
80 | 79 | negeqd 10275 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
81 | | mulneg1 10466 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
82 | 73, 65, 81 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
83 | 80, 82 | eqtr4d 2659 |
. . . . . . . . . . . 12
|
84 | 83 | oveq2d 6666 |
. . . . . . . . . . 11
|
85 | 64, 77, 84 | 3eqtr2d 2662 |
. . . . . . . . . 10
|
86 | 85 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . . 9
|
87 | 86 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . 8
|
88 | 72 | znegcld 11484 |
. . . . . . . . 9
|
89 | | abssinper 24270 |
. . . . . . . . 9
|
90 | 88, 89 | syldan 487 |
. . . . . . . 8
|
91 | | simpr 477 |
. . . . . . . . 9
|
92 | 91 | fveq2d 6195 |
. . . . . . . 8
|
93 | 87, 90, 92 | 3eqtrd 2660 |
. . . . . . 7
|
94 | | abs0 14025 |
. . . . . . 7
|
95 | 93, 94 | syl6eq 2672 |
. . . . . 6
|
96 | | modcl 12672 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
97 | 61, 62, 96 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . 12
|
98 | | modlt 12679 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
99 | 61, 62, 98 | sylancl 694 |
. . . . . . . . . . . 12
|
100 | 97, 99 | jca 554 |
. . . . . . . . . . 11
|
101 | 100 | biantrurd 529 |
. . . . . . . . . 10
|
102 | | 0re 10040 |
. . . . . . . . . . . 12
|
103 | | rexr 10085 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
104 | | rexr 10085 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
105 | | elioo2 12216 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
106 | 103, 104,
105 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . 12
|
107 | 102, 66, 106 | mp2an 708 |
. . . . . . . . . . 11
|
108 | | 3anan32 1050 |
. . . . . . . . . . 11
|
109 | 107, 108 | bitri 264 |
. . . . . . . . . 10
|
110 | 101, 109 | syl6bbr 278 |
. . . . . . . . 9
|
111 | | sinq12gt0 24259 |
. . . . . . . . . 10
|
112 | | elioore 12205 |
. . . . . . . . . . . 12
|
113 | 112 | resincld 14873 |
. . . . . . . . . . 11
|
114 | | ltle 10126 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
115 | 102, 113,
114 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . 12
|
116 | 111, 115 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
|
117 | 113, 116 | absidd 14161 |
. . . . . . . . . 10
|
118 | 111, 117 | breqtrrd 4681 |
. . . . . . . . 9
|
119 | 110, 118 | syl6bi 243 |
. . . . . . . 8
|
120 | | ltne 10134 |
. . . . . . . . 9
|
121 | 102, 120 | mpan 706 |
. . . . . . . 8
|
122 | 119, 121 | syl6 35 |
. . . . . . 7
|
123 | 122 | necon2bd 2810 |
. . . . . 6
|
124 | 95, 123 | mpd 15 |
. . . . 5
|
125 | | modge0 12678 |
. . . . . . . 8
|
126 | 61, 62, 125 | sylancl 694 |
. . . . . . 7
|
127 | | leloe 10124 |
. . . . . . . 8
|
128 | 102, 97, 127 | sylancr 695 |
. . . . . . 7
|
129 | 126, 128 | mpbid 222 |
. . . . . 6
|
130 | 129 | ord 392 |
. . . . 5
|
131 | 124, 130 | mpd 15 |
. . . 4
|
132 | 131 | eqcomd 2628 |
. . 3
|
133 | | mod0 12675 |
. . . 4
|
134 | 61, 62, 133 | sylancl 694 |
. . 3
|
135 | 132, 134 | mpbid 222 |
. 2
|
136 | | divcan1 10694 |
. . . . 5
|
137 | 65, 68, 136 | mp3an23 1416 |
. . . 4
|
138 | 137 | fveq2d 6195 |
. . 3
|
139 | | sinkpi 24271 |
. . 3
|
140 | 138, 139 | sylan9req 2677 |
. 2
|
141 | 135, 140 | impbida 877 |
1
|