Theorem sineq0 24273

Description: A complex number whose sine is zero is an integer multiple of pi. (Contributed by NM, 17-Aug-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sineq0	|- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) = 0 <-> ( A / pi ) e. ZZ ) )

Proof of Theorem sineq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sinval 14852	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) = ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) = 0 <-> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = 0 ) )
3		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- _i e. CC
4		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
5	3, 4	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( _i x. A ) e. CC )
6		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. A ) ) e. CC )
8		negicn 10282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- -u _i e. CC
9		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( -u _i x. A ) e. CC )
10	8, 9	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( -u _i x. A ) e. CC )
11		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u _i x. A ) e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. A ) ) e. CC )
13	7, 12	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) e. CC )
14		2mulicn 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. _i ) e. CC
15		2muline0 11256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. _i ) =/= 0
16		diveq0 10695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) e. CC /\ ( 2 x. _i ) =/= 0 ) -> ( ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = 0 <-> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) = 0 ) )
17	14, 15, 16	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) e. CC -> ( ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = 0 <-> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) = 0 ) )
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) / ( 2 x. _i ) ) = 0 <-> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) = 0 ) )
19	7, 12	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) - ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) = 0 <-> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
20	2, 18, 19	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) = 0 <-> ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
21		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
22		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. CC
23		mul12 10202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _i e. CC /\ 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. ( 2 x. A ) ) = ( 2 x. ( _i x. A ) ) )
24	3, 22, 23	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( 2 x. A ) ) = ( 2 x. ( _i x. A ) ) )
25	5	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. CC -> ( 2 x. ( _i x. A ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. A ) ) )
26	24, 25	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. CC -> ( _i x. ( 2 x. A ) ) = ( ( _i x. A ) + ( _i x. A ) ) )
27	26	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. A ) ) ) )
28		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( _i x. A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )
29	5, 5, 28	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. A ) ) ) )
30	27, 29	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) )
31		efadd 14824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ ( -u _i x. A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
32	5, 10, 31	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) )
33	3	negidi 10350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( _i + -u _i ) = 0
34	33	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( _i + -u _i ) x. A ) = ( 0 x. A )
35		adddir 10031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( _i e. CC /\ -u _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( _i + -u _i ) x. A ) = ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) )
36	3, 8, 35	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. CC -> ( ( _i + -u _i ) x. A ) = ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) )
37		mul02 10214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. CC -> ( 0 x. A ) = 0 )
38	34, 36, 37	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. CC -> ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) = 0 )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) ) = ( exp ` 0 ) )
40		ef0 14821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( exp ` 0 ) = 1
41	39, 40	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A e. CC -> ( exp ` ( ( _i x. A ) + ( -u _i x. A ) ) ) = 1 )
42	32, 41	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) = 1 )
43	30, 42	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) <-> ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) = 1 ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) = 1 -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) )
45	43, 44	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( _i x. A ) ) ) = ( ( exp ` ( _i x. A ) ) x. ( exp ` ( -u _i x. A ) ) ) -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
46	21, 45	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( exp ` ( _i x. A ) ) = ( exp ` ( -u _i x. A ) ) -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
47	20, 46	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) = 0 -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) ) )
48		abs1 14037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs ` 1 ) = 1
49	48	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = 1 )
50		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
51		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 =/= 0
52		mulre 13861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. CC /\ 2 e. RR /\ 2 =/= 0 ) -> ( A e. RR <-> ( 2 x. A ) e. RR ) )
53	50, 51, 52	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( A e. RR <-> ( 2 x. A ) e. RR ) )
54		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 2 x. A ) e. CC )
55	22, 54	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. CC -> ( 2 x. A ) e. CC )
56		absefib 14928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. A ) e. CC -> ( ( 2 x. A ) e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = 1 ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. CC -> ( ( 2 x. A ) e. RR <-> ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = 1 ) )
58	53, 57	bitr2d 269	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = 1 <-> A e. RR ) )
59	49, 58	syl5bb 272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. CC -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. ( 2 x. A ) ) ) ) = ( abs ` 1 ) <-> A e. RR ) )
60	47, 59	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) = 0 -> A e. RR ) )
61	60	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> A e. RR )
62		pirp 24213	. . . . . . . . . . . 12 |- pi e. RR+
63		modval 12670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR+ ) -> ( A mod pi ) = ( A - ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) )
64	61, 62, 63	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A mod pi ) = ( A - ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) )
65		picn 24211	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. CC
66		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi e. RR
67		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < pi
68	66, 67	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- pi =/= 0
69		redivcl 10744	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR /\ pi =/= 0 ) -> ( A / pi ) e. RR )
70	66, 68, 69	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( A / pi ) e. RR )
71	61, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A / pi ) e. RR )
72	71	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( |_ ` ( A / pi ) ) e. ZZ )
73	72	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( |_ ` ( A / pi ) ) e. CC )
74		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi e. CC /\ ( |_ ` ( A / pi ) ) e. CC ) -> ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) e. CC )
75	65, 73, 74	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) e. CC )
76		negsub 10329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) e. CC ) -> ( A + -u ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) = ( A - ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) )
77	75, 76	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A + -u ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) = ( A - ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) )
78		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi e. CC /\ ( |_ ` ( A / pi ) ) e. CC ) -> ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) = ( ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) )
79	65, 73, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) = ( ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) )
80	79	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> -u ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) = -u ( ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) )
81		mulneg1 10466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` ( A / pi ) ) e. CC /\ pi e. CC ) -> ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) = -u ( ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) )
82	73, 65, 81	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) = -u ( ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) )
83	80, 82	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> -u ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) = ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A + -u ( pi x. ( |_ ` ( A / pi ) ) ) ) = ( A + ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) ) )
85	64, 77, 84	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A mod pi ) = ( A + ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( sin ` ( A mod pi ) ) = ( sin ` ( A + ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) ) ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) = ( abs ` ( sin ` ( A + ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) ) ) ) )
88	72	znegcld 11484	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> -u ( |_ ` ( A / pi ) ) e. ZZ )
89		abssinper 24270	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ -u ( |_ ` ( A / pi ) ) e. ZZ ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
90	88, 89	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( abs ` ( sin ` ( A + ( -u ( |_ ` ( A / pi ) ) x. pi ) ) ) ) = ( abs ` ( sin ` A ) ) )
91		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( sin ` A ) = 0 )
92	91	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( abs ` ( sin ` A ) ) = ( abs ` 0 ) )
93	87, 90, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) = ( abs ` 0 ) )
94		abs0 14025	. . . . . . 7 |- ( abs ` 0 ) = 0
95	93, 94	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) = 0 )
96		modcl 12672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR+ ) -> ( A mod pi ) e. RR )
97	61, 62, 96	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A mod pi ) e. RR )
98		modlt 12679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR+ ) -> ( A mod pi ) < pi )
99	61, 62, 98	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A mod pi ) < pi )
100	97, 99	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( ( A mod pi ) e. RR /\ ( A mod pi ) < pi ) )
101	100	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( 0 < ( A mod pi ) <-> ( ( ( A mod pi ) e. RR /\ ( A mod pi ) < pi ) /\ 0 < ( A mod pi ) ) ) )
102		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
103		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. RR -> 0 e. RR* )
104		rexr 10085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi e. RR -> pi e. RR* )
105		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( A mod pi ) e. RR /\ 0 < ( A mod pi ) /\ ( A mod pi ) < pi ) ) )
106	103, 104, 105	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( A mod pi ) e. RR /\ 0 < ( A mod pi ) /\ ( A mod pi ) < pi ) ) )
107	102, 66, 106	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( A mod pi ) e. RR /\ 0 < ( A mod pi ) /\ ( A mod pi ) < pi ) )
108		3anan32 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A mod pi ) e. RR /\ 0 < ( A mod pi ) /\ ( A mod pi ) < pi ) <-> ( ( ( A mod pi ) e. RR /\ ( A mod pi ) < pi ) /\ 0 < ( A mod pi ) ) )
109	107, 108	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( A mod pi ) e. RR /\ ( A mod pi ) < pi ) /\ 0 < ( A mod pi ) ) )
110	101, 109	syl6bbr 278	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( 0 < ( A mod pi ) <-> ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) ) )
111		sinq12gt0 24259	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( A mod pi ) ) )
112		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( A mod pi ) e. RR )
113	112	resincld 14873	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` ( A mod pi ) ) e. RR )
114		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ ( sin ` ( A mod pi ) ) e. RR ) -> ( 0 < ( sin ` ( A mod pi ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( A mod pi ) ) ) )
115	102, 113, 114	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( 0 < ( sin ` ( A mod pi ) ) -> 0 <_ ( sin ` ( A mod pi ) ) ) )
116	111, 115	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 <_ ( sin ` ( A mod pi ) ) )
117	113, 116	absidd 14161	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) = ( sin ` ( A mod pi ) ) )
118	111, 117	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( A mod pi ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) )
119	110, 118	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( 0 < ( A mod pi ) -> 0 < ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) ) )
120		ltne 10134	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) =/= 0 )
121	102, 120	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( 0 < ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) =/= 0 )
122	119, 121	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( 0 < ( A mod pi ) -> ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) =/= 0 ) )
123	122	necon2bd 2810	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( ( abs ` ( sin ` ( A mod pi ) ) ) = 0 -> -. 0 < ( A mod pi ) ) )
124	95, 123	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> -. 0 < ( A mod pi ) )
125		modge0 12678	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR+ ) -> 0 <_ ( A mod pi ) )
126	61, 62, 125	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> 0 <_ ( A mod pi ) )
127		leloe 10124	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ ( A mod pi ) e. RR ) -> ( 0 <_ ( A mod pi ) <-> ( 0 < ( A mod pi ) \/ 0 = ( A mod pi ) ) ) )
128	102, 97, 127	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( 0 <_ ( A mod pi ) <-> ( 0 < ( A mod pi ) \/ 0 = ( A mod pi ) ) ) )
129	126, 128	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( 0 < ( A mod pi ) \/ 0 = ( A mod pi ) ) )
130	129	ord 392	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( -. 0 < ( A mod pi ) -> 0 = ( A mod pi ) ) )
131	124, 130	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> 0 = ( A mod pi ) )
132	131	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A mod pi ) = 0 )
133		mod0 12675	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ pi e. RR+ ) -> ( ( A mod pi ) = 0 <-> ( A / pi ) e. ZZ ) )
134	61, 62, 133	sylancl 694	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( ( A mod pi ) = 0 <-> ( A / pi ) e. ZZ ) )
135	132, 134	mpbid 222	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( sin ` A ) = 0 ) -> ( A / pi ) e. ZZ )
136		divcan1 10694	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ pi e. CC /\ pi =/= 0 ) -> ( ( A / pi ) x. pi ) = A )
137	65, 68, 136	mp3an23 1416	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( ( A / pi ) x. pi ) = A )
138	137	fveq2d 6195	. . 3 |- ( A e. CC -> ( sin ` ( ( A / pi ) x. pi ) ) = ( sin ` A ) )
139		sinkpi 24271	. . 3 |- ( ( A / pi ) e. ZZ -> ( sin ` ( ( A / pi ) x. pi ) ) = 0 )
140	138, 139	sylan9req 2677	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( A / pi ) e. ZZ ) -> ( sin ` A ) = 0 )
141	135, 140	impbida 877	1 |- ( A e. CC -> ( ( sin ` A ) = 0 <-> ( A / pi ) e. ZZ ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   |_cfl 12591   mod cmo 12668   abscabs 13974   expce 14792   sincsin 14794   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  coseq1  24274  efeq1  24275  cosne0  24276  logf1o2  24396  coseq0  40075  sinaover2ne0  40079  dirker2re  40309  dirkerdenne0  40310  dirkertrigeqlem3  40317  dirkertrigeq  40318  dirkercncflem1  40320  dirkercncflem2  40321  dirkercncflem4  40323  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427