stirlinglem3 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem stirlinglem3 40293

Description: Long but simple algebraic transformations are applied to show that

, the Wallis formula for π , can be expressed in terms of

, the Stirling's approximation formula for the factorial, up to a constant factor. This will allow (in a later theorem) to determine the right constant factor to be put into the

, in order to get the exact Stirling's formula. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
stirlinglem3.1
stirlinglem3.2
stirlinglem3.3
stirlinglem3.4

**Assertion**
Ref	Expression
stirlinglem3

Proof of Theorem stirlinglem3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stirlinglem3.4	. 2
2		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13
3		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . 13
4		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13
5	2, 3, 4	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12
6		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15
7		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	6, 7	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14
9	8	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . . . 13
10		ere 14819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
11	10	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
13		epos 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
14	10, 13	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	7, 12, 15	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14
17	16, 2	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13
18	9, 17	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
19		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
21		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	20, 21	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . . 13
25		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . 15
26	7, 12, 25, 15	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . . . 14
27		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14
28	16, 26, 27	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . 13
29	9, 17, 24, 28	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . 12
30	5, 18, 29	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11
31		stirlinglem3.1	. . . . . . . . . . . 12
32	31	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 $/\$
33	30, 32	mpdan 702	. . . . . . . . . 10
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
35		stirlinglem3.3	. . . . . . . . . . . 12
36	35	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37	18, 36	mpdan 702	. . . . . . . . . 10
38	37	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
39	34, 38	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
40		4nn0 11311	. . . . . . . . . . 11
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . 10
42	5, 18, 29, 41	expdivd 13022	. . . . . . . . 9
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
44	5, 41	expcld 13008	. . . . . . . . 9
45	18, 41	expcld 13008	. . . . . . . . 9
46	41	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10
47	18, 29, 46	expne0d 13014	. . . . . . . . 9
48	44, 45, 47	divcan1d 10802	. . . . . . . 8
49	39, 43, 48	3eqtrd 2660	. . . . . . 7
50	49	eqcomd 2628	. . . . . 6
51	50	oveq2d 6666	. . . . 5
52		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
54	53, 2	nn0mulcld 11356	. . . . . . . . . . 11
55		faccl 13070	. . . . . . . . . . 11
56		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11
57	54, 55, 56	3syl 18	. . . . . . . . . 10
58	57	sqcld 13006	. . . . . . . . 9
59	6, 8	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
60	59	sqrtcld 14176	. . . . . . . . . . 11
61	8, 12, 15	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12
62	61, 54	expcld 13008	. . . . . . . . . . 11
63	60, 62	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10
64	63	sqcld 13006	. . . . . . . . 9
65	20, 22	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13
66	65	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . . . . . 12
67	66	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . 11
68	20	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . 14
69	6, 7, 68, 25	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . 13
70	8, 12, 69, 15	divne0d 10817	. . . . . . . . . . . 12
71		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . 14
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
73	72, 27	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12
74	61, 70, 73	expne0d 13014	. . . . . . . . . . 11
75	60, 62, 67, 74	mulne0d 10679	. . . . . . . . . 10
76	63, 75, 72	expne0d 13014	. . . . . . . . 9
77	58, 64, 76	divcan1d 10802	. . . . . . . 8
78	57, 63, 75, 53	expdivd 13022	. . . . . . . . . 10
79	78	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
81	77, 80	eqtr3d 2658	. . . . . . 7
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15
83		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
86		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87	85, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88	84, 87	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	82, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . 13
91	31, 90	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
93		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13
94		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14
96		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15
97		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15
98	96, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
99	95, 98	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
100	93, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
102		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
104		id 22	. . . . . . . . . . . 12
105	103, 104	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . 11
106	57, 63, 75	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11
107	92, 101, 105, 106	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
109	108	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . 7
111		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11
112	99	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$
113	111, 112, 105, 63	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10
114	113	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
115	114	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . 7
117	81, 110, 116	3eqtrd 2660	. . . . . 6
118	88	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . 10
120	119	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9
121	120	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . 7
123	122	oveq2d 6666	. . . . . 6
124	107, 106	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10
125		stirlinglem3.2	. . . . . . . . . . 11
126	125	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 $/\$
127	124, 126	mpdan 702	. . . . . . . . 9
128	127	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
129	128	oveq1d 6665	. . . . . . 7
130	35	a1i 11	. . . . . . . . . 10
131	130	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9
132	131	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
133	132	oveq1d 6665	. . . . . . 7
134	129, 133	oveq12d 6668	. . . . . 6
135	117, 123, 134	3eqtrd 2660	. . . . 5
136	51, 135	oveq12d 6668	. . . 4
137	136	oveq1d 6665	. . 3
138	137	mpteq2ia 4740	. 2
139	41, 2	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8
140	6, 139	expcld 13008	. . . . . . 7
141	49, 44	eqeltrd 2701	. . . . . . 7
142	140, 141	mulcomd 10061	. . . . . 6
143	142	oveq1d 6665	. . . . 5
144	143	oveq1d 6665	. . . 4
145	127, 124	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
146	145	sqcld 13006	. . . . . . 7
147	130, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
148	147, 112, 105, 63	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
149	148, 63	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
150	149	sqcld 13006	. . . . . . 7
151		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . 12
152	54, 55, 151	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
153	57, 63, 152, 75	divne0d 10817	. . . . . . . . . 10
154	107, 153	eqnetrd 2861	. . . . . . . . 9
155	127, 154	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8
156	145, 155, 72	expne0d 13014	. . . . . . 7
157	148, 75	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8
158	149, 157, 72	expne0d 13014	. . . . . . 7
159	141, 146, 140, 150, 156, 158	divmuldivd 10842	. . . . . 6
160	159	eqcomd 2628	. . . . 5
161	160	oveq1d 6665	. . . 4
162	33, 30	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9
163	162, 41	expcld 13008	. . . . . . . 8
164	38, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8
165	163, 164, 146, 156	div23d 10838	. . . . . . 7
166	165	oveq1d 6665	. . . . . 6
167	166	oveq1d 6665	. . . . 5
168	163, 146, 156	divcld 10801	. . . . . . 7
169	140, 150, 158	divcld 10801	. . . . . . 7
170	168, 164, 169	mulassd 10063	. . . . . 6
171	170	oveq1d 6665	. . . . 5
172	164, 169	mulcld 10060	. . . . . . 7
173		1cnd 10056	. . . . . . . 8
174	8, 173	addcld 10059	. . . . . . 7
175		0red 10041	. . . . . . . . 9
176	105	nnred 11035	. . . . . . . . 9
177		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . 11
179		nnre 11027	. . . . . . . . . . 11
180	178, 179	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10
181		1red 10055	. . . . . . . . . 10
182	180, 181	readdcld 10069	. . . . . . . . 9
183	105	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9
184	176	ltp1d 10954	. . . . . . . . 9
185	175, 176, 182, 183, 184	lttrd 10198	. . . . . . . 8
186	185	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7
187	168, 172, 174, 186	divassd 10836	. . . . . 6
188	164, 140, 150, 158	div12d 10837	. . . . . . . . . 10
189	9, 17, 41	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . . 13
190	60, 62	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . 13
191	189, 190	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
192	148	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
193	38, 192	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
194	9, 41	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13
195	60	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13
196	17, 41	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13
197	62	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13
198	60, 67, 72	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . 13
199	62, 74, 72	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . 13
200	194, 195, 196, 197, 198, 199	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . 12
201	191, 193, 200	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11
202	201	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
203	65	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
204		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
205	203, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
206	205	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
207		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
208	207	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
209	208	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
210	209	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
211	9, 53, 53	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . . 16
212	22	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
213		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
214	212, 213	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
215	214	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
216	210, 211, 215	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15
217	6, 6, 7	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . 16
218	207	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
219	218	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
220	217, 219	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15
221	216, 220	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
222	6, 7	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
223		sq2 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
224	223	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
225	224	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
226	222, 225	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
227	226	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
228		4cn 11098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
229		4ne0 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
230	228, 229	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
232	7	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
233	232	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
234	7, 7, 25	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
235	233, 234	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
236	231, 235	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
237	41	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
238	7	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
239	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
240	237, 237, 238, 7, 239, 25	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . . . . . 16
241	7	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . 16
242	236, 240, 241	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15
243	227, 242	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
244	206, 221, 243	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13
245	7, 237	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
246	245	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
247	16, 41, 2	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . . 16
248	7, 12, 15, 139	expdivd 13022	. . . . . . . . . . . . . . . 16
249	246, 247, 248	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15
250	6, 7, 6	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
251	250, 219	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
252	251	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
253	61, 53, 54	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . . 16
254	8, 12, 15, 139	expdivd 13022	. . . . . . . . . . . . . . . 16
255	252, 253, 254	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15
256	249, 255	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
257	249, 196	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15
258	8, 139	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . 15
259	12, 139	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . 15
260	46, 27	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . 16
261	8, 69, 260	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . 15
262	12, 15, 260	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . 15
263	257, 258, 259, 261, 262	divdiv2d 10833	. . . . . . . . . . . . . 14
264	7, 139	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
265	264, 259, 262	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . 16
266	265	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
267	6, 7, 139	mulexpd 13023	. . . . . . . . . . . . . . . 16
268	267	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
269	140, 264	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
270	269	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
271	7, 25, 260	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
272	6, 68, 260	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
273	264, 264, 140, 271, 272	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . 16
274	264, 271	dividd 10799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
275	274	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
276	270, 273, 275	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . 15
277	266, 268, 276	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14
278	256, 263, 277	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13
279	244, 278	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
280	279	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
281	140, 272	reccld 10794	. . . . . . . . . . . 12
282	140, 7, 281	mul12d 10245	. . . . . . . . . . 11
283	7	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . 12
284	140, 272	recidd 10796	. . . . . . . . . . . . 13
285	284	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
286	283, 285, 235	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11
287	280, 282, 286	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10
288	188, 202, 287	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9
289	288	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
290	238, 7, 174, 25, 186	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8
291	289, 290	eqtrd 2656	. . . . . . 7
292	291	oveq2d 6666	. . . . . 6
293	187, 292	eqtrd 2656	. . . . 5
294	167, 171, 293	3eqtrd 2660	. . . 4
295	144, 161, 294	3eqtrd 2660	. . 3
296	295	mpteq2ia 4740	. 2
297	1, 138, 296	3eqtri 2648	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cle 10075

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c4 11072

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cexp 12860

cfa 13060

csqrt 13973

ceu 14793

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-ico 12181 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-e 14799

This theorem is referenced by: stirlinglem15 40305

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