Theorem etransclem48 40499

Description: _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem48.q	|- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
etransclem48.qe0	|- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
etransclem48.a	|- A = (coeff ` Q )
etransclem48.a0	|- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
etransclem48.m	|- M = (deg ` Q )
etransclem48.c	|- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
etransclem48.s	|- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
etransclem48.i	|- I = inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < )
etransclem48.t	|- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
etransclem48	|- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   A, n, j   C, i, n   i, I, n   j, M, k   n, M   Q, j   S, i   T, j, k   ph, i, n   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( i)   C( j, k)   Q( i, k, n)   S( j, k, n)   T( i, n)   I( j, k)   M( i)

Proof of Theorem etransclem48

Dummy variables x y z e p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem48.q	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
2	1	eldifad 3586	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
3		0zd 11389	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		etransclem48.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (coeff ` Q )
5	4	coef2 23987	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ 0 e. ZZ ) -> A : NN0 --> ZZ )
6	2, 3, 5	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : NN0 --> ZZ )
7		0nn0 11307	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
9	6, 8	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ZZ )
10		zabscl 14053	. . . . . . 7 |- ( ( A ` 0 ) e. ZZ -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
12		etransclem48.m	. . . . . . . . 9 |- M = (deg ` Q )
13		dgrcl 23989	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. (Poly ` ZZ ) -> (deg ` Q ) e. NN0 )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` Q ) e. NN0 )
15	12, 14	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
16	15	faccld 13071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. ZZ )
18		ssrab2 3687	. . . . . . . 8 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ NN0
19		nn0ssz 11398	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
20	18, 19	sstri 3612	. . . . . . 7 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ZZ
21		etransclem48.i	. . . . . . . 8 |- I = inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < )
22		nn0uz 11722	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
23	18, 22	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 )
24		1rp 11836	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
25		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ph
26		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> C )
27		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28		etransclem48.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
29		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
30	28, 29	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n S
31		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 e. _V
32	31	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> C ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) e. _V )
34		etransclem48.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
35		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
36	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
37		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
39	36, 38	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
40	39	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
41		ere 14819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _e e. RR
42	41	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- _e e. CC
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> _e e. CC )
44		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
45	44	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
46	45	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. CC )
47	43, 46	cxpcld 24454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
48	40, 47	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
49	48	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. RR )
50	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. CC )
51	15	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
52		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
53	15, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
55	51, 54	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
57	50, 56	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
58	35, 57	fsumcl 14464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
59	34, 58	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
60		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C ) )
61		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n = i ) -> C = C )
62		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
63	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> C e. CC )
64	60, 61, 62, 63	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` i ) = C )
65	22, 3, 33, 59, 64	climconst 14274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) ~~> C )
66	31	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
67	28, 66	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. _V )
69		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
70	69	expfac 39889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
71	54, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
72		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
73	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. CC )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C )
75	74	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
76	72, 73, 75	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
77	76, 73	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) e. CC )
78		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V
79	69	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
80	78, 79	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
82	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
83	82, 72	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) e. CC )
84	72	faccld 13071	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. NN )
85	84	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. CC )
86	84	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) =/= 0 )
87	83, 85, 86	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. CC )
88	81, 87	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) e. CC )
89		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
90	28	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
91	89, 90	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
93	76, 81	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
94	92, 93	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) )
95	25, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94	climmulf 39836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S ~~> ( C x. 0 ) )
96	59	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
97	95, 96	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S ~~> 0 )
98		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( S ` n ) )
99	77, 88	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) e. CC )
100	94, 99	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) e. CC )
101	30, 22, 3, 68, 98, 100	clim0cf 39886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) )
102	97, 101	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e )
103		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = 1 -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
104	103	rexralbidv 3058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = 1 -> ( E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
105	104	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
106	24, 102, 105	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
107		rabn0 3958	. . . . . . . . . 10 |- ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
108	106, 107	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) )
109		infssuzcl 11772	. . . . . . . . 9 |- ( ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) ) -> inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
110	23, 108, 109	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
111	21, 110	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
112	20, 111	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ZZ )
113		tpssi 4369	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
114	11, 17, 112, 113	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
115		etransclem48.t	. . . . . 6 |- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )
116		xrltso 11974	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> < Or RR* )
118		tpfi 8236	. . . . . . . 8 |- { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin )
120	11	tpnzd 4314	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) )
121		zssre 11384	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
122		ressxr 10083	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
123	121, 122	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR*
124	114, 123	syl6ss 3615	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
125		fisupcl 8375	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR* /\ ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* ) ) -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
126	117, 119, 120, 124, 125	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
127	115, 126	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> T e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
128	114, 127	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> T e. ZZ )
129		0red 10041	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
130	16	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. RR )
131	128	zred 11482	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
132	16	nngt0d 11064	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ! ` M ) )
133		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( ! ` M ) e. _V
134	133	tpid2 4304	. . . . . . 7 |- ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
135		supxrub 12154	. . . . . . 7 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
136	124, 134, 135	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
137	136, 115	syl6breqr 4695	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ T )
138	129, 130, 131, 132, 137	ltletrd 10197	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
139		elnnz 11387	. . . 4 |- ( T e. NN <-> ( T e. ZZ /\ 0 < T ) )
140	128, 138, 139	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> T e. NN )
141		prmunb 15618	. . 3 |- ( T e. NN -> E. p e. Prime T < p )
142	140, 141	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. p e. Prime T < p )
143	1	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
144		etransclem48.qe0	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
145	144	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( Q ` _e ) = 0 )
146		etransclem48.a0	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
147	146	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
148		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. Prime )
149	9	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
150	149	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
151	150	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. RR )
152	131	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T e. RR )
153		prmz 15389	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
154	153	zred 11482	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
155	154	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. RR )
156	124	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
157		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. _V
158	157	tpid1 4303	. . . . . . . 8 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
159		supxrub 12154	. . . . . . . 8 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
160	156, 158, 159	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
161	160, 115	syl6breqr 4695	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
162	161	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
163		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T < p )
164	151, 152, 155, 162, 163	lelttrd 10195	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) < p )
165	130	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) e. RR )
166	137	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) <_ T )
167	165, 152, 155, 166, 163	lelttrd 10195	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) < p )
168	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) )
169	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
170		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) )
171		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( p - 1 ) ) )
172	170, 171	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) )
173	169, 172	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
174	173	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
175		prmnn 15388	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
176		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. NN -> ( p - 1 ) e. NN0 )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. NN0 )
178	177	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. NN0 )
179	58	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
180	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
181	180, 178	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. CC )
182	177	faccld 13071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. NN )
183	182	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
184	183	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
185	182	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
186	185	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
187	181, 184, 186	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. CC )
188	179, 187	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. CC )
189	168, 174, 178, 188	fvmptd 6288	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
190	189	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
191	190	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
192	112	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. ZZ )
193		1zzd 11408	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> 1 e. ZZ )
194	153, 193	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. ZZ )
195	194	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ZZ )
196	192	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. RR )
197		tpid3g 4305	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ZZ -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
198	112, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
199		supxrub 12154	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
200	124, 198, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
201	200, 115	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I <_ T )
202	201	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ T )
203	196, 152, 155, 202, 163	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I < p )
204	153	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. ZZ )
205		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
206	192, 204, 205	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
207	203, 206	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ ( p - 1 ) )
208		eluz2 11693	. . . . . . . . 9 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) <-> ( I e. ZZ /\ ( p - 1 ) e. ZZ /\ I <_ ( p - 1 ) ) )
209	192, 195, 207, 208	syl3anbrc 1246	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
210	111	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
211		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` I ) )
212	211	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> ( A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
213	212	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } <-> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
214	210, 213	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
215	214	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
216		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n abs
217		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( p - 1 )
218	30, 217	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( S ` ( p - 1 ) )
219	216, 218	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) )
220		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <
221		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n 1
222	219, 220, 221	nfbr 4699	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1
223		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( S ` n ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
224	223	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( abs ` ( S ` n ) ) = ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) )
225	224	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
226	222, 225	rspc 3303	. . . . . . . 8 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
227	209, 215, 226	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 )
228	172	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
229	228	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
230		ovexd 6680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V )
231	168, 229, 178, 230	fvmptd 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
232	15	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. RR )
233	232, 53	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
234	232, 233	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
235	234	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
236	49, 235	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
237	35, 236	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
238	34, 237	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
239	238	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> C e. RR )
240	233	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
241	240, 178	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. RR )
242	182	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
243	242	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
244	241, 243, 186	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. RR )
245	239, 244	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. RR )
246	231, 245	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
247	246	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
248		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> 1 e. RR )
249	247, 248	absltd 14168	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) ) )
250	227, 249	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) )
251	250	simprd 479	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 )
252	191, 251	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) < 1 )
253		etransclem6 40457	. . . 4 |- ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ p ) ) )
254		eqid 2622	. . . 4 |- sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x )
255		eqid 2622	. . . 4 |- ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) )
256	143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 252, 253, 254, 255	etransclem47 40498	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )
257	256	rexlimdv3a 3033	. 2 |- ( ph -> ( E. p e. Prime T < p -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) ) )
258	142, 257	mpd 15	1 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {ctp 4181   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   _eceu 14793   Primecprime 15385   S.citg 23387   0pc0p 23436  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-dvn 23632  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  etransc  40500