Theorem jm2.16nn0 37571

Description: Lemma 2.16 of [JonesMatijasevic] p. 695. This may be regarded as a special case of jm2.15nn0 37570 if Y_rm is redefined as described in rmyluc 37502. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.16nn0	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm N ) - N ) )

Proof of Theorem jm2.16nn0

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
2		peano2zm 11420	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) e. ZZ )
4		0z 11388	. . . . 5 |- 0 e. ZZ
5		congid 37538	. . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A - 1 ) || ( 0 - 0 ) )
6	3, 4, 5	sylancl 694	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( 0 - 0 ) )
7		rmy0 37494	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
8	7	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Yrm 0 ) - 0 ) = ( 0 - 0 ) )
9	6, 8	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm 0 ) - 0 ) )
10		1z 11407	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
11		congid 37538	. . . . 5 |- ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( A - 1 ) || ( 1 - 1 ) )
12	3, 10, 11	sylancl 694	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( 1 - 1 ) )
13		rmy1 37495	. . . . 5 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 1 ) = 1 )
14	13	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A Yrm 1 ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
15	12, 14	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm 1 ) - 1 ) )
16		pm3.43 906	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) )
17	1	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ZZ )
18	17, 2	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - 1 ) e. ZZ )
19		eluzel2 11692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 2 e. ZZ )
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 2 e. ZZ )
21		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
22		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> b e. ZZ )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> b e. ZZ )
24		frmy 37479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
25	24	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
26	21, 23, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
27	26, 17	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm b ) x. A ) e. ZZ )
28	20, 27	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. ZZ )
29		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( b x. 1 ) e. ZZ )
30	23, 10, 29	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b x. 1 ) e. ZZ )
31	20, 30	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 2 x. ( b x. 1 ) ) e. ZZ )
32	18, 28, 31	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( b x. 1 ) ) e. ZZ ) )
33	32	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( b x. 1 ) ) e. ZZ ) )
34		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ZZ -> ( b - 1 ) e. ZZ )
35	23, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b - 1 ) e. ZZ )
36	24	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
37	21, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
38	37, 35	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) )
39	38	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) )
40	18, 20, 20	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) )
41	40	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) )
42	27, 30	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A Yrm b ) x. A ) e. ZZ /\ ( b x. 1 ) e. ZZ ) )
43	42	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( ( ( A Yrm b ) x. A ) e. ZZ /\ ( b x. 1 ) e. ZZ ) )
44		congid 37538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( A - 1 ) || ( 2 - 2 ) )
45	18, 20, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - 1 ) || ( 2 - 2 ) )
46	45	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( 2 - 2 ) )
47	18, 26, 23	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ ( A Yrm b ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) )
48	47	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ ( A Yrm b ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) )
49	17, 10	jctir 561	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
50	49	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
51		simp3r 1090	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) )
52		iddvds 14995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A - 1 ) e. ZZ -> ( A - 1 ) || ( A - 1 ) )
53	18, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - 1 ) || ( A - 1 ) )
54	53	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( A - 1 ) )
55		congmul 37534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ ( A Yrm b ) e. ZZ /\ b e. ZZ ) /\ ( A e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) /\ ( A - 1 ) || ( A - 1 ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( ( A Yrm b ) x. A ) - ( b x. 1 ) ) )
56	48, 50, 51, 54, 55	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( ( A Yrm b ) x. A ) - ( b x. 1 ) ) )
57		congmul 37534	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm b ) x. A ) e. ZZ /\ ( b x. 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( A - 1 ) || ( 2 - 2 ) /\ ( A - 1 ) || ( ( ( A Yrm b ) x. A ) - ( b x. 1 ) ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( 2 x. ( b x. 1 ) ) ) )
58	41, 43, 46, 56, 57	syl112anc 1330	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( 2 x. ( b x. 1 ) ) ) )
59		simp3l 1089	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) )
60		congsub 37537	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( b x. 1 ) ) e. ZZ ) /\ ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( 2 x. ( b x. 1 ) ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) )
61	33, 39, 58, 59, 60	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) )
62		rmyluc 37502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
63	21, 23, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
64		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. NN -> b e. CC )
65	64	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. NN -> ( b x. 1 ) = b )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> ( 2 x. ( b x. 1 ) ) = ( 2 x. b ) )
67	64	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> ( 2 x. b ) = ( b + b ) )
68	66, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> ( 2 x. ( b x. 1 ) ) = ( b + b ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) = ( ( b + b ) - ( b - 1 ) ) )
70		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. NN -> 1 e. CC )
71	64, 64, 70	pnncand 10431	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( ( b + b ) - ( b - 1 ) ) = ( b + 1 ) )
72	69, 71	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. NN -> ( b + 1 ) = ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( b + 1 ) = ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) )
74	63, 73	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) )
75	74	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( b x. 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) )
76	61, 75	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ( b e. NN /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) )
77	76	3exp 1264	. . . . 5 |- ( b e. NN -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) ) ) )
78	77	a2d 29	. . . 4 |- ( b e. NN -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) /\ ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) ) ) )
79	16, 78	syl5 34	. . 3 |- ( b e. NN -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) ) ) )
80		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm 0 ) )
81		id 22	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> a = 0 )
82	80, 81	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( A Yrm a ) - a ) = ( ( A Yrm 0 ) - 0 ) )
83	82	breq2d 4665	. . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) <-> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm 0 ) - 0 ) ) )
84	83	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = 0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm 0 ) - 0 ) ) ) )
85		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = 1 -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm 1 ) )
86		id 22	. . . . . 6 |- ( a = 1 -> a = 1 )
87	85, 86	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( a = 1 -> ( ( A Yrm a ) - a ) = ( ( A Yrm 1 ) - 1 ) )
88	87	breq2d 4665	. . . 4 |- ( a = 1 -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) <-> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm 1 ) - 1 ) ) )
89	88	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = 1 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm 1 ) - 1 ) ) ) )
90		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm ( b - 1 ) ) )
91		id 22	. . . . . 6 |- ( a = ( b - 1 ) -> a = ( b - 1 ) )
92	90, 91	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A Yrm a ) - a ) = ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) )
93	92	breq2d 4665	. . . 4 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) <-> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) )
94	93	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( b - 1 ) ) ) ) )
95		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm b ) )
96		id 22	. . . . . 6 |- ( a = b -> a = b )
97	95, 96	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( A Yrm a ) - a ) = ( ( A Yrm b ) - b ) )
98	97	breq2d 4665	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) <-> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) )
99	98	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = b -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm b ) - b ) ) ) )
100		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm ( b + 1 ) ) )
101		id 22	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> a = ( b + 1 ) )
102	100, 101	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Yrm a ) - a ) = ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) )
103	102	breq2d 4665	. . . 4 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) <-> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) ) )
104	103	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( b + 1 ) ) ) ) )
105		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( a = N -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm N ) )
106		id 22	. . . . . 6 |- ( a = N -> a = N )
107	105, 106	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( a = N -> ( ( A Yrm a ) - a ) = ( ( A Yrm N ) - N ) )
108	107	breq2d 4665	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) <-> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm N ) - N ) ) )
109	108	imbi2d 330	. . 3 |- ( a = N -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm a ) - a ) ) <-> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm N ) - N ) ) ) )
110	9, 15, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109	2nn0ind 37510	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm N ) - N ) ) )
111	110	impcom 446	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A - 1 ) || ( ( A Yrm N ) - N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   || cdvds 14983   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574