Theorem jm2.27c 37574

Description: Lemma for jm2.27 37575. Forward direction with substitutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27a1	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm2.27a2	|- ( ph -> B e. NN )
jm2.27a3	|- ( ph -> C e. NN )
jm2.27c4	|- ( ph -> C = ( A Yrm B ) )
jm2.27c5	|- D = ( A Xrm B )
jm2.27c6	|- Q = ( B x. ( A Yrm B ) )
jm2.27c7	|- E = ( A Yrm ( 2 x. Q ) )
jm2.27c8	|- F = ( A Xrm ( 2 x. Q ) )
jm2.27c9	|- G = ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) )
jm2.27c10	|- H = ( G Yrm B )
jm2.27c11	|- I = ( G Xrm B )
jm2.27c12	|- J = ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 )

Assertion

Ref

Expression

jm2.27c

|- ( ph -> ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 /\ F e. NN0 ) /\ ( G e. NN0 /\ H e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( J e. NN0 /\ ( ( ( ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 /\ ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 /\ E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) /\ F || ( G - A ) ) ) /\ ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ F || ( H - C ) ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( H - B ) /\ B <_ C ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.27c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27c5	. . . 4 |- D = ( A Xrm B )
2		jm2.27a1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
3		jm2.27a2	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. NN )
4	3	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
5		frmx 37478	. . . . . 6 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
6	5	fovcl 6765	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( A Xrm B ) e. NN0 )
7	2, 4, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A Xrm B ) e. NN0 )
8	1, 7	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> D e. NN0 )
9		jm2.27c7	. . . 4 |- E = ( A Yrm ( 2 x. Q ) )
10		2z 11409	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
11		jm2.27c6	. . . . . . . 8 |- Q = ( B x. ( A Yrm B ) )
12		jm2.27c4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C = ( A Yrm B ) )
13		jm2.27a3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. NN )
14	13	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. ZZ )
15	12, 14	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Yrm B ) e. ZZ )
16	4, 15	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B x. ( A Yrm B ) ) e. ZZ )
17	11, 16	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> Q e. ZZ )
18		zmulcl 11426	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ Q e. ZZ ) -> ( 2 x. Q ) e. ZZ )
19	10, 17, 18	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. Q ) e. ZZ )
20		frmy 37479	. . . . . . 7 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
21	20	fovcl 6765	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. Q ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) e. ZZ )
22	2, 19, 21	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) e. ZZ )
23		rmy0 37494	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
24	2, 23	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
25		2nn 11185	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
26	12, 13	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A Yrm B ) e. NN )
27	3, 26	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B x. ( A Yrm B ) ) e. NN )
28	11, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. NN )
29		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ Q e. NN ) -> ( 2 x. Q ) e. NN )
30	25, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. Q ) e. NN )
31	30	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. Q ) e. NN0 )
32	31	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. Q ) )
33		0zd 11389	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
34		lermy 37522	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ ( 2 x. Q ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( 2 x. Q ) <-> ( A Yrm 0 ) <_ ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
35	2, 33, 19, 34	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ ( 2 x. Q ) <-> ( A Yrm 0 ) <_ ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
36	32, 35	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A Yrm 0 ) <_ ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) )
37	24, 36	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) )
38		elnn0z 11390	. . . . 5 |- ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) e. NN0 <-> ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) e. ZZ /\ 0 <_ ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
39	22, 37, 38	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) e. NN0 )
40	9, 39	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> E e. NN0 )
41		jm2.27c8	. . . 4 |- F = ( A Xrm ( 2 x. Q ) )
42	5	fovcl 6765	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. Q ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) e. NN0 )
43	2, 19, 42	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) e. NN0 )
44	41, 43	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> F e. NN0 )
45	8, 40, 44	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( D e. NN0 /\ E e. NN0 /\ F e. NN0 ) )
46		2nn0 11309	. . . 4 |- 2 e. NN0
47		jm2.27c9	. . . . 5 |- G = ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) )
48	44	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. CC )
49	48	sqvald 13005	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) = ( F x. F ) )
50	44, 44	nn0mulcld 11356	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F x. F ) e. NN0 )
51	49, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. NN0 )
52		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
53	2, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. NN )
54	53	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. NN0 )
55	54	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
56	44	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. RR )
57	56, 56	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F x. F ) e. RR )
58		rmx1 37491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Xrm 1 ) = A )
59	2, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A Xrm 1 ) = A )
60	30	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ ( 2 x. Q ) )
61		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 e. NN0 )
63		lermxnn0 37517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 1 e. NN0 /\ ( 2 x. Q ) e. NN0 ) -> ( 1 <_ ( 2 x. Q ) <-> ( A Xrm 1 ) <_ ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) ) )
64	2, 62, 31, 63	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 <_ ( 2 x. Q ) <-> ( A Xrm 1 ) <_ ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) ) )
65	60, 64	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A Xrm 1 ) <_ ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) )
66	59, 65	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A <_ ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) )
67	66, 41	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A <_ F )
68	44	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ F )
69		rmxnn 37518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. Q ) e. ZZ ) -> ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) e. NN )
70	2, 19, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) e. NN )
71	41, 70	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F e. NN )
72	71	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 <_ F )
73	56, 56, 68, 72	lemulge12d 10962	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F <_ ( F x. F ) )
74	55, 56, 57, 67, 73	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A <_ ( F x. F ) )
75	74, 49	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A <_ ( F ^ 2 ) )
76		nn0sub 11343	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN0 /\ ( F ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( A <_ ( F ^ 2 ) <-> ( ( F ^ 2 ) - A ) e. NN0 ) )
77	54, 51, 76	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A <_ ( F ^ 2 ) <-> ( ( F ^ 2 ) - A ) e. NN0 ) )
78	75, 77	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) - A ) e. NN0 )
79	51, 78	nn0mulcld 11356	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. NN0 )
80		uzaddcl 11744	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. NN0 ) -> ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
81	2, 79, 80	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
82	47, 81	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( ZZ>= ` 2 ) )
83		eluznn0 11757	. . . 4 |- ( ( 2 e. NN0 /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> G e. NN0 )
84	46, 82, 83	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> G e. NN0 )
85		jm2.27c10	. . . 4 |- H = ( G Yrm B )
86	20	fovcl 6765	. . . . . 6 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( G Yrm B ) e. ZZ )
87	82, 4, 86	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( G Yrm B ) e. ZZ )
88		rmy0 37494	. . . . . . 7 |- ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( G Yrm 0 ) = 0 )
89	82, 88	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G Yrm 0 ) = 0 )
90	3	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. NN0 )
91	90	nn0ge0d 11354	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ B )
92		lermy 37522	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 0 <_ B <-> ( G Yrm 0 ) <_ ( G Yrm B ) ) )
93	82, 33, 4, 92	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 0 <_ B <-> ( G Yrm 0 ) <_ ( G Yrm B ) ) )
94	91, 93	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G Yrm 0 ) <_ ( G Yrm B ) )
95	89, 94	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( G Yrm B ) )
96		elnn0z 11390	. . . . 5 |- ( ( G Yrm B ) e. NN0 <-> ( ( G Yrm B ) e. ZZ /\ 0 <_ ( G Yrm B ) ) )
97	87, 95, 96	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ph -> ( G Yrm B ) e. NN0 )
98	85, 97	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> H e. NN0 )
99		jm2.27c11	. . . 4 |- I = ( G Xrm B )
100	5	fovcl 6765	. . . . 5 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( G Xrm B ) e. NN0 )
101	82, 4, 100	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( G Xrm B ) e. NN0 )
102	99, 101	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> I e. NN0 )
103	84, 98, 102	3jca 1242	. 2 |- ( ph -> ( G e. NN0 /\ H e. NN0 /\ I e. NN0 ) )
104		jm2.27c12	. . . 4 |- J = ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 )
105		iddvds 14995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B x. ( A Yrm B ) ) e. ZZ -> ( B x. ( A Yrm B ) ) || ( B x. ( A Yrm B ) ) )
106	16, 105	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B x. ( A Yrm B ) ) || ( B x. ( A Yrm B ) ) )
107	106, 11	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B x. ( A Yrm B ) ) || Q )
108		jm2.20nn 37564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Q e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) <-> ( B x. ( A Yrm B ) ) || Q ) )
109	2, 28, 3, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) <-> ( B x. ( A Yrm B ) ) || Q ) )
110	107, 109	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) )
111		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A Yrm B ) e. ZZ -> ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) e. ZZ )
112	15, 111	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) e. ZZ )
113	20	fovcl 6765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Q e. ZZ ) -> ( A Yrm Q ) e. ZZ )
114	2, 17, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A Yrm Q ) e. ZZ )
115	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
116		dvdscmul 15008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A Yrm Q ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) ) )
117	112, 114, 115, 116	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) || ( A Yrm Q ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) ) )
118	110, 117	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) )
119		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( A Yrm Q ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) e. ZZ )
120	10, 114, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) e. ZZ )
121	5	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Q e. ZZ ) -> ( A Xrm Q ) e. NN0 )
122	2, 17, 121	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) e. NN0 )
123	122	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) e. ZZ )
124		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) e. ZZ /\ ( A Xrm Q ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) || ( ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) x. ( A Xrm Q ) ) )
125	120, 123, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) || ( ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) x. ( A Xrm Q ) ) )
126		rmydbl 37505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ Q e. ZZ ) -> ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm Q ) ) x. ( A Yrm Q ) ) )
127	2, 17, 126	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) = ( ( 2 x. ( A Xrm Q ) ) x. ( A Yrm Q ) ) )
128		2cnd 11093	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. CC )
129	122	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A Xrm Q ) e. CC )
130	114	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A Yrm Q ) e. CC )
131	128, 129, 130	mul32d 10246	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( A Xrm Q ) ) x. ( A Yrm Q ) ) = ( ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) x. ( A Xrm Q ) ) )
132	127, 131	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) = ( ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) x. ( A Xrm Q ) ) )
133	125, 132	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) || ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) )
134		zmulcl 11426	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) e. ZZ )
135	10, 112, 134	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) e. ZZ )
136		dvdstr 15018	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) e. ZZ /\ ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) /\ ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) || ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
137	135, 120, 22, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) /\ ( 2 x. ( A Yrm Q ) ) || ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
138	118, 133, 137	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) || ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) )
139	12	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) )
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) )
141	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> E = ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) )
142	138, 140, 141	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) || E )
143	9, 22	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. ZZ )
144	30	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( 2 x. Q ) )
145		ltrmy 37519	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 0 e. ZZ /\ ( 2 x. Q ) e. ZZ ) -> ( 0 < ( 2 x. Q ) <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
146	2, 33, 19, 145	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 0 < ( 2 x. Q ) <-> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ) )
147	144, 146	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A Yrm 0 ) < ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) )
148	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 = ( A Yrm 0 ) )
149	147, 148, 141	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < E )
150		elnnz 11387	. . . . . . . 8 |- ( E e. NN <-> ( E e. ZZ /\ 0 < E ) )
151	143, 149, 150	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. NN )
152	13	nnsqcld 13029	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) e. NN )
153		nnmulcl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ ( C ^ 2 ) e. NN ) -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. NN )
154	25, 152, 153	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. NN )
155		nndivdvds 14989	. . . . . . 7 |- ( ( E e. NN /\ ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. NN ) -> ( ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) || E <-> ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) e. NN ) )
156	151, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) || E <-> ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) e. NN ) )
157	142, 156	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) e. NN )
158		nnm1nn0 11334	. . . . 5 |- ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) e. NN -> ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 ) e. NN0 )
159	157, 158	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 ) e. NN0 )
160	104, 159	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ph -> J e. NN0 )
161	1	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( D ^ 2 ) = ( ( A Xrm B ) ^ 2 )
162	161	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) = ( ( A Xrm B ) ^ 2 ) )
163	139	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A Xrm B ) ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) ) )
165		rmxynorm 37483	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm B ) ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
166	2, 4, 165	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A Xrm B ) ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm B ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
167	164, 166	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 )
168	41	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( F ^ 2 ) = ( ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 )
169	9	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( E ^ 2 ) = ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 )
170	169	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) )
171	168, 170	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = ( ( ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) ) )
172		rmxynorm 37483	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 2 x. Q ) e. ZZ ) -> ( ( ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
173	2, 19, 172	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A Xrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( A Yrm ( 2 x. Q ) ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
174	171, 173	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 )
175	167, 174, 82	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 /\ ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
176	99	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( I ^ 2 ) = ( ( G Xrm B ) ^ 2 )
177	85	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( H ^ 2 ) = ( ( G Yrm B ) ^ 2 )
178	177	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) = ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( G Yrm B ) ^ 2 ) )
179	176, 178	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = ( ( ( G Xrm B ) ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( G Yrm B ) ^ 2 ) ) )
180		rmxynorm 37483	. . . . . . 7 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( G Xrm B ) ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( G Yrm B ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
181	82, 4, 180	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( G Xrm B ) ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( ( G Yrm B ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
182	179, 181	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 )
183	104	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> J = ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 ) )
184	183	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J + 1 ) = ( ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 ) + 1 ) )
185	143	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. CC )
186	154	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) e. CC )
187	154	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) =/= 0 )
188	185, 186, 187	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) e. CC )
189		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
190		npcan 10290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 ) + 1 ) = ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
191	188, 189, 190	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) - 1 ) + 1 ) = ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
192	184, 191	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( J + 1 ) = ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
193	192	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) = ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
194	185, 186, 187	divcan1d 10802	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E / ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) = E )
195	193, 194	eqtr2d 2657	. . . . 5 |- ( ph -> E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) )
196	44	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ZZ )
197	78	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) - A ) e. ZZ )
198	196, 197	zmulcld 11488	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. ZZ )
199		dvdsmul1 15003	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ZZ /\ ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. ZZ ) -> F || ( F x. ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) )
200	196, 198, 199	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> F || ( F x. ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) )
201	47	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( G - A ) = ( ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) - A )
202	54	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
203	79	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. CC )
204	202, 203	pncan2d 10394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) - A ) = ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) )
205	49	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) = ( ( F x. F ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) )
206	78	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) - A ) e. CC )
207	48, 48, 206	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F x. F ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) = ( F x. ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) )
208	204, 205, 207	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) - A ) = ( F x. ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) )
209	201, 208	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G - A ) = ( F x. ( F x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) )
210	200, 209	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> F || ( G - A ) )
211	182, 195, 210	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 /\ E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) /\ F || ( G - A ) ) )
212		zmulcl 11426	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( 2 x. C ) e. ZZ )
213	10, 14, 212	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. C ) e. ZZ )
214		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
215	2, 214	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ZZ )
216	79	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. ZZ )
217		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
218		zsubcl 11419	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 1 - A ) e. ZZ )
219	217, 215, 218	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 - A ) e. ZZ )
220		zmulcl 11426	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 1 - A ) e. ZZ ) -> ( 1 x. ( 1 - A ) ) e. ZZ )
221	217, 219, 220	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 x. ( 1 - A ) ) e. ZZ )
222		congid 37538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( 2 x. C ) || ( A - A ) )
223	213, 215, 222	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( A - A ) )
224	51	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. ZZ )
225	217	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
226	13	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
227	128, 226, 226	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) x. C ) = ( 2 x. ( C x. C ) ) )
228	226	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( C ^ 2 ) = ( C x. C ) )
229	228	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( C x. C ) ) )
230	227, 229	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) x. C ) = ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) )
231	230, 142	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) x. C ) || E )
232		muldvds1 15006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ E e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. C ) x. C ) || E -> ( 2 x. C ) || E ) )
233	213, 14, 143, 232	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. C ) x. C ) || E -> ( 2 x. C ) || E ) )
234	231, 233	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || E )
235		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
236	215, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
237		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
238	236, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
239	238, 143	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) e. ZZ )
240		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) e. ZZ /\ E e. ZZ ) -> ( ( 2 x. C ) || E -> ( 2 x. C ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) x. E ) ) )
241	213, 239, 143, 240	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) || E -> ( 2 x. C ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) x. E ) ) )
242	234, 241	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) x. E ) )
243	185	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) = ( E x. E ) )
244	243	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E x. E ) ) )
245	202	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ^ 2 ) e. CC )
246		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
247	245, 189, 246	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
248	247, 185, 185	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) x. E ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E x. E ) ) )
249	244, 248	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. E ) x. E ) )
250	242, 249	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) )
251	48	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ^ 2 ) e. CC )
252	185	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
253	247, 252	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) e. CC )
254	189	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. CC )
255		subsub23 10286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ^ 2 ) e. CC /\ ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 <-> ( ( F ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) )
256	251, 253, 254, 255	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 <-> ( ( F ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) )
257	174, 256	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) )
258	250, 257	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( ( F ^ 2 ) - 1 ) )
259		congsub 37537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ ( F ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( A e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( ( F ^ 2 ) - 1 ) /\ ( 2 x. C ) || ( A - A ) ) ) -> ( 2 x. C ) || ( ( ( F ^ 2 ) - A ) - ( 1 - A ) ) )
260	213, 224, 225, 215, 215, 258, 223, 259	syl322anc 1354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( ( ( F ^ 2 ) - A ) - ( 1 - A ) ) )
261		congmul 37534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ ( F ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) /\ ( ( ( F ^ 2 ) - A ) e. ZZ /\ ( 1 - A ) e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( ( F ^ 2 ) - 1 ) /\ ( 2 x. C ) || ( ( ( F ^ 2 ) - A ) - ( 1 - A ) ) ) ) -> ( 2 x. C ) || ( ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) - ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) )
262	213, 224, 225, 197, 219, 258, 260, 261	syl322anc 1354	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) - ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) )
263		congadd 37533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) e. ZZ /\ ( 1 x. ( 1 - A ) ) e. ZZ ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( A - A ) /\ ( 2 x. C ) || ( ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) - ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) ) ) -> ( 2 x. C ) || ( ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) - ( A + ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) ) )
264	213, 215, 215, 216, 221, 223, 262, 263	syl322anc 1354	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) - ( A + ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) ) )
265	47	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> G = ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) )
266	219	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 - A ) e. CC )
267	266	mulid2d 10058	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. ( 1 - A ) ) = ( 1 - A ) )
268	267	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) = ( A + ( 1 - A ) ) )
269		pncan3 10289	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( A + ( 1 - A ) ) = 1 )
270	202, 189, 269	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A + ( 1 - A ) ) = 1 )
271	268, 270	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 = ( A + ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) )
272	265, 271	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G - 1 ) = ( ( A + ( ( F ^ 2 ) x. ( ( F ^ 2 ) - A ) ) ) - ( A + ( 1 x. ( 1 - A ) ) ) ) )
273	264, 272	breqtrrd 4681	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) )
274		jm2.15nn0 37570	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN0 ) -> ( G - A ) || ( ( G Yrm B ) - ( A Yrm B ) ) )
275	82, 2, 90, 274	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G - A ) || ( ( G Yrm B ) - ( A Yrm B ) ) )
276	85	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H = ( G Yrm B ) )
277	276, 12	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H - C ) = ( ( G Yrm B ) - ( A Yrm B ) ) )
278	275, 277	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G - A ) || ( H - C ) )
279		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) -> G e. ZZ )
280	82, 279	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G e. ZZ )
281	280, 215	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G - A ) e. ZZ )
282	85, 87	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. ZZ )
283	282, 14	zsubcld 11487	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H - C ) e. ZZ )
284		dvdstr 15018	. . . . . . 7 |- ( ( F e. ZZ /\ ( G - A ) e. ZZ /\ ( H - C ) e. ZZ ) -> ( ( F || ( G - A ) /\ ( G - A ) || ( H - C ) ) -> F || ( H - C ) ) )
285	196, 281, 283, 284	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( F || ( G - A ) /\ ( G - A ) || ( H - C ) ) -> F || ( H - C ) ) )
286	210, 278, 285	mp2and 715	. . . . 5 |- ( ph -> F || ( H - C ) )
287		jm2.16nn0 37571	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN0 ) -> ( G - 1 ) || ( ( G Yrm B ) - B ) )
288	82, 90, 287	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G - 1 ) || ( ( G Yrm B ) - B ) )
289	85	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( H - B ) = ( ( G Yrm B ) - B )
290	288, 289	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( G - 1 ) || ( H - B ) )
291		peano2zm 11420	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ZZ -> ( G - 1 ) e. ZZ )
292	280, 291	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G - 1 ) e. ZZ )
293	282, 4	zsubcld 11487	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( H - B ) e. ZZ )
294		dvdstr 15018	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. C ) e. ZZ /\ ( G - 1 ) e. ZZ /\ ( H - B ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ ( G - 1 ) || ( H - B ) ) -> ( 2 x. C ) || ( H - B ) ) )
295	213, 292, 293, 294	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ ( G - 1 ) || ( H - B ) ) -> ( 2 x. C ) || ( H - B ) ) )
296	273, 290, 295	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. C ) || ( H - B ) )
297		rmygeid 37531	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. NN0 ) -> B <_ ( A Yrm B ) )
298	2, 90, 297	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> B <_ ( A Yrm B ) )
299	298, 12	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> B <_ C )
300	296, 299	jca 554	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. C ) || ( H - B ) /\ B <_ C ) )
301	273, 286, 300	jca31 557	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ F || ( H - C ) ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( H - B ) /\ B <_ C ) ) )
302	175, 211, 301	jca31 557	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 /\ ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 /\ E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) /\ F || ( G - A ) ) ) /\ ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ F || ( H - C ) ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( H - B ) /\ B <_ C ) ) ) )
303	160, 302	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( J e. NN0 /\ ( ( ( ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 /\ ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 /\ E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) /\ F || ( G - A ) ) ) /\ ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ F || ( H - C ) ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( H - B ) /\ B <_ C ) ) ) ) )
304	45, 103, 303	jca31 557	1 |- ( ph -> ( ( ( D e. NN0 /\ E e. NN0 /\ F e. NN0 ) /\ ( G e. NN0 /\ H e. NN0 /\ I e. NN0 ) ) /\ ( J e. NN0 /\ ( ( ( ( ( D ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( C ^ 2 ) ) ) = 1 /\ ( ( F ^ 2 ) - ( ( ( A ^ 2 ) - 1 ) x. ( E ^ 2 ) ) ) = 1 /\ G e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( ( I ^ 2 ) - ( ( ( G ^ 2 ) - 1 ) x. ( H ^ 2 ) ) ) = 1 /\ E = ( ( J + 1 ) x. ( 2 x. ( C ^ 2 ) ) ) /\ F || ( G - A ) ) ) /\ ( ( ( 2 x. C ) || ( G - 1 ) /\ F || ( H - C ) ) /\ ( ( 2 x. C ) || ( H - B ) /\ B <_ C ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.27  37575