Theorem jm2.15nn0 37570

Description: Lemma 2.15 of [JonesMatijasevic] p. 695. Y_rm is a polynomial for fixed N, so has the expected congruence property. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.15nn0	|- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) )

Proof of Theorem jm2.15nn0

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11697	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
2		eluzelz 11697	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
3		zsubcl 11419	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A - B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) e. ZZ )
5		0z 11388	. . . . . 6 |- 0 e. ZZ
6		congid 37538	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( 0 - 0 ) )
7	4, 5, 6	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( 0 - 0 ) )
8		rmy0 37494	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 0 ) = 0 )
9		rmy0 37494	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B Yrm 0 ) = 0 )
10	8, 9	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm 0 ) - ( B Yrm 0 ) ) = ( 0 - 0 ) )
11	7, 10	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm 0 ) - ( B Yrm 0 ) ) )
12		1z 11407	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
13		congid 37538	. . . . . 6 |- ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( 1 - 1 ) )
14	4, 12, 13	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( 1 - 1 ) )
15		rmy1 37495	. . . . . 6 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( A Yrm 1 ) = 1 )
16		rmy1 37495	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B Yrm 1 ) = 1 )
17	15, 16	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A Yrm 1 ) - ( B Yrm 1 ) ) = ( 1 - 1 ) )
18	14, 17	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm 1 ) - ( B Yrm 1 ) ) )
19		pm3.43 906	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) )
20	4	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) e. ZZ )
21		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> 2 e. ZZ )
23		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
24		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. NN -> b e. ZZ )
25	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> b e. ZZ )
26		frmy 37479	. . . . . . . . . . . . 13 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
27	26	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
28	23, 25, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A Yrm b ) e. ZZ )
29	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> A e. ZZ )
30	29	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> A e. ZZ )
31	28, 30	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( ( A Yrm b ) x. A ) e. ZZ )
32	22, 31	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. ZZ )
33		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
34	26	fovcl 6765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( B Yrm b ) e. ZZ )
35	33, 25, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( B Yrm b ) e. ZZ )
36	2	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> B e. ZZ )
37	36	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> B e. ZZ )
38	35, 37	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( ( B Yrm b ) x. B ) e. ZZ )
39	22, 38	zmulcld 11488	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) e. ZZ )
40		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b e. ZZ -> ( b - 1 ) e. ZZ )
41	24, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. NN -> ( b - 1 ) e. ZZ )
42	41	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( b - 1 ) e. ZZ )
43	26	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
44	23, 42, 43	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
45	26	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( b - 1 ) e. ZZ ) -> ( B Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
46	33, 42, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( B Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ )
47		congid 37538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( A - B ) || ( 2 - 2 ) )
48	20, 21, 47	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( 2 - 2 ) )
49		simp3r 1090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) )
50		iddvds 14995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A - B ) e. ZZ -> ( A - B ) || ( A - B ) )
51	20, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( A - B ) )
52		congmul 37534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ ( A Yrm b ) e. ZZ /\ ( B Yrm b ) e. ZZ ) /\ ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) /\ ( A - B ) || ( A - B ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( ( A Yrm b ) x. A ) - ( ( B Yrm b ) x. B ) ) )
53	20, 28, 35, 30, 37, 49, 51, 52	syl322anc 1354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( ( A Yrm b ) x. A ) - ( ( B Yrm b ) x. B ) ) )
54		congmul 37534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( ( ( A Yrm b ) x. A ) e. ZZ /\ ( ( B Yrm b ) x. B ) e. ZZ ) /\ ( ( A - B ) || ( 2 - 2 ) /\ ( A - B ) || ( ( ( A Yrm b ) x. A ) - ( ( B Yrm b ) x. B ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) ) )
55	20, 22, 22, 31, 38, 48, 53, 54	syl322anc 1354	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) ) )
56		simp3l 1089	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) )
57		congsub 37537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A - B ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) e. ZZ /\ ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) e. ZZ ) /\ ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ /\ ( B Yrm ( b - 1 ) ) e. ZZ ) /\ ( ( A - B ) || ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
58	20, 32, 39, 44, 46, 55, 56, 57	syl322anc 1354	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
59		rmyluc 37502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
60	23, 25, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) )
61		rmyluc 37502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ b e. ZZ ) -> ( B Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) )
62	33, 25, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( B Yrm ( b + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) )
63	60, 62	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( A Yrm b ) x. A ) ) - ( A Yrm ( b - 1 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( B Yrm b ) x. B ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
64	58, 63	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( b e. NN /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) )
65	64	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( b e. NN -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) ) ) )
66	65	a2d 29	. . . . 5 |- ( b e. NN -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) /\ ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) ) ) )
67	19, 66	syl5 34	. . . 4 |- ( b e. NN -> ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) /\ ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) ) ) )
68		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm 0 ) )
69		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( B Yrm a ) = ( B Yrm 0 ) )
70	68, 69	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) = ( ( A Yrm 0 ) - ( B Yrm 0 ) ) )
71	70	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) <-> ( A - B ) || ( ( A Yrm 0 ) - ( B Yrm 0 ) ) ) )
72	71	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = 0 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm 0 ) - ( B Yrm 0 ) ) ) ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = 1 -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm 1 ) )
74		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = 1 -> ( B Yrm a ) = ( B Yrm 1 ) )
75	73, 74	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = 1 -> ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) = ( ( A Yrm 1 ) - ( B Yrm 1 ) ) )
76	75	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( a = 1 -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) <-> ( A - B ) || ( ( A Yrm 1 ) - ( B Yrm 1 ) ) ) )
77	76	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = 1 -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm 1 ) - ( B Yrm 1 ) ) ) ) )
78		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm ( b - 1 ) ) )
79		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( B Yrm a ) = ( B Yrm ( b - 1 ) ) )
80	78, 79	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) = ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) )
81	80	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) <-> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) )
82	81	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = ( b - 1 ) -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b - 1 ) ) - ( B Yrm ( b - 1 ) ) ) ) ) )
83		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm b ) )
84		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = b -> ( B Yrm a ) = ( B Yrm b ) )
85	83, 84	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = b -> ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) = ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) )
86	85	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( a = b -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) <-> ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) )
87	86	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = b -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm b ) - ( B Yrm b ) ) ) ) )
88		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm ( b + 1 ) ) )
89		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( B Yrm a ) = ( B Yrm ( b + 1 ) ) )
90	88, 89	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) = ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) )
91	90	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) <-> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) ) )
92	91	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = ( b + 1 ) -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm ( b + 1 ) ) - ( B Yrm ( b + 1 ) ) ) ) ) )
93		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( A Yrm a ) = ( A Yrm N ) )
94		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( a = N -> ( B Yrm a ) = ( B Yrm N ) )
95	93, 94	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( a = N -> ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) = ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) )
96	95	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( a = N -> ( ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) <-> ( A - B ) || ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) ) )
97	96	imbi2d 330	. . . 4 |- ( a = N -> ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm a ) - ( B Yrm a ) ) ) <-> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) ) ) )
98	11, 18, 67, 72, 77, 82, 87, 92, 97	2nn0ind 37510	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) ) )
99	98	impcom 446	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ N e. NN0 ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) )
100	99	3impa 1259	1 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( A - B ) || ( ( A Yrm N ) - ( B Yrm N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   || cdvds 14983   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.27a  37572  jm2.27c  37574