Theorem jm2.26a 37567

Description: Lemma for jm2.26 37569. Reverse direction is required to prove forward direction, so do it separately. Induction on difference between K and M, together with the addition formula fact that adding 2N only inverts sign. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26a	|- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) || ( K - M ) \/ ( 2 x. N ) || ( K - -u M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )

Proof of Theorem jm2.26a

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
2		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> N e. ZZ )
3		zmulcl 11426	. . . . 5 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
5		zsubcl 11419	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
6	5	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( K - M ) e. ZZ )
7		divides 14985	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ ( K - M ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) || ( K - M ) <-> E. a e. ZZ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) )
8	4, 6, 7	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( 2 x. N ) || ( K - M ) <-> E. a e. ZZ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) )
9		simplll 798	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
10		simplrr 801	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> M e. ZZ )
11		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> N e. ZZ )
12		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> a e. ZZ )
13		jm2.25 37566	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
14	9, 10, 11, 12, 13	syl121anc 1331	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) -> ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) = ( M + ( K - M ) ) )
17	16	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) -> ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( M + ( K - M ) ) ) )
18		zcn 11382	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
19		zcn 11382	. . . . . . . . . . 11 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
20		pncan3 10289	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. CC /\ K e. CC ) -> ( M + ( K - M ) ) = K )
21	18, 19, 20	syl2anr 495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M + ( K - M ) ) = K )
22	21	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( M + ( K - M ) ) = K )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( A Yrm ( M + ( K - M ) ) ) = ( A Yrm K ) )
24	17, 23	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) -> ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm K ) )
25		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) -> ( A Yrm M ) = ( A Yrm M ) )
26	24, 25	acongeq12d 37546	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
27	15, 26	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
28	27	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
29	28	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( E. a e. ZZ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - M ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
30	8, 29	sylbid 230	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( 2 x. N ) || ( K - M ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
31		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> K e. ZZ )
32		znegcl 11412	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> -u M e. ZZ )
33	32	ad2antll 765	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> -u M e. ZZ )
34	31, 33	zsubcld 11487	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( K - -u M ) e. ZZ )
35		divides 14985	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ ( K - -u M ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. N ) || ( K - -u M ) <-> E. a e. ZZ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) )
36	4, 34, 35	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( 2 x. N ) || ( K - -u M ) <-> E. a e. ZZ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) )
37		frmx 37478	. . . . . . . . . . 11 |- Xrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> NN0
38	37	fovcl 6765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 11480	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
40	9, 11, 39	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( A Xrm N ) e. ZZ )
41		simplrl 800	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> K e. ZZ )
42		frmy 37479	. . . . . . . . . 10 |- Yrm : ( ( ZZ>= ` 2 ) X. ZZ ) --> ZZ
43	42	fovcl 6765	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ZZ ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
44	9, 41, 43	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( A Yrm K ) e. ZZ )
45	42	fovcl 6765	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
46	9, 10, 45	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( A Yrm M ) e. ZZ )
47	40, 44, 46	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm K ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) )
48	47	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm K ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) )
49	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> -u M e. ZZ )
50		jm2.25 37566	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( -u M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm -u M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm -u M ) ) ) )
51	9, 49, 11, 12, 50	syl121anc 1331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm -u M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm -u M ) ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm -u M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm -u M ) ) ) )
53		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) -> ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) = ( -u M + ( K - -u M ) ) )
54	53	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) -> ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm ( -u M + ( K - -u M ) ) ) )
55	18	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> -u M e. CC )
56		pncan3 10289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u M e. CC /\ K e. CC ) -> ( -u M + ( K - -u M ) ) = K )
57	55, 19, 56	syl2anr 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( -u M + ( K - -u M ) ) = K )
58	57	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( -u M + ( K - -u M ) ) = K )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( A Yrm ( -u M + ( K - -u M ) ) ) = ( A Yrm K ) )
60	54, 59	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) = ( A Yrm K ) )
61		rmyneg 37493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ M e. ZZ ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
62	9, 10, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
63	62	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( A Yrm -u M ) = -u ( A Yrm M ) )
64	60, 63	acongeq12d 37546	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - ( A Yrm -u M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm ( -u M + ( a x. ( 2 x. N ) ) ) ) - -u ( A Yrm -u M ) ) ) <-> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
65	52, 64	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u -u ( A Yrm M ) ) ) )
66		acongneg2 37544	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A Xrm N ) e. ZZ /\ ( A Yrm K ) e. ZZ /\ ( A Yrm M ) e. ZZ ) /\ ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u -u ( A Yrm M ) ) ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
67	48, 65, 66	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) /\ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) )
68	67	ex 450	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) /\ a e. ZZ ) -> ( ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
69	68	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( E. a e. ZZ ( a x. ( 2 x. N ) ) = ( K - -u M ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
70	36, 69	sylbid 230	. 2 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( 2 x. N ) || ( K - -u M ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )
71	30, 70	jaod 395	1 |- ( ( ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) || ( K - M ) \/ ( 2 x. N ) || ( K - -u M ) ) -> ( ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - ( A Yrm M ) ) \/ ( A Xrm N ) || ( ( A Yrm K ) - -u ( A Yrm M ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   || cdvds 14983   X_rm crmx 37464   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm2.26  37569