Theorem jm3.1lem2 37585

Description: Lemma for jm3.1 37587. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm3.1.a	|- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.b	|- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
jm3.1.c	|- ( ph -> N e. NN )
jm3.1.d	|- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )

Assertion

Ref	Expression
jm3.1lem2	|- ( ph -> ( K ^ N ) < ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )

Proof of Theorem jm3.1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm3.1.b	. . . 4 |- ( ph -> K e. ( ZZ>= ` 2 ) )
2		eluzelre 11698	. . . 4 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. RR )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> K e. RR )
4		jm3.1.c	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
5	4	nnnn0d 11351	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
6	3, 5	reexpcld 13025	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) e. RR )
7		jm3.1.a	. . 3 |- ( ph -> A e. ( ZZ>= ` 2 ) )
8		eluzelre 11698	. . 3 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. RR )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
10		2re 11090	. . . . . 6 |- 2 e. RR
11		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ A e. RR ) -> ( 2 x. A ) e. RR )
12	10, 9, 11	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. A ) e. RR )
13	12, 3	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) x. K ) e. RR )
14	3	resqcld 13035	. . . 4 |- ( ph -> ( K ^ 2 ) e. RR )
15	13, 14	resubcld 10458	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. RR )
16		1re 10039	. . 3 |- 1 e. RR
17		resubcl 10345	. . 3 |- ( ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
18	15, 16, 17	sylancl 694	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) e. RR )
19		jm3.1.d	. . 3 |- ( ph -> ( K Yrm ( N + 1 ) ) <_ A )
20	7, 1, 4, 19	jm3.1lem1 37584	. 2 |- ( ph -> ( K ^ N ) < A )
21	9, 3	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. K ) e. RR )
22		resubcl 10345	. . . . 5 |- ( ( K e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( K - 1 ) e. RR )
23	3, 16, 22	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. RR )
24	21, 23	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( K - 1 ) ) e. RR )
25		eluz2b1 11759	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. ZZ /\ 1 < K ) )
26	25	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < K )
27	1, 26	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < K )
28		eluz2nn 11726	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. NN )
29	7, 28	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. NN )
30	29	nngt0d 11064	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < A )
31		ltmulgt11 10883	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ K e. RR /\ 0 < A ) -> ( 1 < K <-> A < ( A x. K ) ) )
32	9, 3, 30, 31	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < K <-> A < ( A x. K ) ) )
33	27, 32	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> A < ( A x. K ) )
34		uz2m1nn 11763	. . . . . . 7 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( K - 1 ) e. NN )
35	1, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. NN )
36	35	nnrpd 11870	. . . . 5 |- ( ph -> ( K - 1 ) e. RR+ )
37	21, 36	ltaddrpd 11905	. . . 4 |- ( ph -> ( A x. K ) < ( ( A x. K ) + ( K - 1 ) ) )
38	9, 21, 24, 33, 37	lttrd 10198	. . 3 |- ( ph -> A < ( ( A x. K ) + ( K - 1 ) ) )
39		peano2re 10209	. . . . . . 7 |- ( K e. RR -> ( K + 1 ) e. RR )
40	3, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K + 1 ) e. RR )
41	40, 3	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) x. K ) e. RR )
42		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( ( A x. K ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( A x. K ) - 1 ) e. RR )
43	21, 16, 42	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. K ) - 1 ) e. RR )
44	43, 14	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) e. RR )
45	3	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. CC )
46	45	exp1d 13003	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ^ 1 ) = K )
47		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. NN )
49	48	nnge1d 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 <_ K )
50		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
51	4, 50	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
52	3, 49, 51	leexp2ad 13041	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ^ 1 ) <_ ( K ^ N ) )
53	46, 52	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K <_ ( K ^ N ) )
54	3, 6, 9, 53, 20	lelttrd 10195	. . . . . . 7 |- ( ph -> K < A )
55		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. ZZ )
56	1, 55	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. ZZ )
57		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> A e. ZZ )
58	7, 57	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. ZZ )
59		zltp1le 11427	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( K < A <-> ( K + 1 ) <_ A ) )
60	56, 58, 59	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( K < A <-> ( K + 1 ) <_ A ) )
61	54, 60	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K + 1 ) <_ A )
62	48	nngt0d 11064	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < K )
63		lemul1 10875	. . . . . . 7 |- ( ( ( K + 1 ) e. RR /\ A e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 < K ) ) -> ( ( K + 1 ) <_ A <-> ( ( K + 1 ) x. K ) <_ ( A x. K ) ) )
64	40, 9, 3, 62, 63	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) <_ A <-> ( ( K + 1 ) x. K ) <_ ( A x. K ) ) )
65	61, 64	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) x. K ) <_ ( A x. K ) )
66	41, 21, 44, 65	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( K + 1 ) x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) <_ ( ( A x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) )
67	21	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A x. K ) e. CC )
68	41, 14	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. RR )
69	68	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) e. CC )
70		1cnd 10056	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. CC )
71	67, 69, 70	addsub12d 10415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) + ( ( A x. K ) - 1 ) ) )
72	45, 70, 45	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) x. K ) = ( ( K x. K ) + ( 1 x. K ) ) )
73	45	sqvald 13005	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ^ 2 ) = ( K x. K ) )
74	72, 73	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) = ( ( ( K x. K ) + ( 1 x. K ) ) - ( K x. K ) ) )
75	45, 45	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K x. K ) e. CC )
76		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
77		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ K e. CC ) -> ( 1 x. K ) e. CC )
78	76, 45, 77	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. K ) e. CC )
79	75, 78	pncan2d 10394	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( K x. K ) + ( 1 x. K ) ) - ( K x. K ) ) = ( 1 x. K ) )
80	45	mulid2d 10058	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 x. K ) = K )
81	74, 79, 80	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) = K )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) = ( K - 1 ) )
83	82	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) ) = ( ( A x. K ) + ( K - 1 ) ) )
84	41	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( K + 1 ) x. K ) e. CC )
85	14	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K ^ 2 ) e. CC )
86	43	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. K ) - 1 ) e. CC )
87	84, 85, 86	subadd23d 10414	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( K + 1 ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) + ( ( A x. K ) - 1 ) ) = ( ( ( K + 1 ) x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) )
88	71, 83, 87	3eqtr3d 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( K - 1 ) ) = ( ( ( K + 1 ) x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) )
89		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 2 e. CC )
90	9	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. CC )
91	89, 90, 45	mulassd 10063	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) x. K ) = ( 2 x. ( A x. K ) ) )
92	67	2timesd 11275	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( A x. K ) ) = ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) )
93	91, 92	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 x. A ) x. K ) = ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) = ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - ( K ^ 2 ) ) )
95	94	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )
96	21, 21	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) e. RR )
97	96	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) e. CC )
98	97, 85, 70	sub32d 10424	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) )
99	67, 67, 70	addsubassd 10412	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - 1 ) = ( ( A x. K ) + ( ( A x. K ) - 1 ) ) )
100	99	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) = ( ( ( A x. K ) + ( ( A x. K ) - 1 ) ) - ( K ^ 2 ) ) )
101	67, 86, 85	addsubassd 10412	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A x. K ) + ( ( A x. K ) - 1 ) ) - ( K ^ 2 ) ) = ( ( A x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) )
102	100, 101	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( A x. K ) + ( A x. K ) ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) = ( ( A x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) )
103	95, 98, 102	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) = ( ( A x. K ) + ( ( ( A x. K ) - 1 ) - ( K ^ 2 ) ) ) )
104	66, 88, 103	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ph -> ( ( A x. K ) + ( K - 1 ) ) <_ ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )
105	9, 24, 18, 38, 104	ltletrd 10197	. 2 |- ( ph -> A < ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )
106	6, 9, 18, 20, 105	lttrd 10198	1 |- ( ph -> ( K ^ N ) < ( ( ( ( 2 x. A ) x. K ) - ( K ^ 2 ) ) - 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   Y_rm crmy 37465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-numer 15443  df-denom 15444  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-squarenn 37405  df-pell1qr 37406  df-pell14qr 37407  df-pell1234qr 37408  df-pellfund 37409  df-rmx 37466  df-rmy 37467

This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  37586  jm3.1  37587