Theorem nonbooli 28510

Description: A Hilbert lattice with two or more dimensions fails the distributive law and therefore cannot be a Boolean algebra. This counterexample demonstrates a condition where ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) = 0H but ( H i^i ( F vH G ) ) =/= 0H. The antecedent specifies that the vectors A and B are nonzero and non-colinear. The last three hypotheses assign one-dimensional subspaces to F, G, and H. (Contributed by NM, 1-Nov-2005.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nonbool.1	|- A e. ~H
nonbool.2	|- B e. ~H
nonbool.3	|- F = ( span ` { A } )
nonbool.4	|- G = ( span ` { B } )
nonbool.5	|- H = ( span ` { ( A +h B ) } )

Assertion

Ref	Expression
nonbooli	|- ( -. ( A e. G \/ B e. F ) -> ( H i^i ( F vH G ) ) =/= ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) )

Proof of Theorem nonbooli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nonbool.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. ~H
2		nonbool.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. ~H
3	1, 2	hvaddcli 27875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A +h B ) e. ~H
4		spansnid 28422	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A +h B ) e. ~H -> ( A +h B ) e. ( span ` { ( A +h B ) } ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( A +h B ) e. ( span ` { ( A +h B ) } )
6		nonbool.5	. . . . . . . . . . 11 |- H = ( span ` { ( A +h B ) } )
7	5, 6	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . 10 |- ( A +h B ) e. H
8		nonbool.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( span ` { A } )
9	1	spansnchi 28421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( span ` { A } ) e. CH
10	9	chshii 28084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( span ` { A } ) e. SH
11	8, 10	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- F e. SH
12		nonbool.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( span ` { B } )
13	2	spansnchi 28421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( span ` { B } ) e. CH
14	13	chshii 28084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( span ` { B } ) e. SH
15	12, 14	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- G e. SH
16	11, 15	shsleji 28229	. . . . . . . . . . 11 |- ( F +H G ) C_ ( F vH G )
17		spansnid 28422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. ~H -> A e. ( span ` { A } ) )
18	1, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- A e. ( span ` { A } )
19	18, 8	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- A e. F
20		spansnid 28422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. ~H -> B e. ( span ` { B } ) )
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- B e. ( span ` { B } )
22	21, 12	eleqtrri 2700	. . . . . . . . . . . 12 |- B e. G
23	11, 15	shsvai 28223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. F /\ B e. G ) -> ( A +h B ) e. ( F +H G ) )
24	19, 22, 23	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( A +h B ) e. ( F +H G )
25	16, 24	sselii 3600	. . . . . . . . . 10 |- ( A +h B ) e. ( F vH G )
26		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A +h B ) e. ( H i^i ( F vH G ) ) <-> ( ( A +h B ) e. H /\ ( A +h B ) e. ( F vH G ) ) )
27	7, 25, 26	mpbir2an 955	. . . . . . . . 9 |- ( A +h B ) e. ( H i^i ( F vH G ) )
28		eleq2 2690	. . . . . . . . 9 |- ( ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H -> ( ( A +h B ) e. ( H i^i ( F vH G ) ) <-> ( A +h B ) e. 0H ) )
29	27, 28	mpbii 223	. . . . . . . 8 |- ( ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H -> ( A +h B ) e. 0H )
30		elch0 28111	. . . . . . . 8 |- ( ( A +h B ) e. 0H <-> ( A +h B ) = 0h )
31	29, 30	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H -> ( A +h B ) = 0h )
32		ch0 28085	. . . . . . . 8 |- ( ( span ` { A } ) e. CH -> 0h e. ( span ` { A } ) )
33	9, 32	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 0h e. ( span ` { A } )
34	31, 33	syl6eqel 2709	. . . . . 6 |- ( ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H -> ( A +h B ) e. ( span ` { A } ) )
35	8	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( B e. F <-> B e. ( span ` { A } ) )
36		sumspansn 28508	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ~H /\ B e. ~H ) -> ( ( A +h B ) e. ( span ` { A } ) <-> B e. ( span ` { A } ) ) )
37	1, 2, 36	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( A +h B ) e. ( span ` { A } ) <-> B e. ( span ` { A } ) )
38	35, 37	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( B e. F <-> ( A +h B ) e. ( span ` { A } ) )
39	34, 38	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H -> B e. F )
40	39	con3i 150	. . . 4 |- ( -. B e. F -> -. ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H )
41	40	adantl 482	. . 3 |- ( ( -. A e. G /\ -. B e. F ) -> -. ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H )
42	6, 8	ineq12i 3812	. . . . . 6 |- ( H i^i F ) = ( ( span ` { ( A +h B ) } ) i^i ( span ` { A } ) )
43	3, 1	spansnm0i 28509	. . . . . . 7 |- ( -. ( A +h B ) e. ( span ` { A } ) -> ( ( span ` { ( A +h B ) } ) i^i ( span ` { A } ) ) = 0H )
44	38, 43	sylnbi 320	. . . . . 6 |- ( -. B e. F -> ( ( span ` { ( A +h B ) } ) i^i ( span ` { A } ) ) = 0H )
45	42, 44	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. B e. F -> ( H i^i F ) = 0H )
46	6, 12	ineq12i 3812	. . . . . 6 |- ( H i^i G ) = ( ( span ` { ( A +h B ) } ) i^i ( span ` { B } ) )
47		sumspansn 28508	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ~H /\ A e. ~H ) -> ( ( B +h A ) e. ( span ` { B } ) <-> A e. ( span ` { B } ) ) )
48	2, 1, 47	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( B +h A ) e. ( span ` { B } ) <-> A e. ( span ` { B } ) )
49	1, 2	hvcomi 27876	. . . . . . . . 9 |- ( A +h B ) = ( B +h A )
50	49	eleq1i 2692	. . . . . . . 8 |- ( ( A +h B ) e. ( span ` { B } ) <-> ( B +h A ) e. ( span ` { B } ) )
51	12	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( A e. G <-> A e. ( span ` { B } ) )
52	48, 50, 51	3bitr4ri 293	. . . . . . 7 |- ( A e. G <-> ( A +h B ) e. ( span ` { B } ) )
53	3, 2	spansnm0i 28509	. . . . . . 7 |- ( -. ( A +h B ) e. ( span ` { B } ) -> ( ( span ` { ( A +h B ) } ) i^i ( span ` { B } ) ) = 0H )
54	52, 53	sylnbi 320	. . . . . 6 |- ( -. A e. G -> ( ( span ` { ( A +h B ) } ) i^i ( span ` { B } ) ) = 0H )
55	46, 54	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. A e. G -> ( H i^i G ) = 0H )
56	45, 55	oveqan12rd 6670	. . . 4 |- ( ( -. A e. G /\ -. B e. F ) -> ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) = ( 0H vH 0H ) )
57		h0elch 28112	. . . . 5 |- 0H e. CH
58	57	chj0i 28314	. . . 4 |- ( 0H vH 0H ) = 0H
59	56, 58	syl6eq 2672	. . 3 |- ( ( -. A e. G /\ -. B e. F ) -> ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) = 0H )
60		eqeq2 2633	. . . . 5 |- ( ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) = 0H -> ( ( H i^i ( F vH G ) ) = ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) <-> ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H ) )
61	60	notbid 308	. . . 4 |- ( ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) = 0H -> ( -. ( H i^i ( F vH G ) ) = ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) <-> -. ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H ) )
62	61	biimparc 504	. . 3 |- ( ( -. ( H i^i ( F vH G ) ) = 0H /\ ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) = 0H ) -> -. ( H i^i ( F vH G ) ) = ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) )
63	41, 59, 62	syl2anc 693	. 2 |- ( ( -. A e. G /\ -. B e. F ) -> -. ( H i^i ( F vH G ) ) = ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) )
64		ioran 511	. 2 |- ( -. ( A e. G \/ B e. F ) <-> ( -. A e. G /\ -. B e. F ) )
65		df-ne 2795	. 2 |- ( ( H i^i ( F vH G ) ) =/= ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) <-> -. ( H i^i ( F vH G ) ) = ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) )
66	63, 64, 65	3imtr4i 281	1 |- ( -. ( A e. G \/ B e. F ) -> ( H i^i ( F vH G ) ) =/= ( ( H i^i F ) vH ( H i^i G ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   i^i cin 3573   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   +h cva 27777   0hc0v 27781   SHcsh 27785   CHcch 27786   +H cph 27788   spancspn 27789   vH chj 27790   0Hc0h 27792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169

This theorem is referenced by: (None)