Theorem lgambdd 24763

Description: The log-Gamma function is bounded on the region U. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.g	|- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgambdd	|- ( ph -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ r )

Distinct variable groups:   G, r   k, m, r, x, z, R   U, m, r, z   ph, m, r, x, z

Allowed substitution hints:   ph( k)   U( x, k)   G( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgambdd

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgamgulm.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. NN )
2		lgamgulm.u	. . . . 5 |- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
3		lgamgulm.g	. . . . 5 |- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
4	1, 2, 3	lgamgulm2 24762	. . . 4 |- ( ph -> ( A. z e. U ( log _G ` z ) e. CC /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )
5	4	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) )
6		eqid 2622	. . . . 5 |- ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) ) = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )
7	1, 2, 3, 6	lgamgulmlem6 24760	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~> u ` U ) /\ ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) -> E. y e. RR A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) ) )
8	7	simprd 479	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) -> E. y e. RR A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) )
9	5, 8	mpd 15	. 2 |- ( ph -> E. y e. RR A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y )
10	1	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. RR+ )
11	10	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> R e. RR+ )
12	11	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( log ` R ) e. RR )
13		pire 24210	. . . . . . 7 |- pi e. RR
14	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> pi e. RR )
15	12, 14	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( log ` R ) + pi ) e. RR )
16		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. RR )
17	15, 16	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) e. RR )
18	17	adantrr 753	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) ) -> ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) e. RR )
19	4	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. z e. U ( log _G ` z ) e. CC )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. z e. U ( log _G ` z ) e. CC )
21	20	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log _G ` z ) e. CC )
22	21	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) e. RR )
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) e. RR )
24	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> R e. RR+ )
25	24	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` R ) e. RR )
26	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> pi e. RR )
27	25, 26	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( log ` R ) + pi ) e. RR )
28	1, 2	lgamgulmlem1 24755	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
30	29	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
31	30	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> z e. CC )
32	30	dmgmn0 24752	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> z =/= 0 )
33	31, 32	logcld 24317	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` z ) e. CC )
34	21, 33	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) e. CC )
35	34	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) e. RR )
36	27, 35	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( ( log ` R ) + pi ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) e. RR )
37	36	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( ( ( log ` R ) + pi ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) e. RR )
38	17	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) e. RR )
39	33	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log ` z ) ) e. RR )
40	39, 35	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log ` z ) ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) e. RR )
41	33	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> -u ( log ` z ) e. CC )
42	21, 41	abs2difd 14196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log _G ` z ) ) - ( abs ` -u ( log ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( log _G ` z ) - -u ( log ` z ) ) ) )
43	33	absnegd 14188	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` -u ( log ` z ) ) = ( abs ` ( log ` z ) ) )
44	43	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log _G ` z ) ) - ( abs ` -u ( log ` z ) ) ) = ( ( abs ` ( log _G ` z ) ) - ( abs ` ( log ` z ) ) ) )
45	21, 33	subnegd 10399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( log _G ` z ) - -u ( log ` z ) ) = ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( ( log _G ` z ) - -u ( log ` z ) ) ) = ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) )
47	42, 44, 46	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log _G ` z ) ) - ( abs ` ( log ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) )
48	22, 39, 35	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( ( abs ` ( log _G ` z ) ) - ( abs ` ( log ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <-> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( log ` z ) ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) ) )
49	47, 48	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( log ` z ) ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )
50	31, 32	absrpcld 14187	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` z ) e. RR+ )
51	50	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( abs ` z ) ) e. RR )
52	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( abs ` z ) ) e. CC )
53	52	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) e. RR )
54	53, 26	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) + pi ) e. RR )
55		abslogle 24364	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ z =/= 0 ) -> ( abs ` ( log ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) + pi ) )
56	31, 32, 55	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log ` z ) ) <_ ( ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) + pi ) )
57		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. RR+
58		relogdiv 24339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. RR+ /\ R e. RR+ ) -> ( log ` ( 1 / R ) ) = ( ( log ` 1 ) - ( log ` R ) ) )
59	57, 24, 58	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( 1 / R ) ) = ( ( log ` 1 ) - ( log ` R ) ) )
60		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u ( log ` R ) = ( 0 - ( log ` R ) )
61		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( log ` 1 ) = 0
62	61	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( log ` 1 ) - ( log ` R ) ) = ( 0 - ( log ` R ) )
63	60, 62	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u ( log ` R ) = ( ( log ` 1 ) - ( log ` R ) )
64	59, 63	syl6reqr 2675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> -u ( log ` R ) = ( log ` ( 1 / R ) ) )
65		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. NN0
66		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( abs ` x ) = ( abs ` z ) )
67	66	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( ( abs ` x ) <_ R <-> ( abs ` z ) <_ R ) )
68		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = z -> ( x + k ) = ( z + k ) )
69	68	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = z -> ( abs ` ( x + k ) ) = ( abs ` ( z + k ) ) )
70	69	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = z -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) ) )
71	70	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) <-> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) ) )
72	67, 71	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) <-> ( ( abs ` z ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) ) ) )
73	72, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. U <-> ( z e. CC /\ ( ( abs ` z ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) ) ) )
74	73	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. U -> ( ( abs ` z ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) ) )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` z ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) ) )
76	75	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) )
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 0 -> ( z + k ) = ( z + 0 ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = 0 -> ( abs ` ( z + k ) ) = ( abs ` ( z + 0 ) ) )
79	78	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = 0 -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) <-> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + 0 ) ) ) )
80	79	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. NN0 -> ( A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + k ) ) -> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + 0 ) ) ) )
81	65, 76, 80	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( z + 0 ) ) )
82	31	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( z + 0 ) = z )
83	82	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( z + 0 ) ) = ( abs ` z ) )
84	81, 83	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( 1 / R ) <_ ( abs ` z ) )
85	24	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( 1 / R ) e. RR+ )
86	85, 50	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( 1 / R ) <_ ( abs ` z ) <-> ( log ` ( 1 / R ) ) <_ ( log ` ( abs ` z ) ) ) )
87	84, 86	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( 1 / R ) ) <_ ( log ` ( abs ` z ) ) )
88	64, 87	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> -u ( log ` R ) <_ ( log ` ( abs ` z ) ) )
89	75	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` z ) <_ R )
90	50, 24	logled 24373	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` z ) <_ R <-> ( log ` ( abs ` z ) ) <_ ( log ` R ) ) )
91	89, 90	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( abs ` z ) ) <_ ( log ` R ) )
92	51, 25	absled 14169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) <_ ( log ` R ) <-> ( -u ( log ` R ) <_ ( log ` ( abs ` z ) ) /\ ( log ` ( abs ` z ) ) <_ ( log ` R ) ) ) )
93	88, 91, 92	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) <_ ( log ` R ) )
94	53, 25, 26, 93	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log ` ( abs ` z ) ) ) + pi ) <_ ( ( log ` R ) + pi ) )
95	39, 54, 27, 56, 94	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log ` z ) ) <_ ( ( log ` R ) + pi ) )
96	39, 27, 35, 95	leadd1dd 10641	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( log ` z ) ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )
97	22, 40, 36, 49, 96	letrd 10194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) )
99	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) e. RR )
100		simpllr 799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> y e. RR )
101	27	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( ( log ` R ) + pi ) e. RR )
102		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y )
103	99, 100, 101, 102	leadd2dd 10642	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( ( ( log ` R ) + pi ) + ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) )
104	23, 37, 38, 98, 103	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) /\ ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) )
105	104	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ z e. U ) -> ( ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y -> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) ) )
106	105	ralimdva 2962	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y -> A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) ) )
107	106	impr 649	. . 3 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) ) -> A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) )
108		breq2 4657	. . . . 5 |- ( r = ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) -> ( ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) ) )
109	108	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( r = ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) -> ( A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) ) )
110	109	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) e. RR /\ A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ ( ( ( log ` R ) + pi ) + y ) ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ r )
111	18, 107, 110	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ A. z e. U ( abs ` ( ( log _G ` z ) + ( log ` z ) ) ) <_ y ) ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ r )
112	9, 111	rexlimddv 3035	1 |- ( ph -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` ( log _G ` z ) ) <_ r )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   picpi 14797   ~~> uculm 24130   logclog 24301   log _Gclgam 24742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304  df-lgam 24745

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