Theorem itgsin0pilem1 40165

Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
itgsin0pilem1.1	|- C = ( t e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` t ) )

Assertion

Ref	Expression
itgsin0pilem1	|- S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` x ) _d x = 2

Distinct variable groups:   x, t   x, C

Allowed substitution hint:   C( t)

Proof of Theorem itgsin0pilem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgsin0pilem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( t e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` t ) )
2		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = x -> ( cos ` t ) = ( cos ` x ) )
3	2	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = x -> -u ( cos ` t ) = -u ( cos ` x ) )
4	3	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` t ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) )
5	1, 4	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- C = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) )
6	5	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D C ) = ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) )
7		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . 12 |- RR C_ CC
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> RR C_ CC )
9		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
10		pire 24210	. . . . . . . . . . . . 13 |- pi e. RR
11		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
12	9, 10, 11	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,] pi ) C_ RR
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( 0 [,] pi ) C_ RR )
14	12, 7	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 [,] pi ) C_ CC
15	14	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> x e. CC )
16	15	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( cos ` x ) e. CC )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( cos ` x ) e. CC )
18	17	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
20	19	tgioo2 22606	. . . . . . . . . . 11 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
21		iccntr 22624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
22	9, 10, 21	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi )
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] pi ) ) = ( 0 (,) pi ) )
24	8, 13, 18, 20, 19, 23	dvmptntr 23734	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) )
25	24	trud 1493	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( RR _D ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) )
26		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . . 12 |- RR e. { RR , CC }
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
28		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> x e. CC )
29	28	coscld 14861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> ( cos ` x ) e. CC )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( cos ` x ) e. CC )
31	30	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
32	28	sincld 14860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR -> ( sin ` x ) e. CC )
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( sin ` x ) e. CC )
34	32	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> -u ( sin ` x ) e. CC )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> -u ( sin ` x ) e. CC )
36		dvcosre 40126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) )
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( sin ` x ) ) )
38	27, 30, 35, 37	dvmptneg 23729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) )
39	32	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> -u -u ( sin ` x ) = ( sin ` x ) )
40	39	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR |-> -u -u ( sin ` x ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) )
41	38, 40	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> ( sin ` x ) ) )
42		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,) pi ) C_ RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( 0 (,) pi ) C_ RR )
44		iooretop 22569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,) pi ) e. ( topGen ` ran (,) )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( 0 (,) pi ) e. ( topGen ` ran (,) ) )
46	27, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45	dvmptres 23726	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) )
47	46	trud 1493	. . . . . . . . 9 |- ( RR _D ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) )
48	6, 25, 47	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 |- ( RR _D C ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) )
49	48	fveq1i 6192	. . . . . . 7 |- ( ( RR _D C ) ` x ) = ( ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) ` x )
50	42, 7	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 (,) pi ) C_ CC
51	50	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> x e. CC )
52	51	sincld 14860	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
53		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) = ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) )
54	53	fvmpt2 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 (,) pi ) /\ ( sin ` x ) e. CC ) -> ( ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) ` x ) = ( sin ` x ) )
55	52, 54	mpdan 702	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) ` x ) = ( sin ` x ) )
56	49, 55	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 (,) pi ) -> ( ( RR _D C ) ` x ) = ( sin ` x ) )
57	56	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 (,) pi ) ) -> ( ( RR _D C ) ` x ) = ( sin ` x ) )
58	57	itgeq2dv 23548	. . . 4 |- ( T. -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR _D C ) ` x ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` x ) _d x )
59	58	trud 1493	. . 3 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR _D C ) ` x ) _d x = S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` x ) _d x
60	9	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 0 e. RR )
61	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> pi e. RR )
62		pipos 24212	. . . . . . 7 |- 0 < pi
63	9, 10, 62	ltleii 10160	. . . . . 6 |- 0 <_ pi
64	63	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> 0 <_ pi )
65		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ x sin
66		sincn 24198	. . . . . . . 8 |- sin e. ( CC -cn-> CC )
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> sin e. ( CC -cn-> CC ) )
68	50	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( 0 (,) pi ) C_ CC )
69	65, 67, 68	cncfmptss 39819	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
70	48, 69	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( T. -> ( RR _D C ) e. ( ( 0 (,) pi ) -cn-> CC ) )
71		ioossicc 12259	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi )
72	71	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( 0 (,) pi ) C_ ( 0 [,] pi ) )
73		ioombl 23333	. . . . . . . 8 |- ( 0 (,) pi ) e. dom vol
74	73	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( 0 (,) pi ) e. dom vol )
75	15	sincld 14860	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( sin ` x ) e. CC )
76	75	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ x e. ( 0 [,] pi ) ) -> ( sin ` x ) e. CC )
77	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( 0 [,] pi ) C_ CC )
78	65, 67, 77	cncfmptss 39819	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
79	78	trud 1493	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
80		cniccibl 23607	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ pi e. RR /\ ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. L^1 )
81	9, 10, 79, 80	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. L^1
82	81	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. L^1 )
83	72, 74, 76, 82	iblss 23571	. . . . . 6 |- ( T. -> ( x e. ( 0 (,) pi ) |-> ( sin ` x ) ) e. L^1 )
84	48, 83	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( T. -> ( RR _D C ) e. L^1 )
85	16	negcld 10379	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) e. CC )
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
87	86	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ -u ( cos ` x ) e. CC ) -> ( ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) ` x ) = -u ( cos ` x ) )
88	15, 85, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> ( ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) ` x ) = -u ( cos ` x ) )
89	88	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) -> -u ( cos ` x ) = ( ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) ` x ) )
90	89	mpteq2ia 4740	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) = ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) ` x ) )
91		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) )
92		coscn 24199	. . . . . . . . . . . 12 |- cos e. ( CC -cn-> CC )
93	86	negfcncf 22722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( cos e. ( CC -cn-> CC ) -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC )
95	94	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
96	91, 95, 77	cncfmptss 39819	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
97	96	trud 1493	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> ( ( x e. CC |-> -u ( cos ` x ) ) ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
98	90, 97	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,] pi ) |-> -u ( cos ` x ) ) e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
99	5, 98	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- C e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC )
100	99	a1i 11	. . . . 5 |- ( T. -> C e. ( ( 0 [,] pi ) -cn-> CC ) )
101	60, 61, 64, 70, 84, 100	ftc2 23807	. . . 4 |- ( T. -> S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR _D C ) ` x ) _d x = ( ( C ` pi ) - ( C ` 0 ) ) )
102	101	trud 1493	. . 3 |- S. ( 0 (,) pi ) ( ( RR _D C ) ` x ) _d x = ( ( C ` pi ) - ( C ` 0 ) )
103	59, 102	eqtr3i 2646	. 2 |- S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` x ) _d x = ( ( C ` pi ) - ( C ` 0 ) )
104		0xr 10086	. . . . 5 |- 0 e. RR*
105	10	rexri 10097	. . . . 5 |- pi e. RR*
106		ubicc2 12289	. . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> pi e. ( 0 [,] pi ) )
107	104, 105, 63, 106	mp3an 1424	. . . 4 |- pi e. ( 0 [,] pi )
108		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( t = pi -> ( cos ` t ) = ( cos ` pi ) )
109		cospi 24224	. . . . . . . 8 |- ( cos ` pi ) = -u 1
110	108, 109	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( t = pi -> ( cos ` t ) = -u 1 )
111	110	negeqd 10275	. . . . . 6 |- ( t = pi -> -u ( cos ` t ) = -u -u 1 )
112		ax-1cn 9994	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
113	112	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( t = pi -> 1 e. CC )
114	113	negnegd 10383	. . . . . 6 |- ( t = pi -> -u -u 1 = 1 )
115	111, 114	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( t = pi -> -u ( cos ` t ) = 1 )
116		1ex 10035	. . . . 5 |- 1 e. _V
117	115, 1, 116	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( pi e. ( 0 [,] pi ) -> ( C ` pi ) = 1 )
118	107, 117	ax-mp 5	. . 3 |- ( C ` pi ) = 1
119		lbicc2 12288	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ 0 <_ pi ) -> 0 e. ( 0 [,] pi ) )
120	104, 105, 63, 119	mp3an 1424	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] pi )
121		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( t = 0 -> ( cos ` t ) = ( cos ` 0 ) )
122	121	negeqd 10275	. . . . . 6 |- ( t = 0 -> -u ( cos ` t ) = -u ( cos ` 0 ) )
123		negex 10279	. . . . . 6 |- -u ( cos ` 0 ) e. _V
124	122, 1, 123	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0 [,] pi ) -> ( C ` 0 ) = -u ( cos ` 0 ) )
125	120, 124	ax-mp 5	. . . 4 |- ( C ` 0 ) = -u ( cos ` 0 )
126		cos0 14880	. . . . 5 |- ( cos ` 0 ) = 1
127	126	negeqi 10274	. . . 4 |- -u ( cos ` 0 ) = -u 1
128	125, 127	eqtri 2644	. . 3 |- ( C ` 0 ) = -u 1
129	118, 128	oveq12i 6662	. 2 |- ( ( C ` pi ) - ( C ` 0 ) ) = ( 1 - -u 1 )
130	112, 112	subnegi 10360	. . 3 |- ( 1 - -u 1 ) = ( 1 + 1 )
131		1p1e2 11134	. . 3 |- ( 1 + 1 ) = 2
132	130, 131	eqtri 2644	. 2 |- ( 1 - -u 1 ) = 2
133	103, 129, 132	3eqtri 2648	1 |- S. ( 0 (,) pi ) ( sin ` x ) _d x = 2

Syntax hints:   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  itgsin0pi  40167