Theorem dchrhash 24996

Description: There are exactly phi ( N ) Dirichlet characters modulo N. Part of Theorem 6.5.1 of [Shapiro] p. 230. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumdchr.g	|- G = (DChr ` N )
sumdchr.d	|- D = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
dchrhash	|- ( N e. NN -> ( # ` D ) = ( phi ` N ) )

Proof of Theorem dchrhash

Dummy variables x a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . . 6 |- (ℤ/nℤ ` N ) = (ℤ/nℤ ` N )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) = ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) )
3	1, 2	znfi 19908	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) e. Fin )
4		sumdchr.g	. . . . . 6 |- G = (DChr ` N )
5		sumdchr.d	. . . . . 6 |- D = ( Base ` G )
6	4, 5	dchrfi 24980	. . . . 5 |- ( N e. NN -> D e. Fin )
7		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) /\ x e. D ) ) -> x e. D )
8	4, 1, 5, 2, 7	dchrf 24967	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) /\ x e. D ) ) -> x : ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) --> CC )
9		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) /\ x e. D ) ) -> a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) )
10	8, 9	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) /\ x e. D ) ) -> ( x ` a ) e. CC )
11	3, 6, 10	fsumcom 14507	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) sum_ x e. D ( x ` a ) = sum_ x e. D sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ( x ` a ) )
12		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) )
13		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ) -> N e. NN )
14		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ) -> a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) )
15	4, 5, 1, 12, 2, 13, 14	sumdchr2 24995	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ) -> sum_ x e. D ( x ` a ) = if ( a = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) , ( # ` D ) , 0 ) )
16		velsn 4193	. . . . . . 7 |- ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } <-> a = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) )
17		ifbi 4107	. . . . . . 7 |- ( ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } <-> a = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ) -> if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) = if ( a = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) , ( # ` D ) , 0 ) )
18	16, 17	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ) -> if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) = if ( a = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) , ( # ` D ) , 0 ) )
19	15, 18	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ) -> sum_ x e. D ( x ` a ) = if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) )
20	19	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) sum_ x e. D ( x ` a ) = sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) )
21		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
22		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ x e. D ) -> x e. D )
23	4, 1, 5, 21, 22, 2	dchrsum 24994	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. D ) -> sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ( x ` a ) = if ( x = ( 0g ` G ) , ( phi ` N ) , 0 ) )
24		velsn 4193	. . . . . . 7 |- ( x e. { ( 0g ` G ) } <-> x = ( 0g ` G ) )
25		ifbi 4107	. . . . . . 7 |- ( ( x e. { ( 0g ` G ) } <-> x = ( 0g ` G ) ) -> if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) = if ( x = ( 0g ` G ) , ( phi ` N ) , 0 ) )
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ x e. D ) -> if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) = if ( x = ( 0g ` G ) , ( phi ` N ) , 0 ) )
27	23, 26	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ x e. D ) -> sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ( x ` a ) = if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) )
28	27	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ x e. D sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) ( x ` a ) = sum_ x e. D if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) )
29	11, 20, 28	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) = sum_ x e. D if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) )
30		nnnn0 11299	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
31	1	zncrng 19893	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> (ℤ/nℤ ` N ) e. CRing )
32		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( (ℤ/nℤ ` N ) e. CRing -> (ℤ/nℤ ` N ) e. Ring )
33	2, 12	ringidcl 18568	. . . . . 6 |- ( (ℤ/nℤ ` N ) e. Ring -> ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) )
34	30, 31, 32, 33	4syl 19	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) )
35	34	snssd 4340	. . . 4 |- ( N e. NN -> { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } C_ ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) )
36		hashcl 13147	. . . . . 6 |- ( D e. Fin -> ( # ` D ) e. NN0 )
37		nn0cn 11302	. . . . . 6 |- ( ( # ` D ) e. NN0 -> ( # ` D ) e. CC )
38	6, 36, 37	3syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( # ` D ) e. CC )
39	38	ralrimivw 2967	. . . 4 |- ( N e. NN -> A. a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) e. CC )
40	3	olcd 408	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) e. Fin ) )
41		sumss2 14457	. . . 4 |- ( ( ( { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } C_ ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) /\ A. a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) e. CC ) /\ ( ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) e. Fin ) ) -> sum_ a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) = sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) )
42	35, 39, 40, 41	syl21anc 1325	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) = sum_ a e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) if ( a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } , ( # ` D ) , 0 ) )
43	4	dchrabl 24979	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> G e. Abel )
44		ablgrp 18198	. . . . . 6 |- ( G e. Abel -> G e. Grp )
45	5, 21	grpidcl 17450	. . . . . 6 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. D )
46	43, 44, 45	3syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 0g ` G ) e. D )
47	46	snssd 4340	. . . 4 |- ( N e. NN -> { ( 0g ` G ) } C_ D )
48		phicl 15474	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. NN )
49	48	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) e. CC )
50	49	ralrimivw 2967	. . . 4 |- ( N e. NN -> A. x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) e. CC )
51	6	olcd 408	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( D C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ D e. Fin ) )
52		sumss2 14457	. . . 4 |- ( ( ( { ( 0g ` G ) } C_ D /\ A. x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) e. CC ) /\ ( D C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ D e. Fin ) ) -> sum_ x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) = sum_ x e. D if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) )
53	47, 50, 51, 52	syl21anc 1325	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) = sum_ x e. D if ( x e. { ( 0g ` G ) } , ( phi ` N ) , 0 ) )
54	29, 42, 53	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) = sum_ x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) )
55		eqidd 2623	. . . 4 |- ( a = ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) -> ( # ` D ) = ( # ` D ) )
56	55	sumsn 14475	. . 3 |- ( ( ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) e. ( Base ` (ℤ/nℤ ` N ) ) /\ ( # ` D ) e. CC ) -> sum_ a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) = ( # ` D ) )
57	34, 38, 56	syl2anc 693	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ a e. { ( 1r ` (ℤ/nℤ ` N ) ) } ( # ` D ) = ( # ` D ) )
58		eqidd 2623	. . . 4 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( phi ` N ) = ( phi ` N ) )
59	58	sumsn 14475	. . 3 |- ( ( ( 0g ` G ) e. D /\ ( phi ` N ) e. CC ) -> sum_ x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) = ( phi ` N ) )
60	46, 49, 59	syl2anc 693	. 2 |- ( N e. NN -> sum_ x e. { ( 0g ` G ) } ( phi ` N ) = ( phi ` N ) )
61	54, 57, 60	3eqtr3d 2664	1 |- ( N e. NN -> ( # ` D ) = ( phi ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   ` cfv 5888   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   #chash 13117   sum_csu 14416   phicphi 15469   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   Abelcabl 18194   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-ga 17723  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-od 17948  df-gex 17949  df-pgp 17950  df-lsm 18051  df-pj1 18052  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-cyg 18280  df-dprd 18394  df-dpj 18395  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ply 23944  df-idp 23945  df-coe 23946  df-dgr 23947  df-quot 24046  df-log 24303  df-cxp 24304  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  sumdchr  24997