Theorem perfectlem2 24955

Description: Lemma for perfect 24956. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 17-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
perfectlem.1	|- ( ph -> A e. NN )
perfectlem.2	|- ( ph -> B e. NN )
perfectlem.3	|- ( ph -> -. 2 || B )
perfectlem.4	|- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
perfectlem2	|- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Proof of Theorem perfectlem2

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perfectlem.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. NN )
2		1red 10055	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
3		perfectlem.1	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. NN )
4		perfectlem.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. 2 || B )
5		perfectlem.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
6	3, 1, 4, 5	perfectlem1 24954	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN /\ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN ) )
7	6	simp3d 1075	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN )
8	7	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. RR )
9	1	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
10	7	nnge1d 11063	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
11		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
12		exp1 12866	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 1 ) = 2
14		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
15	13, 14	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 1 ) = ( 1 + 1 )
16		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 2 e. RR )
18		1zzd 11408	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
19	3	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. NN )
20	19	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A + 1 ) e. ZZ )
21		1lt2 11194	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < 2 )
23		1re 10039	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
24	3	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR+ )
25		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. RR /\ A e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + A ) )
26	23, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 < ( 1 + A ) )
27		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
28	3	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
29		addcom 10222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ A e. CC ) -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
30	27, 28, 29	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + A ) = ( A + 1 ) )
31	26, 30	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 < ( A + 1 ) )
32		ltexp2a 12912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 e. RR /\ 1 e. ZZ /\ ( A + 1 ) e. ZZ ) /\ ( 1 < 2 /\ 1 < ( A + 1 ) ) ) -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
33	17, 18, 20, 22, 31, 32	syl32anc 1334	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
34	15, 33	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
35	6	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. NN )
36	35	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR )
37	2, 2, 36	ltaddsubd 10627	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
38	34, 37	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
39		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < 1 )
41		peano2rem 10348	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
42	36, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR )
43		expgt1 12898	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( A + 1 ) e. NN /\ 1 < 2 ) -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
44	17, 19, 22, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) )
45		posdif 10521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. RR ) -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
46	23, 36, 45	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < ( 2 ^ ( A + 1 ) ) <-> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
47	44, 46	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
48	1	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < B )
49		ltdiv2 10909	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 1 e. RR /\ 0 < 1 ) /\ ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. RR /\ 0 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) ) -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
50	2, 40, 42, 47, 9, 48, 49	syl222anc 1342	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 < ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) ) )
51	38, 50	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < ( B / 1 ) )
52	1	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
53	52	div1d 10793	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B / 1 ) = B )
54	51, 53	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) < B )
55	2, 8, 9, 10, 54	lelttrd 10195	. . . 4 |- ( ph -> 1 < B )
56		eluz2b2 11761	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( B e. NN /\ 1 < B ) )
57	1, 55, 56	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
58		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 ... B ) e. Fin )
59		dvdsssfz1 15040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. NN -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
60	1, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) )
61		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... B ) e. Fin /\ { x e. NN | x || B } C_ ( 1 ... B ) ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
62	58, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
63	62	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } e. Fin )
64		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . 13 |- { x e. NN | x || B } C_ NN
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { x e. NN | x || B } C_ NN )
66	65	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
67	66	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
68	66	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
69	68	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
70		df-tp 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } )
71		prssi 4353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ B e. NN ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
72	7, 1, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
73	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } C_ NN )
74		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. NN )
75	74	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { n } C_ NN )
76	73, 75	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) C_ NN )
77	70, 76	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ NN )
78		eltpi 4229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) )
79	6	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. NN )
80	79	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ )
81	7	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ )
82		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. ZZ /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. ZZ ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
83	80, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
84	79	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) e. CC )
85	79	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) =/= 0 )
86	52, 84, 85	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = B )
87	83, 86	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B )
88		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( x || B <-> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) || B ) )
89	87, 88	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
90	89	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> x || B ) )
91	1	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> B e. ZZ )
92		iddvds 14995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B e. ZZ -> B || B )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B || B )
94		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = B -> ( x || B <-> B || B ) )
95	93, 94	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( x = B -> x || B ) )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = B -> x || B ) )
97		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n || B )
98		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = n -> ( x || B <-> n || B ) )
99	97, 98	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x = n -> x || B ) )
100	90, 96, 99	3jaod 1392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = n ) -> x || B ) )
101	78, 100	syl5 34	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } -> x || B ) )
102	101	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> x || B )
103	77, 102	ssrabdv 3681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } C_ { x e. NN | x || B } )
104	63, 67, 69, 103	fsumless 14528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
105		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
106		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) <-> -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
107	105, 106	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { n } ) = (/) )
108	70	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { n } ) )
109		tpfi 8236	. . . . . . . . . . . 12 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } e. Fin )
111	77	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. NN )
112	111	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } ) -> k e. CC )
113	107, 108, 110, 112	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) )
114	7	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC )
115		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
116	115	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. NN /\ ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
117	7, 114, 116	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
118		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = B -> k = B )
119	118	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. NN /\ B e. CC ) -> sum_ k e. { B } k = B )
120	1, 52, 119	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ k e. { B } k = B )
121	117, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
122		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } )
123	8, 54	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
124		disjsn2 4247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
125	123, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( { B } i^i { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } ) = (/) )
126	122, 125	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } i^i { B } ) = (/) )
127		df-pr 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } )
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } u. { B } ) )
129		prfi 8235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin
130	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } e. Fin )
131	72	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. NN )
132	131	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> k e. CC )
133	126, 128, 130, 132	fsumsplit 14471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) } k + sum_ k e. { B } k ) )
134	84, 52	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) e. CC )
135	52, 134, 84, 85	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
136	35	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) e. CC )
137		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
138	136, 137, 52	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) )
139	52	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( 1 x. B ) = B )
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - ( 1 x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
141	138, 140	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) )
142	141	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) )
143	136, 52	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) e. CC )
144	52, 143	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) - B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
145	142, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) )
146	145	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
147	136, 52, 84, 85	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
148	146, 147	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B + ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
149	52, 84, 85	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = B )
150	149	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
151	135, 148, 150	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) + B ) )
152	121, 133, 151	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
153	152	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
154	74	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. CC )
155		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> k = n )
156	155	sumsn 14475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. CC /\ n e. CC ) -> sum_ k e. { n } k = n )
157	154, 154, 156	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { n } k = n )
158	153, 157	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { n } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
159	113, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , n } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
160	3	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. NN0 )
161		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. CC /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
162	11, 160, 161	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) )
163		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN
164		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. NN /\ A e. NN0 ) -> ( 2 ^ A ) e. NN )
165	163, 160, 164	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. NN )
166	165	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 ^ A ) e. CC )
167		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 ^ A ) e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
168	166, 11, 167	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) x. 2 ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
169	162, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 ^ ( A + 1 ) ) = ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) )
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) )
171		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 2 e. CC )
172	171, 166, 52	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 2 ^ A ) ) x. B ) = ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) )
173		2prm 15405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. Prime
174		coprm 15423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. Prime /\ B e. ZZ ) -> ( -. 2 || B <-> ( 2 gcd B ) = 1 ) )
175	173, 91, 174	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( -. 2 || B <-> ( 2 gcd B ) = 1 ) )
176	4, 175	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 gcd B ) = 1 )
177		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ZZ
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
179		rpexp1i 15433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A e. NN0 ) -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
180	178, 91, 160, 179	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( 2 gcd B ) = 1 -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) )
181	176, 180	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 )
182		sgmmul 24926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 e. CC /\ ( ( 2 ^ A ) e. NN /\ B e. NN /\ ( ( 2 ^ A ) gcd B ) = 1 ) ) -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
183	137, 165, 1, 181, 182	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 sigma ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) )
184		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
185	28, 27, 184	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( A + 1 ) - 1 ) = A )
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) = ( 2 ^ A ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) )
188		1sgm2ppw 24925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A + 1 ) e. NN -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
189	19, 188	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ ( ( A + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
190	187, 189	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
191	190	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 sigma ( 2 ^ A ) ) x. ( 1 sigma B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
192	183, 5, 191	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( 2 ^ A ) x. B ) ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
193	170, 172, 192	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) )
194	193	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. B ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
195		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. NN0
196		sgmnncl 24873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) e. NN )
197	195, 1, 196	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. NN )
198	197	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) e. CC )
199	198, 84, 85	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) x. ( 1 sigma B ) ) / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = ( 1 sigma B ) )
200	194, 147, 199	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) = ( 1 sigma B ) )
201		sgmval 24868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ B e. NN ) -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
202	27, 1, 201	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 sigma B ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) )
203		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. { x e. NN | x || B } )
204	64, 203	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN )
205	204	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. CC )
206	205	cxp1d 24452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> ( k ^c 1 ) = k )
207	206	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } ( k ^c 1 ) = sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
208	200, 202, 207	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
209	208	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
210	104, 159, 209	3brtr3d 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
211	36, 8	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
212	211	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR )
213	74	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR+ )
214	212, 213	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) )
215	74	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> n e. RR )
216	212, 215	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) e. RR )
217	212, 216	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
218	214, 217	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) /\ -. n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } ) -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + n ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
219	210, 218	condan 835	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
220		elpri 4197	. . . . . . 7 |- ( n e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
221	219, 220	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ n || B ) ) -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) )
222	221	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
223	222	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
224	2, 55	gtned 10172	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B =/= 1 )
225	224	necomd 2849	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 =/= B )
226		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. NN
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. NN )
228		1dvds 14996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ZZ -> 1 || B )
229	91, 228	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 || B )
230		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( n || B <-> 1 || B ) )
231		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) <-> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
232		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = 1 -> ( n = B <-> 1 = B ) )
233	231, 232	orbi12d 746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = 1 -> ( ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) <-> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) )
234	230, 233	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) <-> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
235	234	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) -> ( 1 || B -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) ) ) )
236	227, 223, 229, 235	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ 1 = B ) )
237	236	ord 392	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( -. 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 = B ) )
238	237	necon1ad 2811	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 =/= B -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
239	225, 238	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
240	239	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n = 1 <-> n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
241	240	orbi1d 739	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( n = 1 \/ n = B ) <-> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) )
242	241	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
243	242	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( ph -> ( A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) <-> A. n e. NN ( n || B -> ( n = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ n = B ) ) ) )
244	223, 243	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) )
245		isprm2 15395	. . 3 |- ( B e. Prime <-> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. n e. NN ( n || B -> ( n = 1 \/ n = B ) ) ) )
246	57, 244, 245	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> B e. Prime )
247	211	ltp1d 10954	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
248		peano2re 10209	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) e. RR -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
249	211, 248	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) e. RR )
250	211, 249	ltnled 10184	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) < ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <-> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
251	247, 250	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
252	204	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. RR )
253	204	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> k e. NN0 )
254	253	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || B } ) -> 0 <_ k )
255		df-tp 4182	. . . . . . . . . 10 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } )
256		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 e. NN -> { 1 } C_ NN )
257	226, 256	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { 1 } C_ NN )
258	72, 257	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) C_ NN )
259	255, 258	syl5eqss 3649	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
260		eltpi 4229	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) )
261		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 1 -> ( x || B <-> 1 || B ) )
262	229, 261	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x = 1 -> x || B ) )
263	89, 95, 262	3jaod 1392	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( x = ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) \/ x = B \/ x = 1 ) -> x || B ) )
264	260, 263	syl5 34	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } -> x || B ) )
265	264	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> x || B )
266	259, 265	ssrabdv 3681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ { x e. NN | x || B } )
267	62, 252, 254, 266	fsumless 14528	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
268	267	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k <_ sum_ k e. { x e. NN | x || B } k )
269	52, 84, 85	diveq1ad 10810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) = 1 <-> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
270	269	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 <-> B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
271	270	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) =/= 1 )
272	271	necomd 2849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
273	225	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> 1 =/= B )
274	272, 273	nelprd 4203	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
275		disjsn 4246	. . . . . . . . 9 |- ( ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) <-> -. 1 e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } )
276	274, 275	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } i^i { 1 } ) = (/) )
277	255	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } = ( { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } u. { 1 } ) )
278		tpfi 8236	. . . . . . . . 9 |- { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin
279	278	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } e. Fin )
280	259	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } C_ NN )
281	280	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. NN )
282	281	nncnd 11036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) /\ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } ) -> k e. CC )
283	276, 277, 279, 282	fsumsplit 14471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) )
284		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> k = 1 )
285	284	sumsn 14475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ 1 e. CC ) -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
286	2, 27, 285	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. { 1 } k = 1 )
287	152, 286	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
288	287	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B } k + sum_ k e. { 1 } k ) = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
289	283, 288	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) , B , 1 } k = ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) )
290	208	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || B } k = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
291	268, 289, 290	3brtr3d 4684	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) )
292	291	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( B =/= ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) ) )
293	292	necon1bd 2812	. . 3 |- ( ph -> ( -. ( ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) + 1 ) <_ ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) x. ( B / ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) ) -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )
294	251, 293	mpd 15	. 2 |- ( ph -> B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) )
295	246, 294	jca 554	1 |- ( ph -> ( B e. Prime /\ B = ( ( 2 ^ ( A + 1 ) ) - 1 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   ^c ccxp 24302   sigma csgm 24822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-sgm 24828

This theorem is referenced by:  perfect  24956