Theorem fdvposlt 30677

Description: Functions with a positive derivative, i.e. monotonously growing functions, preserve strict ordering. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fdvposlt.d	|- E = ( C (,) D )
fdvposlt.a	|- ( ph -> A e. E )
fdvposlt.b	|- ( ph -> B e. E )
fdvposlt.f	|- ( ph -> F : E --> RR )
fdvposlt.c	|- ( ph -> ( RR _D F ) e. ( E -cn-> RR ) )
fdvposlt.lt	|- ( ph -> A < B )
fdvposlt.1	|- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> 0 < ( ( RR _D F ) ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
fdvposlt	|- ( ph -> ( F ` A ) < ( F ` B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, E   x, F   ph, x

Allowed substitution hints:   C( x)   D( x)

Proof of Theorem fdvposlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdvposlt.lt	. . . . . 6 |- ( ph -> A < B )
2		fdvposlt.d	. . . . . . . . 9 |- E = ( C (,) D )
3		ioossre 12235	. . . . . . . . 9 |- ( C (,) D ) C_ RR
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- E C_ RR
5		fdvposlt.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. E )
6	4, 5	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. RR )
7		fdvposlt.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. E )
8	4, 7	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
9	6, 8	posdifd 10614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
10	1, 9	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
11	6, 8, 1	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> A <_ B )
12		volioo 23337	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )
13	6, 8, 11, 12	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) = ( B - A ) )
14	10, 13	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> 0 < ( vol ` ( A (,) B ) ) )
15		ioossicc 12259	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
17		ioombl 23333	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) e. dom vol
18	17	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
19		fdvposlt.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( RR _D F ) e. ( E -cn-> RR ) )
20		cncff 22696	. . . . . . . 8 |- ( ( RR _D F ) e. ( E -cn-> RR ) -> ( RR _D F ) : E --> RR )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D F ) : E --> RR )
22	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( RR _D F ) : E --> RR )
23	2, 5, 7	fct2relem 30675	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ E )
24	23	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. E )
25	22, 24	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
26		ax-resscn 9993	. . . . . . . 8 |- RR C_ CC
27		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- CC C_ CC
28		cncfss 22702	. . . . . . . 8 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) C_ ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
29	26, 27, 28	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) C_ ( ( A [,] B ) -cn-> CC )
30	21, 23	feqresmpt 6250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) = ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
31		rescncf 22700	. . . . . . . . 9 |- ( ( A [,] B ) C_ E -> ( ( RR _D F ) e. ( E -cn-> RR ) -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) ) )
32	23, 19, 31	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( RR _D F ) |` ( A [,] B ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
33	30, 32	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
34	29, 33	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
35		cniccibl 23607	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. L^1 )
36	6, 8, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. ( A [,] B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. L^1 )
37	16, 18, 25, 36	iblss 23571	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( A (,) B ) |-> ( ( RR _D F ) ` x ) ) e. L^1 )
38	21	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( RR _D F ) : E --> RR )
39	16	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
40	39, 24	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> x e. E )
41	38, 40	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR )
42		fdvposlt.1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> 0 < ( ( RR _D F ) ` x ) )
43		elrp 11834	. . . . 5 |- ( ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR+ <-> ( ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR /\ 0 < ( ( RR _D F ) ` x ) ) )
44	41, 42, 43	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D F ) ` x ) e. RR+ )
45	14, 37, 44	itggt0 23608	. . 3 |- ( ph -> 0 < S. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) _d x )
46		fdvposlt.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : E --> RR )
47		fss 6056	. . . . 5 |- ( ( F : E --> RR /\ RR C_ CC ) -> F : E --> CC )
48	46, 26, 47	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> F : E --> CC )
49		cncfss 22702	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( E -cn-> RR ) C_ ( E -cn-> CC ) )
50	26, 27, 49	mp2an 708	. . . . 5 |- ( E -cn-> RR ) C_ ( E -cn-> CC )
51	50, 19	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D F ) e. ( E -cn-> CC ) )
52	2, 5, 7, 11, 48, 51	ftc2re 30676	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( RR _D F ) ` x ) _d x = ( ( F ` B ) - ( F ` A ) ) )
53	45, 52	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` B ) - ( F ` A ) ) )
54	46, 5	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) e. RR )
55	46, 7	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( F ` B ) e. RR )
56	54, 55	posdifd 10614	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` A ) < ( F ` B ) <-> 0 < ( ( F ` B ) - ( F ` A ) ) ) )
57	53, 56	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( F ` A ) < ( F ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   -cn->ccncf 22679   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fdvneggt  30678