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Theorem itgsubst 23812
Description: Integration by u-substitution. If A ( x ) is a continuous, differentiable function from [ X , Y ] to ( Z , W ), whose derivative is continuous and integrable, and C ( u ) is a continuous function on ( Z , W ), then the integral of C ( u ) from K = A ( X ) to L = A ( Y ) is equal to the integral of C ( A ( x ) ) _D A ( x ) from X to Y. In this part of the proof we discharge the assumptions in itgsubstlem 23811, which use the fact that ( Z , W ) is open to shrink the interval a little to ( M , N ) where Z < M < N < W- this is possible because A ( x ) is a continuous function on a closed interval, so its range is in fact a closed interval, and we have some wiggle room on the edges. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsubst.x |- ( ph -> X e. RR )
itgsubst.y |- ( ph -> Y e. RR )
itgsubst.le |- ( ph -> X <_ Y )
itgsubst.z |- ( ph -> Z e. RR* )
itgsubst.w |- ( ph -> W e. RR* )
itgsubst.a |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
itgsubst.b |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
itgsubst.c |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
itgsubst.da |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
itgsubst.e |- ( u = A -> C = E )
itgsubst.k |- ( x = X -> A = K )
itgsubst.l |- ( x = Y -> A = L )
Assertion
Ref Expression
itgsubst |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Distinct variable groups:   u, E   x, u, K   ph, u, x   u, X, x   u, Y, x   u, A   x, C   u, W, x   u, L, x   u, Z, x
Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, u)   C( u)   E( x)
Proof of Theorem itgsubst
Dummy variables m n y z v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsubst.x . . 3 |- ( ph -> X e. RR )
2 itgsubst.y . . 3 |- ( ph -> Y e. RR )
3 itgsubst.le . . 3 |- ( ph -> X <_ Y )
4 ioossre 12235 . . . . 5 |- ( Z (,) W ) C_ RR
5 ax-resscn 9993 . . . . 5 |- RR C_ CC
6 cncfss 22702 . . . . 5 |- ( ( ( Z (,) W ) C_ RR /\ RR C_ CC ) -> ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
74, 5, 6mp2an 708 . . . 4 |- ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) C_ ( ( X [,] Y ) -cn-> RR )
8 itgsubst.a . . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
97, 8sseldi 3601 . . 3 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> RR ) )
101, 2, 3, 9evthicc 23228 . 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11 ressxr 10083 . . . . . . . 8 |- RR C_ RR*
124, 11sstri 3612 . . . . . . 7 |- ( Z (,) W ) C_ RR*
13 cncff 22696 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
148, 13syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
1514adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
16 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
1715, 16ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
1812, 17sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
19 itgsubst.w . . . . . . 7 |- ( ph -> W e. RR* )
2019adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> W e. RR* )
21 eliooord 12233 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2217, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
2322simprd 479 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
24 qbtwnxr 12031 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ W e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
2518, 20, 23, 24syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) )
26 qre 11793 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. QQ -> n e. RR )
2726ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
28 itgsubst.z . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Z e. RR* )
2928ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z e. RR* )
3018adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
3127rexrd 10089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR* )
3222simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
34 simprrl 804 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
3529, 30, 31, 33, 34xrlttrd 11990 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> Z < n )
36 simprrr 805 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n < W )
3719ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> W e. RR* )
38 elioo2 12216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
3929, 37, 38syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) <-> ( n e. RR /\ Z < n /\ n < W ) ) )
4027, 35, 36, 39mpbir3and 1245 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
41 anass 681 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) )
42 simprrl 804 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4342adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n )
4414ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
4544ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
4612, 45sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
47 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
4844, 47ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
4912, 48sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5049adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
5126ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> n e. RR )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR )
5352rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
54 xrlelttr 11987 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5546, 50, 53, 54syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5643, 55mpan2d 710 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5756ralimdva 2962 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
5857imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
5958an32s 846 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6041, 59sylanbr 490 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6140, 60jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) /\ ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6261ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( ( n e. QQ /\ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) ) -> ( n e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
6362reximdv2 3014 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( E. n e. QQ ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < n /\ n < W ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6425, 63mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n )
6564rexlimdvaa 3032 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) -> E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
6628adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z e. RR* )
6714adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
68 simprl 794 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
6967, 68ffvelrnd 6360 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
7012, 69sseldi 3601 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
7169, 21syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W ) )
7271simpld 475 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
73 qbtwnxr 12031 . . . . . 6 |- ( ( Z e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ Z < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
7466, 70, 72, 73syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) )
75 qre 11793 . . . . . . . . . 10 |- ( m e. QQ -> m e. RR )
7675ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
77 simprrl 804 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z < m )
7876rexrd 10089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR* )
7970adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
8019ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> W e. RR* )
81 simprrr 805 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
8271simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8382adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) < W )
8478, 79, 80, 81, 83xrlttrd 11990 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < W )
8528ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> Z e. RR* )
86 elioo2 12216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR* /\ W e. RR* ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8785, 80, 86syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) <-> ( m e. RR /\ Z < m /\ m < W ) ) )
8876, 77, 84, 87mpbir3and 1245 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
89 anass 681 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
90 simprrr 805 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9190adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) )
9275ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> m e. RR )
9392adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR )
9493rexrd 10089 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
9514ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
96 simplr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> y e. ( X [,] Y ) )
9795, 96ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. ( Z (,) W ) )
9812, 97sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
9998adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* )
10095ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
10112, 100sseldi 3601 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* )
102 xrltletr 11988 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) e. RR* /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR* ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10394, 99, 101, 102syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
10491, 103mpand 711 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
105104ralimdva 2962 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
106105imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
107106an32s 846 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. ( X [,] Y ) ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10889, 107sylanbr 490 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
10988, 108jca 554 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) /\ ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
110109ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( ( m e. QQ /\ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) ) -> ( m e. ( Z (,) W ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) )
111110reximdv2 3014 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> ( E. m e. QQ ( Z < m /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
11274, 111mpd 15 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. ( X [,] Y ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) )
113112rexlimdvaa 3032 . . 3 |- ( ph -> ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) -> E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) )
114 ancom 466 . . . . 5 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
115 reeanv 3107 . . . . 5 |- ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
116114, 115bitr4i 267 . . . 4 |- ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) <-> E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
117 r19.26 3064 . . . . . 6 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) )
11814adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
119118ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( Z (,) W ) )
1204, 119sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR )
1211203biant1d 1441 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
122 simplrl 800 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
12312, 122sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> m e. RR* )
124 simplrr 801 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
12512, 124sseldi 3601 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> n e. RR* )
126 elioo2 12216 . . . . . . . . . 10 |- ( ( m e. RR* /\ n e. RR* ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
127123, 125, 126syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. RR /\ m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) ) )
128121, 127bitr4d 271 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) /\ z e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
129128ralbidva 2985 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) <-> A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) ) )
130 nffvmpt1 6199 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z )
131130nfel1 2779 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n )
132 nfv 1843 . . . . . . . . . . 11 |- F/ z ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n )
133 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = x -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) = ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) )
134133eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) ) )
135131, 132, 134cbvral 3167 . . . . . . . . . 10 |- ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) )
136 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> x e. ( X [,] Y ) )
137 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( x e. ( X [,] Y ) |-> A )
138137fmpt 6381 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) <-> ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) : ( X [,] Y ) --> ( Z (,) W ) )
13914, 138sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( Z (,) W ) )
140139r19.21bi 2932 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
141137fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( X [,] Y ) /\ A e. ( Z (,) W ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
142136, 140, 141syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) = A )
143142eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( X [,] Y ) ) -> ( ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A e. ( m (,) n ) ) )
144143ralbidva 2985 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. x e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` x ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
145135, 144syl5bb 272 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
146145adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) <-> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) )
1471adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X e. RR )
1482adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Y e. RR )
1493adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> X <_ Y )
15028adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> Z e. RR* )
15119adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> W e. RR* )
152 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y A
153 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ A
154 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> A = [_ y / x ]_ A )
155152, 153, 154cbvmpt 4749 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) = ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A )
156155, 8syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
157156adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) e. ( ( X [,] Y ) -cn-> ( Z (,) W ) ) )
158 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y B
159 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
160 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
161158, 159, 160cbvmpt 4749 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B )
162 itgsubst.b . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
163161, 162syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
164163adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) e. ( ( ( X (,) Y ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
165 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ v C
166 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ u [_ v / u ]_ C
167 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( u = v -> C = [_ v / u ]_ C )
168165, 166, 167cbvmpt 4749 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) = ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C )
169 itgsubst.c . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( u e. ( Z (,) W ) |-> C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
170168, 169syl5eqelr 2706 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
171170adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( v e. ( Z (,) W ) |-> [_ v / u ]_ C ) e. ( ( Z (,) W ) -cn-> CC ) )
172 itgsubst.da . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( x e. ( X (,) Y ) |-> B ) )
173155oveq2i 6661 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR _D ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ) = ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) )
174172, 173, 1613eqtr3g 2679 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
175174adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> ( RR _D ( y e. ( X [,] Y ) |-> [_ y / x ]_ A ) ) = ( y e. ( X (,) Y ) |-> [_ y / x ]_ B ) )
176 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ y / x ]_ A -> [_ v / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
177 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = X -> [_ y / x ]_ A = [_ X / x ]_ A )
178 csbeq1 3536 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> [_ y / x ]_ A = [_ Y / x ]_ A )
179 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> m e. ( Z (,) W ) )
180 simprlr 803 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> n e. ( Z (,) W ) )
181 simprr 796 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) )
182153nfel1 2779 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n )
183154eleq1d 2686 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( A e. ( m (,) n ) <-> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
184182, 183rspc 3303 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( X [,] Y ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) ) )
185181, 184mpan9 486 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) /\ y e. ( X [,] Y ) ) -> [_ y / x ]_ A e. ( m (,) n ) )
186147, 148, 149, 150, 151, 157, 164, 171, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 185itgsubstlem 23811 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y )
187167, 165, 166cbvditg 23618 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v
188 nfcvd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. RR -> F/_ x K )
189 itgsubst.k . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> A = K )
190188, 189csbiegf 3557 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. RR -> [_ X / x ]_ A = K )
191 ditgeq1 23612 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ X / x ]_ A = K -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
1921, 190, 1913syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u )
193 nfcvd 2765 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y e. RR -> F/_ x L )
194 itgsubst.l . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = Y -> A = L )
195193, 194csbiegf 3557 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Y e. RR -> [_ Y / x ]_ A = L )
196 ditgeq2 23613 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [_ Y / x ]_ A = L -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
1972, 195, 1963syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ K -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
198192, 197eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] C _d u = S__ [ K -> L ] C _d u )
199187, 198syl5eqr 2670 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
200199adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ [_ X / x ]_ A -> [_ Y / x ]_ A ] [_ v / u ]_ C _d v = S__ [ K -> L ] C _d u )
201154csbeq1d 3540 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> [_ A / u ]_ C = [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C )
202201, 160oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) )
203 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y ( [_ A / u ]_ C x. B )
204 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x C
205153, 204nfcsb 3551 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C
206 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x x.
207205, 206, 159nfov 6676 . . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B )
208202, 203, 207cbvditg 23618 . . . . . . . . . . . 12 |- S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y
209 ioossicc 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( X (,) Y ) C_ ( X [,] Y )
210209sseli 3599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( X (,) Y ) -> x e. ( X [,] Y ) )
211210, 140sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> A e. ( Z (,) W ) )
212 nfcvd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> F/_ u E )
213 itgsubst.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = A -> C = E )
214212, 213csbiegf 3557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. ( Z (,) W ) -> [_ A / u ]_ C = E )
215211, 214syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> [_ A / u ]_ C = E )
216215oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ( X (,) Y ) ) -> ( [_ A / u ]_ C x. B ) = ( E x. B ) )
217216itgeq2dv 23548 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
2183ditgpos 23620 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x )
2193ditgpos 23620 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x = S. ( X (,) Y ) ( E x. B ) _d x )
220217, 218, 2193eqtr4d 2666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ A / u ]_ C x. B ) _d x = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
221208, 220syl5eqr 2670 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
222221adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ X -> Y ] ( [_ [_ y / x ]_ A / u ]_ C x. [_ y / x ]_ B ) _d y = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
223186, 200, 2223eqtr3d 2664 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) /\ A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
224223expr 643 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. x e. ( X [,] Y ) A e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
225146, 224sylbid 230 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) e. ( m (,) n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
226129, 225sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( A. z e. ( X [,] Y ) ( m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
227117, 226syl5bir 233 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. ( Z (,) W ) /\ n e. ( Z (,) W ) ) ) -> ( ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
228227rexlimdvva 3038 . . . 4 |- ( ph -> ( E. m e. ( Z (,) W ) E. n e. ( Z (,) W ) ( A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) /\ A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
229116, 228syl5bi 232 . . 3 |- ( ph -> ( ( E. n e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) < n /\ E. m e. ( Z (,) W ) A. z e. ( X [,] Y ) m < ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23065, 113, 229syl2and 500 . 2 |- ( ph -> ( ( E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) /\ E. y e. ( X [,] Y ) A. z e. ( X [,] Y ) ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` y ) <_ ( ( x e. ( X [,] Y ) |-> A ) ` z ) ) -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x ) )
23110, 230mpd 15 1 |- ( ph -> S__ [ K -> L ] C _d u = S__ [ X -> Y ] ( E x. B ) _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   QQcq 11788   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   -cn->ccncf 22679   L^1cibl 23386   S.citg 23387   S__cdit 23610   _D cdv 23627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-ditg 23611  df-limc 23630  df-dv 23631
This theorem is referenced by:  itgsubsticclem  40191
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