Theorem ostth2lem4 25325

Description: Lemma for ostth2 25326. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
qrng.q	|- Q = (ℂfld ↾s QQ )
qabsabv.a	|- A = (AbsVal ` Q )
padic.j	|- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
ostth.k	|- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
ostth.1	|- ( ph -> F e. A )
ostth2.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.3	|- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
ostth2.4	|- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
ostth2.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
ostth2.6	|- S = ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) )
ostth2.7	|- T = if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) )
ostth2.8	|- U = ( ( log ` N ) / ( log ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
ostth2lem4	|- ( ph -> ( 1 < ( F ` M ) /\ R <_ S ) )

Distinct variable groups:   x, M   x, q, ph   x, T   x, U   A, q, x   x, N   x, Q   F, q   R, q   x, F

Allowed substitution hints:   Q( q)   R( x)   S( x, q)   T( q)   U( q)   J( x, q)   K( x, q)   M( q)   N( q)

Proof of Theorem ostth2lem4

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ostth2.3	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( F ` N ) )
2		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
3		ostth.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. A )
4		ostth2.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
5		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N e. NN /\ 1 < N ) )
7	6	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
8		nnq 11801	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. QQ )
10		qabsabv.a	. . . . . . . 8 |- A = (AbsVal ` Q )
11		qrng.q	. . . . . . . . 9 |- Q = (ℂfld ↾s QQ )
12	11	qrngbas 25308	. . . . . . . 8 |- QQ = ( Base ` Q )
13	10, 12	abvcl 18824	. . . . . . 7 |- ( ( F e. A /\ N e. QQ ) -> ( F ` N ) e. RR )
14	3, 9, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR )
15		ltnle 10117	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. RR /\ ( F ` N ) e. RR ) -> ( 1 < ( F ` N ) <-> -. ( F ` N ) <_ 1 ) )
16	2, 14, 15	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 < ( F ` N ) <-> -. ( F ` N ) <_ 1 ) )
17	1, 16	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> -. ( F ` N ) <_ 1 )
18		ostth2.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- T = if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) )
19		ostth2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 2 ) )
20		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( M e. NN /\ 1 < M ) )
21	19, 20	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M e. NN /\ 1 < M ) )
22	21	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. NN )
23		nnq 11801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN -> M e. QQ )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. QQ )
25	10, 12	abvcl 18824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. A /\ M e. QQ ) -> ( F ` M ) e. RR )
26	3, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR )
27		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. RR /\ ( F ` M ) e. RR ) -> if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) e. RR )
28	2, 26, 27	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) e. RR )
29	18, 28	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. RR )
30		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 e. RR )
31	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 e. RR )
32		0lt1 10550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 1
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 < 1 )
34		max2 12018	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` M ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> 1 <_ if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) )
35	26, 2, 34	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 <_ if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) )
36	35, 18	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 <_ T )
37	30, 31, 29, 33, 36	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < T )
38	29, 37	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T e. RR+ )
39		ostth2.8	. . . . . . . . . . . 12 |- U = ( ( log ` N ) / ( log ` M ) )
40	7	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR+ )
41	40	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR )
42	22	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. RR )
43	21	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 < M )
44	42, 43	rplogcld 24375	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( log ` M ) e. RR+ )
45	41, 44	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` N ) / ( log ` M ) ) e. RR )
46	39, 45	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. RR )
47	38, 46	rpcxpcld 24476	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( T ^c U ) e. RR+ )
48	14, 47	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) e. RR )
49	42, 29	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( M x. T ) e. RR )
50		peano2re 10209	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. RR -> ( U + 1 ) e. RR )
51	46, 50	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U + 1 ) e. RR )
52	49, 51	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) e. RR )
53		padic.j	. . . . . . . . . 10 |- J = ( q e. Prime |-> ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , ( q ^ -u ( q pCnt x ) ) ) ) )
54		ostth.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( x e. QQ |-> if ( x = 0 , 0 , 1 ) )
55		ostth2.4	. . . . . . . . . 10 |- R = ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) )
56		ostth2.6	. . . . . . . . . 10 |- S = ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) )
57	11, 10, 53, 54, 3, 4, 1, 55, 19, 56, 18, 39	ostth2lem3 25324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) ^ n ) <_ ( n x. ( ( M x. T ) x. ( U + 1 ) ) ) )
58	48, 52, 57	ostth2lem1 25307	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) <_ 1 )
59	14, 31, 47	ledivmuld 11925	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( F ` N ) / ( T ^c U ) ) <_ 1 <-> ( F ` N ) <_ ( ( T ^c U ) x. 1 ) ) )
60	58, 59	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( ( T ^c U ) x. 1 ) )
61	47	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ^c U ) e. CC )
62	61	mulid1d 10057	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( T ^c U ) x. 1 ) = ( T ^c U ) )
63	60, 62	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` N ) <_ ( T ^c U ) )
64	63	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` M ) <_ 1 ) -> ( F ` N ) <_ ( T ^c U ) )
65		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` M ) <_ 1 -> if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) = 1 )
66	18, 65	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( F ` M ) <_ 1 -> T = 1 )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( F ` M ) <_ 1 -> ( T ^c U ) = ( 1 ^c U ) )
68	46	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. CC )
69	68	1cxpd 24453	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ^c U ) = 1 )
70	67, 69	sylan9eqr 2678	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( F ` M ) <_ 1 ) -> ( T ^c U ) = 1 )
71	64, 70	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( F ` M ) <_ 1 ) -> ( F ` N ) <_ 1 )
72	17, 71	mtand 691	. . 3 |- ( ph -> -. ( F ` M ) <_ 1 )
73		ltnle 10117	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ ( F ` M ) e. RR ) -> ( 1 < ( F ` M ) <-> -. ( F ` M ) <_ 1 ) )
74	2, 26, 73	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 1 < ( F ` M ) <-> -. ( F ` M ) <_ 1 ) )
75	72, 74	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> 1 < ( F ` M ) )
76	30, 31, 14, 33, 1	lttrd 10198	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( F ` N ) )
77	14, 76	elrpd 11869	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` N ) e. RR+ )
78	77	reeflogd 24370	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) = ( F ` N ) )
79		iffalse 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( F ` M ) <_ 1 -> if ( ( F ` M ) <_ 1 , 1 , ( F ` M ) ) = ( F ` M ) )
80	18, 79	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( F ` M ) <_ 1 -> T = ( F ` M ) )
81	72, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T = ( F ` M ) )
82	81	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( T ^c U ) = ( ( F ` M ) ^c U ) )
83	26	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` M ) e. CC )
84	30, 31, 26, 33, 75	lttrd 10198	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( F ` M ) )
85	26, 84	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` M ) e. RR+ )
86	85	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` M ) =/= 0 )
87	83, 86, 68	cxpefd 24458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( F ` M ) ^c U ) = ( exp ` ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) ) )
88	82, 87	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( exp ` ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) ) = ( T ^c U ) )
89	63, 78, 88	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) ) )
90	77	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) e. RR )
91	85	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` M ) ) e. RR )
92	46, 91	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) e. RR )
93		efle 14848	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` ( F ` N ) ) e. RR /\ ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) e. RR ) -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) ) ) )
94	90, 92, 93	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) <-> ( exp ` ( log ` ( F ` N ) ) ) <_ ( exp ` ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) ) ) )
95	89, 94	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) )
96	41	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` N ) e. CC )
97	91	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` ( F ` M ) ) e. CC )
98	44	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` M ) e. CC )
99	44	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` M ) =/= 0 )
100	96, 97, 98, 99	div12d 10837	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) ) = ( ( log ` ( F ` M ) ) x. ( ( log ` N ) / ( log ` M ) ) ) )
101	39	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( ( log ` ( F ` M ) ) x. U ) = ( ( log ` ( F ` M ) ) x. ( ( log ` N ) / ( log ` M ) ) )
102	100, 101	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) ) = ( ( log ` ( F ` M ) ) x. U ) )
103	97, 68	mulcomd 10061	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` M ) ) x. U ) = ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) )
104	102, 103	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` N ) x. ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) ) = ( U x. ( log ` ( F ` M ) ) ) )
105	95, 104	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ph -> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) ) )
106	91, 44	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) e. RR )
107	7	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. RR )
108	6	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 < N )
109	107, 108	rplogcld 24375	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` N ) e. RR+ )
110	90, 106, 109	ledivmuld 11925	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) <-> ( log ` ( F ` N ) ) <_ ( ( log ` N ) x. ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) ) ) )
111	105, 110	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( log ` ( F ` N ) ) / ( log ` N ) ) <_ ( ( log ` ( F ` M ) ) / ( log ` M ) ) )
112	111, 55, 56	3brtr4g 4687	. 2 |- ( ph -> R <_ S )
113	75, 112	jca 554	1 |- ( ph -> ( 1 < ( F ` M ) /\ R <_ S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZ>=cuz 11687   QQcq 11788   ^cexp 12860   expce 14792   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ↾_s cress 15858  AbsValcabv 18816  ℂ_fldccnfld 19746   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  ostth2  25326