Theorem riesz3i 28921

Description: A continuous linear functional can be expressed as an inner product. Existence part of Theorem 3.9 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 13-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nlelch.1	|- T e. LinFn
nlelch.2	|- T e. ContFn

Assertion

Ref	Expression
riesz3i	|- E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w )

Distinct variable group:   w, v, T

Proof of Theorem riesz3i

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 27860	. . 3 |- 0h e. ~H
2		nlelch.1	. . . . . . 7 |- T e. LinFn
3	2	lnfnfi 28900	. . . . . 6 |- T : ~H --> CC
4		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H -> ( _|_ ` ( _|_ ` ( null ` T ) ) ) = ( _|_ ` 0H ) )
5		nlelch.2	. . . . . . . . . . 11 |- T e. ContFn
6	2, 5	nlelchi 28920	. . . . . . . . . 10 |- ( null ` T ) e. CH
7	6	ococi 28264	. . . . . . . . 9 |- ( _|_ ` ( _|_ ` ( null ` T ) ) ) = ( null ` T )
8		choc0 28185	. . . . . . . . 9 |- ( _|_ ` 0H ) = ~H
9	4, 7, 8	3eqtr3g 2679	. . . . . . . 8 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H -> ( null ` T ) = ~H )
10	9	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H -> ( v e. ( null ` T ) <-> v e. ~H ) )
11	10	biimpar 502	. . . . . 6 |- ( ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H /\ v e. ~H ) -> v e. ( null ` T ) )
12		elnlfn2 28788	. . . . . 6 |- ( ( T : ~H --> CC /\ v e. ( null ` T ) ) -> ( T ` v ) = 0 )
13	3, 11, 12	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H /\ v e. ~H ) -> ( T ` v ) = 0 )
14		hi02 27954	. . . . . 6 |- ( v e. ~H -> ( v .ih 0h ) = 0 )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H /\ v e. ~H ) -> ( v .ih 0h ) = 0 )
16	13, 15	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H /\ v e. ~H ) -> ( T ` v ) = ( v .ih 0h ) )
17	16	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H -> A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih 0h ) )
18		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( w = 0h -> ( v .ih w ) = ( v .ih 0h ) )
19	18	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( w = 0h -> ( ( T ` v ) = ( v .ih w ) <-> ( T ` v ) = ( v .ih 0h ) ) )
20	19	ralbidv 2986	. . . 4 |- ( w = 0h -> ( A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) <-> A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih 0h ) ) )
21	20	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( 0h e. ~H /\ A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih 0h ) ) -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) )
22	1, 17, 21	sylancr 695	. 2 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) = 0H -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) )
23	6	choccli 28166	. . . 4 |- ( _|_ ` ( null ` T ) ) e. CH
24	23	chne0i 28312	. . 3 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) =/= 0H <-> E. u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) u =/= 0h )
25	23	cheli 28089	. . . . 5 |- ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) -> u e. ~H )
26	3	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~H -> ( T ` u ) e. CC )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( T ` u ) e. CC )
28		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( u .ih u ) e. CC )
29	28	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~H -> ( u .ih u ) e. CC )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( u .ih u ) e. CC )
31		his6 27956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ~H -> ( ( u .ih u ) = 0 <-> u = 0h ) )
32	31	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ~H -> ( ( u .ih u ) =/= 0 <-> u =/= 0h ) )
33	32	biimpar 502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( u .ih u ) =/= 0 )
34	27, 30, 33	divcld 10801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) e. CC )
35	34	cjcld 13936	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) e. CC )
36		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> u e. ~H )
37		hvmulcl 27870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) e. CC /\ u e. ~H ) -> ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) e. ~H )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) e. ~H )
39	38	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) -> ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) e. ~H )
40		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` u ) e. CC /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) .h v ) e. ~H )
41	26, 40	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) .h v ) e. ~H )
42	3	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( v e. ~H -> ( T ` v ) e. CC )
43		hvmulcl 27870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ u e. ~H ) -> ( ( T ` v ) .h u ) e. ~H )
44	42, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( v e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( ( T ` v ) .h u ) e. ~H )
45	44	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` v ) .h u ) e. ~H )
46		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> u e. ~H )
47		his2sub 27949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( T ` u ) .h v ) e. ~H /\ ( ( T ` v ) .h u ) e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = ( ( ( ( T ` u ) .h v ) .ih u ) - ( ( ( T ` v ) .h u ) .ih u ) ) )
48	41, 45, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = ( ( ( ( T ` u ) .h v ) .ih u ) - ( ( ( T ` v ) .h u ) .ih u ) ) )
49	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( T ` u ) e. CC )
50		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> v e. ~H )
51		ax-his3 27941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` u ) e. CC /\ v e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) .h v ) .ih u ) = ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) )
52	49, 50, 46, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) .h v ) .ih u ) = ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) )
53	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( T ` v ) e. CC )
54		ax-his3 27941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ u e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( ( ( T ` v ) .h u ) .ih u ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) )
55	53, 46, 46, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` v ) .h u ) .ih u ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) )
56	52, 55	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) .ih u ) - ( ( ( T ` v ) .h u ) .ih u ) ) = ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) - ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) )
57	48, 56	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) - ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) = ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) )
58	57	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) - ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) = ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) )
59		hvsubcl 27874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( T ` u ) .h v ) e. ~H /\ ( ( T ` v ) .h u ) e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ~H )
60	41, 45, 59	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ~H )
61	2	lnfnsubi 28905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( T ` u ) .h v ) e. ~H /\ ( ( T ` v ) .h u ) e. ~H ) -> ( T ` ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) ) = ( ( T ` ( ( T ` u ) .h v ) ) - ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) ) )
62	41, 45, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( T ` ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) ) = ( ( T ` ( ( T ` u ) .h v ) ) - ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) ) )
63	2	lnfnmuli 28903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T ` u ) e. CC /\ v e. ~H ) -> ( T ` ( ( T ` u ) .h v ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
64	26, 63	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( T ` ( ( T ` u ) .h v ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
65	2	lnfnmuli 28903	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ u e. ~H ) -> ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( T ` u ) ) )
66		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ ( T ` u ) e. CC ) -> ( ( T ` v ) x. ( T ` u ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
67	26, 66	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ u e. ~H ) -> ( ( T ` v ) x. ( T ` u ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
68	65, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ u e. ~H ) -> ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
69	42, 68	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( v e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
70	69	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) = ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) )
71	64, 70	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( T ` u ) .h v ) ) - ( T ` ( ( T ` v ) .h u ) ) ) = ( ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) - ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) ) )
72		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( T ` u ) e. CC /\ ( T ` v ) e. CC ) -> ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) e. CC )
73	26, 42, 72	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) e. CC )
74	73	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) - ( ( T ` u ) x. ( T ` v ) ) ) = 0 )
75	62, 71, 74	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( T ` ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) ) = 0 )
76		elnlfn 28787	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T : ~H --> CC -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ( null ` T ) <-> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ~H /\ ( T ` ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) ) = 0 ) ) )
77	3, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ( null ` T ) <-> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ~H /\ ( T ` ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) ) = 0 ) )
78	60, 75, 77	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ( null ` T ) )
79	6	chssii 28088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( null ` T ) C_ ~H
80		ocorth 28150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( null ` T ) C_ ~H -> ( ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ( null ` T ) /\ u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = 0 ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) e. ( null ` T ) /\ u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = 0 )
82	78, 81	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) /\ u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = 0 )
83	82	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ ( u e. ~H /\ v e. ~H ) ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = 0 )
84	83	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) .h v ) -h ( ( T ` v ) .h u ) ) .ih u ) = 0 )
85	58, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) - ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) = 0 )
86		hicl 27937	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( v e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( v .ih u ) e. CC )
87	86	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( v .ih u ) e. CC )
88	49, 87	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) e. CC )
89		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( T ` v ) e. CC /\ ( u .ih u ) e. CC ) -> ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) e. CC )
90	42, 29, 89	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) e. CC )
91	88, 90	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ~H /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) - ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) = 0 <-> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) )
92	91	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) - ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) = 0 <-> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) )
93	85, 92	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) )
94	93	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) )
95	88	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) e. CC )
96	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( T ` v ) e. CC )
97	30, 33	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) -> ( ( u .ih u ) e. CC /\ ( u .ih u ) =/= 0 ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( u .ih u ) e. CC /\ ( u .ih u ) =/= 0 ) )
99		divmul3 10690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) e. CC /\ ( T ` v ) e. CC /\ ( ( u .ih u ) e. CC /\ ( u .ih u ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( T ` v ) <-> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) )
100	95, 96, 98, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( T ` v ) <-> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) )
101	100	adantlll 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( T ` v ) <-> ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) = ( ( T ` v ) x. ( u .ih u ) ) ) )
102	94, 101	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( T ` v ) )
103	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( T ` u ) e. CC )
104	87	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( v .ih u ) e. CC )
105		div23 10704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( T ` u ) e. CC /\ ( v .ih u ) e. CC /\ ( ( u .ih u ) e. CC /\ ( u .ih u ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) x. ( v .ih u ) ) )
106	103, 104, 98, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) x. ( v .ih u ) ) )
107	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) e. CC )
108		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> v e. ~H )
109		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> u e. ~H )
110		his52 27944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) e. CC /\ v e. ~H /\ u e. ~H ) -> ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) = ( ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) x. ( v .ih u ) ) )
111	107, 108, 109, 110	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) = ( ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) x. ( v .ih u ) ) )
112	106, 111	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( u e. ~H /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) )
113	112	adantlll 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( ( ( T ` u ) x. ( v .ih u ) ) / ( u .ih u ) ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) )
114	102, 113	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) /\ v e. ~H ) -> ( T ` v ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) )
115	114	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) -> A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) )
116		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) -> ( v .ih w ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) )
117	116	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) -> ( ( T ` v ) = ( v .ih w ) <-> ( T ` v ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) ) )
118	117	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( w = ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) -> ( A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) <-> A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) ) )
119	118	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) e. ~H /\ A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih ( ( * ` ( ( T ` u ) / ( u .ih u ) ) ) .h u ) ) ) -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) )
120	39, 115, 119	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) /\ u =/= 0h ) -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) )
121	120	ex 450	. . . . 5 |- ( ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) /\ u e. ~H ) -> ( u =/= 0h -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) ) )
122	25, 121	mpdan 702	. . . 4 |- ( u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) -> ( u =/= 0h -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) ) )
123	122	rexlimiv 3027	. . 3 |- ( E. u e. ( _|_ ` ( null ` T ) ) u =/= 0h -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) )
124	24, 123	sylbi 207	. 2 |- ( ( _|_ ` ( null ` T ) ) =/= 0H -> E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w ) )
125	22, 124	pm2.61ine 2877	1 |- E. w e. ~H A. v e. ~H ( T ` v ) = ( v .ih w )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   x. cmul 9941   - cmin 10266   / cdiv 10684   *ccj 13836   ~Hchil 27776   .h csm 27778   .ih csp 27779   0hc0v 27781   -h cmv 27782   _|_cort 27787   0Hc0h 27792   nullcnl 27809   ContFnccnfn 27810   LinFnclf 27811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-nlfn 28705  df-cnfn 28706  df-lnfn 28707

This theorem is referenced by:  riesz4i  28922  riesz1  28924