Theorem pntlemo 25296

Description: Lemma for pnt 25303. Combine all the estimates to establish a smaller eventual bound on R ( Z ) / Z. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.C	|- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )

Assertion

Ref	Expression
pntlemo	|- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   y, z, u, L   y, K, z   z, M   z, N   u, i, y, z, R   z, U   z, W   y, X, z   i, Y, z   u, a, y, z, E   u, Z, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, i, a)   A( y, z, u, i, a)   B( y, z, u, i, a)   C( y, u, i, a)   D( y, z, u, i, a)   R( a)   U( y, u, i, a)   E( i)   F( y, z, u, i, a)   K( u, i, a)   L( i, a)   M( y, u, i, a)   N( y, u, i, a)   W( y, u, i, a)   X( u, i, a)   Y( y, u, a)   Z( y, i, a)

Proof of Theorem pntlemo

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . . . . 10 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem1.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem1.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. RR+ )
4		pntlem1.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5		pntlem1.d	. . . . . . . . . 10 |- D = ( A + 1 )
6		pntlem1.f	. . . . . . . . . 10 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7		pntlem1.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. RR+ )
8		pntlem1.u2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U <_ A )
9		pntlem1.e	. . . . . . . . . 10 |- E = ( U / D )
10		pntlem1.k	. . . . . . . . . 10 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
11		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
12		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
13		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. RR+ )
14		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
15		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	pntlemb 25286	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
17	16	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR+ )
18	1	pntrf 25252	. . . . . . . . 9 |- R : RR+ --> RR
19	18	ffvelrni 6358	. . . . . . . 8 |- ( Z e. RR+ -> ( R ` Z ) e. RR )
20	17, 19	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` Z ) e. RR )
21	20, 17	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( R ` Z ) / Z ) e. CC )
23	22	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) e. RR )
24	17	relogcld 24369	. . . 4 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
25	23, 24	remulcld 10070	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
26	7	rpred 11872	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR )
27		3re 11094	. . . . . . . 8 |- 3 e. RR
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 e. RR )
29	24, 28	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) + 3 ) e. RR )
30	26, 29	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. RR )
31		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	pntlemc 25284	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
34	33	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
35	34	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
36	35	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR )
37	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 25283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
38	37	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
39	33	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E e. RR+ )
40		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
41		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( E e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
42	39, 40, 41	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. RR+ )
43	38, 42	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. ( E ^ 2 ) ) e. RR+ )
44		3nn0 11310	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 e. NN0
45		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN
46	44, 45	decnncl 11518	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 3 2 e. NN
47		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- (; 3 2 e. NN -> ; 3 2 e. RR+ )
48	46, 47	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ; 3 2 e. RR+
49		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . 11 |- ( (; 3 2 e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
50	48, 3, 49	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (; 3 2 x. B ) e. RR+ )
51	43, 50	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
52	51	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. RR )
53	36, 52	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) e. RR )
54	53, 24	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
55	32, 54	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
56	30, 55	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) e. RR )
57	13	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> C e. RR )
58	56, 57	readdcld 10069	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) e. RR )
59	7	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. CC )
60	53	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) e. CC )
61	24	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
62	59, 60, 61	subdird 10487	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
63	38	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. CC )
64	42	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) e. CC )
65	50	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) )
66		div23 10704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( L e. CC /\ ( E ^ 2 ) e. CC /\ ( (; 3 2 x. B ) e. CC /\ (; 3 2 x. B ) =/= 0 ) ) -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
67	63, 64, 65, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) )
68	9	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E ^ 2 ) = ( ( U / D ) ^ 2 )
69	37	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> D e. RR+ )
70	69	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. CC )
71	69	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D =/= 0 )
72	59, 70, 71	sqdivd 13021	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U / D ) ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
73	68, 72	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E ^ 2 ) = ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) )
74	73	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( E ^ 2 ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
75	38, 50	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. RR+ )
76	75	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
77	59	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ^ 2 ) e. CC )
78		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
79	69, 40, 78	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( D ^ 2 ) e. RR+ )
80	79	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) )
81		divass 10703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
82		div23 10704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( U ^ 2 ) ) / ( D ^ 2 ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
83	81, 82	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) e. CC /\ ( U ^ 2 ) e. CC /\ ( ( D ^ 2 ) e. CC /\ ( D ^ 2 ) =/= 0 ) ) -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
84	76, 77, 80, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( U ^ 2 ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
85	67, 74, 84	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) = ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
87		df-3 11080	. . . . . . . . . . . . 13 |- 3 = ( 2 + 1 )
88	87	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U ^ 3 ) = ( U ^ ( 2 + 1 ) )
89		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. NN0
90		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. CC /\ 2 e. NN0 ) -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
91	59, 89, 90	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U ^ ( 2 + 1 ) ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
92	88, 91	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( ( U ^ 2 ) x. U ) )
93	77, 59	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U ^ 2 ) x. U ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
94	92, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) = ( U x. ( U ^ 2 ) ) )
95	94	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
96	37	simp3d 1075	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. RR+ )
97	96	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F e. CC )
98	97, 59, 77	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( F x. ( U x. ( U ^ 2 ) ) ) )
99		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. CC )
100	69	rpreccld 11882	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. RR+ )
101	100	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 / D ) e. CC )
102	99, 101, 59	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) = ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) )
103	59	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. U ) = U )
104	59, 70, 71	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( U / D ) = ( ( 1 / D ) x. U ) )
105	9, 104	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( 1 / D ) x. U ) = E )
106	103, 105	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 1 x. U ) - ( ( 1 / D ) x. U ) ) = ( U - E ) )
107	102, 106	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( U - E ) = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) )
108	107	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
109	6	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U )
110	99, 101	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 - ( 1 / D ) ) e. CC )
111	75, 79	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. RR+ )
112	111	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) e. CC )
113	110, 112, 59	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
114	109, 113	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F x. U ) = ( ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. U ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) )
115	108, 114	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) = ( F x. U ) )
116	115	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) )
117	35	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
118	117, 112, 77	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
119	116, 118	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F x. U ) x. ( U ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
120	95, 98, 119	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) x. ( U ^ 2 ) ) ) )
121	86, 120	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) = ( F x. ( U ^ 3 ) ) )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) = ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )
123	122	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U - ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
124	62, 123	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
125	26, 24	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. RR )
126	125, 54	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. RR )
127	124, 126	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
128	17	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. RR )
129	16	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
130	129	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 < Z )
131	128, 130	rplogcld 24375	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
132	32, 131	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. RR )
133		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) e. Fin )
134	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. RR+ )
135		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) -> n e. NN )
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. NN )
137	136	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> n e. RR+ )
138	134, 137	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z / n ) e. RR+ )
139	18	ffvelrni 6358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Z / n ) e. RR+ -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. RR )
141	140, 134	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. RR )
142	141	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) e. CC )
143	142	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. RR )
144	137	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. RR )
145	143, 144	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
146	133, 145	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
147	132, 146	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
148	147, 57	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) e. RR )
149	20	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R ` Z ) e. CC )
150	149	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. RR )
151	150	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( R ` Z ) ) e. CC )
152	151, 61	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
153	132	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 / ( log ` Z ) ) e. CC )
154	140	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( Z / n ) ) e. CC )
155	154	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. RR )
156	155, 144	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
157	133, 156	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
158	157	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
159	153, 158	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. CC )
160	17	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. CC )
161	17	rpne0d 11877	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z =/= 0 )
162	152, 159, 160, 161	divsubdird 10840	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) )
163	151, 61, 160, 161	div23d 10838	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
164	149, 160, 161	absdivd 14194	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) )
165	17	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
166		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( abs ` Z ) = Z )
167	165, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( abs ` Z ) = Z )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
169	164, 168	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) )
170	169	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) / Z ) x. ( log ` Z ) ) )
171	163, 170	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) = ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
172	153, 158, 160, 161	divassd 10836	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
173	160	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z e. CC )
174	161	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> Z =/= 0 )
175	154, 173, 174	absdivd 14194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) )
176	167	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` Z ) = Z )
177	176	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / ( abs ` Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
178	175, 177	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) )
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
180	155	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC )
181	144	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
182	17	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) )
184		div23 10704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) e. CC /\ ( log ` n ) e. CC /\ ( Z e. CC /\ Z =/= 0 ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
185	180, 181, 183, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) / Z ) x. ( log ` n ) ) )
186	179, 185	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
187	186	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
188	156	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
189	133, 160, 188, 161	fsumdivc 14518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
190	187, 189	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) )
191	190	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) / Z ) ) )
192	172, 191	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
193	171, 192	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) / Z ) - ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) / Z ) ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
194	162, 193	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) = ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
195		1re 10039	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
196		rexr 10085	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR -> 1 e. RR* )
197		elioopnf 12267	. . . . . . . . 9 |- ( 1 e. RR* -> ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) ) )
198	195, 196, 197	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( Z e. ( 1 (,) +oo ) <-> ( Z e. RR /\ 1 < Z ) )
199	128, 130, 198	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ph -> Z e. ( 1 (,) +oo ) )
200		pntlem1.C	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C )
201		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( R ` z ) = ( R ` Z ) )
202	201	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( abs ` ( R ` z ) ) = ( abs ` ( R ` Z ) ) )
203		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( log ` z ) = ( log ` Z ) )
204	202, 203	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) = ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) )
205	203	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( 2 / ( log ` z ) ) = ( 2 / ( log ` Z ) ) )
206		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i = n -> ( z / i ) = ( z / n ) )
207	206	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = n -> ( R ` ( z / i ) ) = ( R ` ( z / n ) ) )
208	207	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) )
209		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( log ` i ) = ( log ` n ) )
210	208, 209	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
211	210	cbvsumv 14426	. . . . . . . . . . . . 13 |- sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) )
212		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = Z -> ( z / Y ) = ( Z / Y ) )
213	212	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = Z -> ( |_ ` ( z / Y ) ) = ( |_ ` ( Z / Y ) ) )
214	213	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = Z -> ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) )
215		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> z = Z )
216	215	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( z / n ) = ( Z / n ) )
217	216	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( R ` ( z / n ) ) = ( R ` ( Z / n ) ) )
218	217	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) = ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) )
219	218	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z = Z /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
220	214, 219	sumeq12rdv 14438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
221	211, 220	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
222	205, 221	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
223	204, 222	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) = ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
224		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> z = Z )
225	223, 224	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( z = Z -> ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) = ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) )
226	225	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( z = Z -> ( ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C <-> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
227	226	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( Z e. ( 1 (,) +oo ) -> ( A. z e. ( 1 (,) +oo ) ( ( ( ( abs ` ( R ` z ) ) x. ( log ` z ) ) - ( ( 2 / ( log ` z ) ) x. sum_ i e. ( 1 ... ( |_ ` ( z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( z / i ) ) ) x. ( log ` i ) ) ) ) / z ) <_ C -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C ) )
228	199, 200, 227	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( R ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( R ` ( Z / n ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) / Z ) <_ C )
229	194, 228	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C )
230	25, 147, 57	lesubadd2d 10626	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ C <-> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) ) )
231	229, 230	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) )
232		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 e. CC )
233	143	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) e. CC )
234	233, 181	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
235	133, 234	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
236	131	rpne0d 11877	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) =/= 0 )
237	232, 235, 61, 236	div23d 10838	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) = ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
238	24	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. RR )
239	52, 238	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) e. RR )
240	36, 239	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
241		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
242	31, 240, 241	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) e. RR )
243	30, 24	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
244		remulcl 10021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
245	31, 146, 244	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
246	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> U e. RR )
247	246, 136	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. RR )
248	247, 143	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) e. RR )
249	248, 144	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
250	133, 249	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
251	32, 250	remulcld 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
252	243, 245	resubcld 10458	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) e. RR )
253		pntlem1.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
254		pntlem1.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
255		pntlem1.U	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
256		pntlem1.K	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
257	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 253, 254, 255, 256	pntlemf 25294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) )
258		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
259	258	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 2 )
260		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
261	240, 250, 32, 259, 260	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) <_ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) <-> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
262	257, 261	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
263	247	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( U / n ) e. CC )
264	263, 233, 181	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
265	264	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
266	247, 144	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
267	266	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ) -> ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
268	133, 267, 234	fsumsub 14520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
269	265, 268	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) )
270	269	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
271	133, 266	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR )
272	271	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. CC )
273	232, 272, 235	subdid 10486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. ( sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
274	270, 273	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) = ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
275		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) e. RR ) -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
276	31, 271, 275	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) e. RR )
277	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 253, 254, 255, 256	pntlemk 25295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) )
278	276, 243, 245, 277	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( U / n ) x. ( log ` n ) ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
279	274, 278	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( ( U / n ) - ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
280	242, 251, 252, 262, 279	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) ) )
281	242, 243, 245, 280	lesubd 10631	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
282	30	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) e. CC )
283	55	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) e. CC )
284	282, 283, 61	subdird 10487	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
285	54	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) e. CC )
286	232, 285, 61	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
287	60, 61, 61	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
288	61	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) = ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) )
289	288	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) x. ( log ` Z ) ) ) )
290	51	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) e. CC )
291	238	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) ^ 2 ) e. CC )
292	117, 290, 291	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
293	287, 289, 292	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) )
294	293	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
295	286, 294	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) )
296	295	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
297	284, 296	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) x. ( log ` Z ) ) - ( 2 x. ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) x. ( ( log ` Z ) ^ 2 ) ) ) ) ) )
298	281, 297	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
299	245, 56, 131	ledivmul2d 11926	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <-> ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
300	298, 299	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) / ( log ` Z ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
301	237, 300	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) <_ ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
302	147, 56, 57, 301	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( 2 / ( log ` Z ) ) x. sum_ n e. ( 1 ... ( |_ ` ( Z / Y ) ) ) ( ( abs ` ( ( R ` ( Z / n ) ) / Z ) ) x. ( log ` n ) ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
303	25, 148, 58, 231, 302	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
304		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( U x. 3 ) e. RR )
305	26, 27, 304	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. RR )
306	305, 57	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) e. RR )
307	16	simp3d 1075	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
308	307	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
309	306, 54, 125, 308	leadd2dd 10642	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
310	28	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 3 e. CC )
311	59, 61, 310	adddid 10064	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) )
312	311	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) )
313	125	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. ( log ` Z ) ) e. CC )
314	59, 310	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U x. 3 ) e. CC )
315	13	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
316	313, 314, 315	addassd 10062	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( U x. 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
317	312, 316	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( U x. 3 ) + C ) ) )
318	285	2timesd 11275	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) = ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
319	318	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
320	313, 285, 285	nppcan3d 10419	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
321	319, 320	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( U x. ( log ` Z ) ) + ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
322	309, 317, 321	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
323	30, 57	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) e. RR )
324	323, 55, 126	lesubaddd 10624	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) <-> ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) <_ ( ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) + ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) ) )
325	322, 324	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) <_ ( ( U x. ( log ` Z ) ) - ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
326	282, 315, 283	addsubd 10413	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) + C ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) = ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) )
327	325, 326, 124	3brtr3d 4684	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( U x. ( ( log ` Z ) + 3 ) ) - ( 2 x. ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) + C ) <_ ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
328	25, 58, 127, 303, 327	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) )
329		3z 11410	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
330		rpexpcl 12879	. . . . . . 7 |- ( ( U e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> ( U ^ 3 ) e. RR+ )
331	7, 329, 330	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ^ 3 ) e. RR+ )
332	96, 331	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) e. RR+ )
333	332	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> ( F x. ( U ^ 3 ) ) e. RR )
334	26, 333	resubcld 10458	. . 3 |- ( ph -> ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) e. RR )
335	23, 334, 131	lemul1d 11915	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) <-> ( ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
336	328, 335	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( abs ` ( ( R ` Z ) / Z ) ) <_ ( U - ( F x. ( U ^ 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-em 24719  df-vma 24824  df-chp 24825

This theorem is referenced by:  pntleme  25297