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Theorem sumdmdlem2 29278
Description: Lemma for sumdmdi 29279. (Contributed by NM, 23-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sumdmdi.1  |-  A  e. 
CH
sumdmdi.2  |-  B  e. 
CH
Assertion
Ref Expression
sumdmdlem2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem sumdmdlem2
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumdmdi.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
CH
2 sumdmdi.2 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
CH
31, 2chjcli 28316 . . . . . . 7  |-  ( A  vH  B )  e. 
CH
43cheli 28089 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ~H )
5 spansnsh 28420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  SH )
62chshii 28084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  B  e.  SH
7 shsub2 28184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( span `  {
y } )  e.  SH  /\  B  e.  SH )  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
85, 6, 7sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  C_  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
9 spansnid 28422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( span `  {
y } ) )
108, 9sseldd 3604 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) ) )
1110ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
y  e.  ( B  +H  ( span `  {
y } ) ) )
12 elin 3796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  <->  ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) ) )
13 df-ne 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =/=  0h  <->  -.  y  =  0h )
14 spansna 29209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  y  =/=  0h )  -> 
( span `  { y } )  e. HAtoms )
1513, 14sylan2br 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( span `  {
y } )  e. HAtoms
)
16 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( x  vH  B
)  =  ( (
span `  { y } )  vH  B
) )
1716ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
1816ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
1918oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
2017, 19sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( span `  {
y } )  -> 
( ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  <->  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
2120rspcv 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
span `  { y } )  e. HAtoms  ->  ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  ->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
) )
23 spansnj 28506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( B  vH  ( span `  { y } ) ) )
24 spansnch 28419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( span `  { y } )  e.  CH )
25 chjcom 28365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  CH  /\  ( span `  { y } )  e.  CH )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2624, 25sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  vH  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
2723, 26eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( B  e.  CH  /\  y  e.  ~H )  ->  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  =  ( ( span `  {
y } )  vH  B ) )
282, 27mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( ( span `  { y } )  vH  B ) )
2928ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) ) )
3028ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
) )
3130oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( ( ( span `  {
y } )  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )
)
3229, 31sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  <->  ( (
( span `  { y } )  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( (
span `  { y } )  vH  B
)  i^i  A )  vH  B ) ) )
3422, 33sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  ( A. x  e. HAtoms  ( ( x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i  A )  vH  B )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3534com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( y  e. 
~H  /\  -.  y  =  0h )  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
3635expdimp 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( -.  y  =  0h  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) ) )
37 ssid 3624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  B  C_  B
38 sneq 4187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y  =  0h  ->  { y }  =  { 0h } )
3938fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  ( span `  { 0h } ) )
40 spansn0 28400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( span `  { 0h } )  =  0H
4139, 40syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  0h  ->  ( span `  { y } )  =  0H )
4241oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  ( B  +H  0H ) )
436shs0i 28308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  +H  0H )  =  B
4442, 43syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  =  B )
4544ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  ( B  i^i  ( A  vH  B ) ) )
46 inss1 3833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  B
472, 1chub2i 28329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  B  C_  ( A  vH  B )
4837, 47ssini 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  B  C_  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )
4946, 48eqssi 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B
5045, 49syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  =  B )
5144ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A
)  =  ( B  i^i  A ) )
5251oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
532, 1chincli 28319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  i^i  A )  e. 
CH
5453, 2chjcomi 28327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )
552, 1chabs1i 28377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  vH  ( B  i^i  A ) )  =  B
5654, 55eqtri 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  i^i  A )  vH  B )  =  B
5752, 56syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  =  B )
5850, 57sseq12d 3634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  0h  ->  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
)  <->  B  C_  B ) )
5937, 58mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  0h  ->  (
( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6036, 59pm2.61d2 172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) ) 
C_  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B ) )
6160adantrr 753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i 
A )  vH  B
) )
621, 2sumdmdlem 29277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  =  ( B  i^i  A
) )
6362oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  ( ( B  i^i  A )  vH  B ) )
6463, 56syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  =  B )
651chshii 28084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  A  e.  SH
666, 65shsub2i 28232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  C_  ( A  +H  B
)
6764, 66syl6eqss 3655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  ( ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B
) )
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( ( B  +H  ( span `  {
y } ) )  i^i  A )  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) )
6961, 68sstrd 3613 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  ( A  +H  B ) )
7069sseld 3602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( ( B  +H  ( span `  { y } ) )  i^i  ( A  vH  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7112, 70syl5bir 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( ( y  e.  ( B  +H  ( span `  { y } ) )  /\  y  e.  ( A  vH  B
) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) )
7211, 71mpand 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e. HAtoms  (
( x  vH  B
)  i^i  ( A  vH  B ) )  C_  ( ( ( x  vH  B )  i^i 
A )  vH  B
)  /\  ( y  e.  ~H  /\  -.  y  e.  ( A  +H  B
) ) )  -> 
( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7372exp32 631 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
7473com34 91 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( -.  y  e.  ( A  +H  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) ) )
75 pm2.18 122 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  y  e.  ( A  +H  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) )  ->  y  e.  ( A  +H  B
) )
7674, 75syl8 76 . . . . . 6  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ~H  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) ) )
774, 76syl5 34 . . . . 5  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B
)  ->  y  e.  ( A  +H  B
) ) ) )
7877pm2.43d 53 . . . 4  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( y  e.  ( A  vH  B )  ->  y  e.  ( A  +H  B ) ) )
7978ssrdv 3609 . . 3  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  vH  B
)  C_  ( A  +H  B ) )
801, 2chsleji 28317 . . 3  |-  ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )
8179, 80jctil 560 . 2  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B ) 
C_  ( A  +H  B ) ) )
82 eqss 3618 . 2  |-  ( ( A  +H  B )  =  ( A  vH  B )  <->  ( ( A  +H  B )  C_  ( A  vH  B )  /\  ( A  vH  B )  C_  ( A  +H  B ) ) )
8381, 82sylibr 224 1  |-  ( A. x  e. HAtoms  ( (
x  vH  B )  i^i  ( A  vH  B
) )  C_  (
( ( x  vH  B )  i^i  A
)  vH  B )  ->  ( A  +H  B
)  =  ( A  vH  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 196    /\ wa 384    = wceq 1483    e. wcel 1990    =/= wne 2794   A.wral 2912    i^i cin 3573    C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~Hchil 27776   0hc0v 27781   SHcsh 27785   CHcch 27786    +H cph 27788   spancspn 27789    vH chj 27790   0Hc0h 27792  HAtomscat 27822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016  ax-hilex 27856  ax-hfvadd 27857  ax-hvcom 27858  ax-hvass 27859  ax-hv0cl 27860  ax-hvaddid 27861  ax-hfvmul 27862  ax-hvmulid 27863  ax-hvmulass 27864  ax-hvdistr1 27865  ax-hvdistr2 27866  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his2 27940  ax-his3 27941  ax-his4 27942  ax-hcompl 28059
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-lm 21033  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-dip 27556  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719  df-hnorm 27825  df-hba 27826  df-hvsub 27828  df-hlim 27829  df-hcau 27830  df-sh 28064  df-ch 28078  df-oc 28109  df-ch0 28110  df-shs 28167  df-span 28168  df-chj 28169  df-pjh 28254  df-cv 29138  df-at 29197
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