Theorem dignnld 42397

Description: The leading digits of a positive integer are 0. (Contributed by AV, 25-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dignnld	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( K (digit ` B ) N ) = 0 )

Proof of Theorem dignnld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 11726	. . . 4 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
2	1	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B e. NN )
3		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
4	3	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. RR+ ) )
5		relogbzcl 24512	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. RR+ ) -> ( B logb N ) e. RR )
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B logb N ) e. RR )
7		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. RR )
8		nnge1 11046	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> 1 <_ N )
9	7, 8	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N e. RR /\ 1 <_ N ) )
10		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
11		elicopnf 12269	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( N e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( N e. RR /\ 1 <_ N ) ) )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( N e. RR /\ 1 <_ N ) )
13	9, 12	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ( 1 [,) +oo ) )
14	13	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ( 1 [,) +oo ) ) )
15		rege1logbzge0 42353	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. ( 1 [,) +oo ) ) -> 0 <_ ( B logb N ) )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( B logb N ) )
17	6, 16	jca 554	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( B logb N ) e. RR /\ 0 <_ ( B logb N ) ) )
18		flge0nn0 12621	. . . . 5 |- ( ( ( B logb N ) e. RR /\ 0 <_ ( B logb N ) ) -> ( |_ ` ( B logb N ) ) e. NN0 )
19		peano2nn0 11333	. . . . 5 |- ( ( |_ ` ( B logb N ) ) e. NN0 -> ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. NN0 )
20	17, 18, 19	3syl 18	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. NN0 )
21		eluznn0 11757	. . . 4 |- ( ( ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) e. NN0 /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
22	20, 21	stoic3 1701	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> K e. NN0 )
23		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
24		nn0rp0 12279	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 [,) +oo ) )
25	23, 24	syl 17	. . . 4 |- ( N e. NN -> N e. ( 0 [,) +oo ) )
26	25	3ad2ant2 1083	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N e. ( 0 [,) +oo ) )
27		nn0digval 42394	. . 3 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN0 /\ N e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( K (digit ` B ) N ) = ( ( |_ ` ( N / ( B ^ K ) ) ) mod B ) )
28	2, 22, 26, 27	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( K (digit ` B ) N ) = ( ( |_ ` ( N / ( B ^ K ) ) ) mod B ) )
29	7	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N e. RR )
30		eluzelre 11698	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR )
31	30	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B e. RR )
32		eluz2n0 11728	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 0 )
33	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B =/= 0 )
34		eluzelz 11697	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) -> K e. ZZ )
35	34	3ad2ant3 1084	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> K e. ZZ )
36	31, 33, 35	reexpclzd 13034	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^ K ) e. RR )
37		eluzelcn 11699	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. CC )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B e. CC )
39	38, 33, 35	expne0d 13014	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^ K ) =/= 0 )
40	29, 36, 39	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( N / ( B ^ K ) ) e. RR )
41		nn0ge0 11318	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
42	23, 41	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 <_ N )
43	42	3ad2ant2 1083	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ N )
44	1	nngt0d 11064	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 < B )
45	44	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> 0 < B )
46		expgt0 12893	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ K e. ZZ /\ 0 < B ) -> 0 < ( B ^ K ) )
47	31, 35, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> 0 < ( B ^ K ) )
48		ge0div 10890	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ ( B ^ K ) e. RR /\ 0 < ( B ^ K ) ) -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / ( B ^ K ) ) ) )
49	29, 36, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ N <-> 0 <_ ( N / ( B ^ K ) ) ) )
50	43, 49	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> 0 <_ ( N / ( B ^ K ) ) )
51		dignn0ldlem 42396	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> N < ( B ^ K ) )
52	1	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
53		rpexpcl 12879	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. RR+ /\ K e. ZZ ) -> ( B ^ K ) e. RR+ )
54	52, 34, 53	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^ K ) e. RR+ )
55	54	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( B ^ K ) e. RR+ )
56		divlt1lt 11899	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ ( B ^ K ) e. RR+ ) -> ( ( N / ( B ^ K ) ) < 1 <-> N < ( B ^ K ) ) )
57	29, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( N / ( B ^ K ) ) < 1 <-> N < ( B ^ K ) ) )
58	51, 57	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( N / ( B ^ K ) ) < 1 )
59		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
60	10	rexri 10097	. . . . . . 7 |- 1 e. RR*
61	59, 60	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* )
62		elico2 12237	. . . . . 6 |- ( ( 0 e. RR /\ 1 e. RR* ) -> ( ( N / ( B ^ K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( N / ( B ^ K ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N / ( B ^ K ) ) /\ ( N / ( B ^ K ) ) < 1 ) ) )
63	61, 62	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( N / ( B ^ K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) <-> ( ( N / ( B ^ K ) ) e. RR /\ 0 <_ ( N / ( B ^ K ) ) /\ ( N / ( B ^ K ) ) < 1 ) ) )
64	40, 50, 58, 63	mpbir3and 1245	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( N / ( B ^ K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
65		ico01fl0 12620	. . . 4 |- ( ( N / ( B ^ K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) -> ( |_ ` ( N / ( B ^ K ) ) ) = 0 )
66	64, 65	syl 17	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( |_ ` ( N / ( B ^ K ) ) ) = 0 )
67	66	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` ( N / ( B ^ K ) ) ) mod B ) = ( 0 mod B ) )
68	52	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> B e. RR+ )
69		0mod 12701	. . 3 |- ( B e. RR+ -> ( 0 mod B ) = 0 )
70	68, 69	syl 17	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( 0 mod B ) = 0 )
71	28, 67, 70	3eqtrd 2660	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( B logb N ) ) + 1 ) ) ) -> ( K (digit ` B ) N ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   |_cfl 12591   mod cmo 12668   ^cexp 12860   log_b clogb 24502  digitcdig 42389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503  df-dig 42390

This theorem is referenced by:  dig2nn0ld  42398