Theorem esumpmono 30141

Description: The partial sums in an extended sum form a monotonic sequence. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumpmono.1	|- ( ph -> M e. NN )
esumpmono.2	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
esumpmono.3	|- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
esumpmono	|- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A <_ Σ* k e. ( 1 ... N ) A )

Distinct variable groups:   k, M   k, N   ph, k

Allowed substitution hint:   A( k)

Proof of Theorem esumpmono

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 12256	. . . . 5 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
2		ovexd 6680	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 ... M ) e. _V )
3		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... M ) -> k e. NN )
4		icossicc 12260	. . . . . . . . 9 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
5		esumpmono.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,) +oo ) )
6	4, 5	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
7	3, 6	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... M ) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
8	7	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... M ) A e. ( 0 [,] +oo ) )
9		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k ( 1 ... M )
10	9	esumcl 30092	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... M ) e. _V /\ A. k e. ( 1 ... M ) A e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. ( 0 [,] +oo ) )
11	2, 8, 10	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. ( 0 [,] +oo ) )
12	1, 11	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. RR* )
13		xrleid 11983	. . . 4 |- (Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. RR* -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A <_ Σ* k e. ( 1 ... M ) A )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A <_ Σ* k e. ( 1 ... M ) A )
15		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) ... N ) e. _V )
16		esumpmono.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. NN )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> M e. NN )
18		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. NN )
19		nnuz 11723	. . . . . . . . . . 11 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
20	18, 19	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21		fzss1 12380	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> ( ( M + 1 ) ... N ) C_ ( 1 ... N ) )
23		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( ( M + 1 ) ... N ) )
24	22, 23	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. ( 1 ... N ) )
25		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> k e. NN )
27	26, 6	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> A e. ( 0 [,] +oo ) )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. ( 0 [,] +oo ) )
29		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ k ( ( M + 1 ) ... N )
30	29	esumcl 30092	. . . . 5 |- ( ( ( ( M + 1 ) ... N ) e. _V /\ A. k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. ( 0 [,] +oo ) )
31	15, 28, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. ( 0 [,] +oo ) )
32		elxrge0 12281	. . . . 5 |- (Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. ( 0 [,] +oo ) <-> (Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. RR* /\ 0 <_ Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
33	32	simprbi 480	. . . 4 |- (Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A )
34	31, 33	syl 17	. . 3 |- ( ph -> 0 <_ Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A )
35		0xr 10086	. . . . 5 |- 0 e. RR*
36	35	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. RR* )
37	1, 31	sseldi 3601	. . . 4 |- ( ph -> Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. RR* )
38		xle2add 12089	. . . 4 |- ( ( (Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. RR* /\ 0 e. RR* ) /\ (Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. RR* /\ Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A e. RR* ) ) -> ( (Σ* k e. ( 1 ... M ) A <_ Σ* k e. ( 1 ... M ) A /\ 0 <_ Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) -> (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +e 0 ) <_ (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +eΣ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) ) )
39	12, 36, 12, 37, 38	syl22anc 1327	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ* k e. ( 1 ... M ) A <_ Σ* k e. ( 1 ... M ) A /\ 0 <_ Σ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) -> (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +e 0 ) <_ (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +eΣ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) ) )
40	14, 34, 39	mp2and 715	. 2 |- ( ph -> (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +e 0 ) <_ (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +eΣ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
41		xaddid1 12072	. . . 4 |- (Σ* k e. ( 1 ... M ) A e. RR* -> (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +e 0 ) = Σ* k e. ( 1 ... M ) A )
42	12, 41	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +e 0 ) = Σ* k e. ( 1 ... M ) A )
43	42	eqcomd 2628	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A = (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +e 0 ) )
44	16, 19	syl6eleq 2711	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 1 ) )
45		esumpmono.2	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
46		eluzfz 12337	. . . . 5 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> M e. ( 1 ... N ) )
47	44, 45, 46	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> M e. ( 1 ... N ) )
48		fzsplit 12367	. . . 4 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) )
49		esumeq1 30096	. . . 4 |- ( ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) -> Σ* k e. ( 1 ... N ) A = Σ* k e. ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) A )
50	47, 48, 49	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... N ) A = Σ* k e. ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) A )
51		nfv 1843	. . . 4 |- F/ k ph
52		nnre 11027	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
53	52	ltp1d 10954	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M < ( M + 1 ) )
54		fzdisj 12368	. . . . 5 |- ( M < ( M + 1 ) -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
55	16, 53, 54	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 1 ... M ) i^i ( ( M + 1 ) ... N ) ) = (/) )
56	51, 9, 29, 2, 15, 55, 7, 27	esumsplit 30115	. . 3 |- ( ph -> Σ* k e. ( ( 1 ... M ) u. ( ( M + 1 ) ... N ) ) A = (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +eΣ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
57	50, 56	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... N ) A = (Σ* k e. ( 1 ... M ) A +eΣ* k e. ( ( M + 1 ) ... N ) A ) )
58	40, 43, 57	3brtr4d 4685	1 |- ( ph -> Σ* k e. ( 1 ... M ) A <_ Σ* k e. ( 1 ... N ) A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by:  esumcvg  30148