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Theorem isosctrlem2 24549

Description: Lemma for isosctr 24551. Corresponds to the case where one vertex is at 0, another at 1 and the third lies on the unit circle. (Contributed by Saveliy Skresanov, 31-Dec-2016.)

**Assertion**
Ref	Expression
isosctrlem2	$/\$ $/\$

**Proof of Theorem isosctrlem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10056	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
2		simpl1 1064	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
3	1, 2	negsubd 10398	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
4		1rp 11836	. . . . . . . 8
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
6		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
7		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
8	1, 2, 1	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
9		1m1e0 11089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
10	9	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
11		df-neg 10269	. . . . . . . . . . . . . . . 16
12	10, 11	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	8, 12	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
14		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
15		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
16	14, 15	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
18		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
19		subeq0 10307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
20	18, 19	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
21	20	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
22	21	con3dimp 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
23	22	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
24	23	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
26	17, 25	recrecd 10798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
27	14, 16, 24	div2negd 10816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
28	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
29	15	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
30	29, 16, 24	cjdivd 13963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
31	15	cjnegd 13951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
33		abs0 14025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
34	32, 33	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
35		eqtr2 2642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$
36	34, 35	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
37		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
39	38	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
40	37, 39	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
41	36, 40	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
43		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
44		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
45		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
46	44, 45	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
48		absvalsq 14020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
50	47, 49	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$
51	50	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
53		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$
54	53	cjcld 13936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
55		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$
56	54, 53, 55	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$
57	52, 56	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
58	43, 57	syl3an3br 1367	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
59	42, 58	mpd3an3 1425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
60	59	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
61	60	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
62	61	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
63	31, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
64	63	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
65		cjsub 13889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$
66	18, 65	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
67		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
68	67	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
70	66, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
72	60	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
73	71, 72	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
74	73	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
75	74	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
76	30, 64, 75	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
77	41	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
78	77	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
79		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
80		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
81		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
82	79, 80, 81	divnegd 10814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
84	15, 78, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
85	14	negcld 10379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
86	85, 15, 78	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
87	15, 78	reccld 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
88	14, 87	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
89	16, 24	cjne0d 13943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
90	74, 89	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
91	86, 88, 15, 90, 78	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
92	85, 15, 78	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
93	15, 14, 87	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
94	15	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
95	15, 78	recidd 10796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
96	94, 95	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
97	93, 96	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
98	92, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
99	84, 91, 98	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
100		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
101	100	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
102		negsubdi2 10340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
103	102	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
104	101, 103	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
105	15, 14, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
106	105	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
107	76, 99, 106	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
109	29, 16, 24	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
111		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
112	110, 111	reim0bd 13940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
113	112	cjred 13966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
114	113, 112	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
115	108, 114	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
116	28, 115	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
117	16, 24	recne0d 10795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
119	116, 118	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
120	26, 119	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
121		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
122	120, 121	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
123	13, 122	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
124	2, 123	negrebd 10391	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
125	124	absord 14154	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
126		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13
127	126	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12
128		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13
129	128	biimpd 219	. . . . . . . . . . . 12
130	127, 129	orim12d 883	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
131	7, 125, 130	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
132	131	ord 392	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
133	6, 132	mpd 15	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
134	133, 5	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
135	5, 134	rpaddcld 11887	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
136	3, 135	eqeltrrd 2702	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
137	136	relogcld 24369	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	reim0d 13965	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
139	134, 136	rpdivcld 11889	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
140	139	relogcld 24369	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
141	140	reim0d 13965	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
142	138, 141	eqtr4d 2659	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
143	16, 24	logcld 24317	. . . . . 6 $/\$ $/\$
144	143	adantr 481	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
145	144	imcld 13935	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
146	145	recnd 10068	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
147	109	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
148	15, 78	negne0d 10390	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
149	29, 16, 148, 24	divne0d 10817	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
150	149	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
151	147, 150	logcld 24317	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
152	151	imcld 13935	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	recnd 10068	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
154	107	fveq2d 6195	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
155	154	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
156		logcj 24352	. . . . . . 7 $/\$
157	109, 156	sylan 488	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
158	16, 24	reccld 10794	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
159	158, 117	logcld 24317	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
160	159	negnegd 10383	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
161		isosctrlem1 24548	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
162		logrec 24501	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
163	16, 24, 161, 162	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
164	163	negeqd 10275	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
165	27	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
166	160, 164, 165	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
167	166	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
168	155, 157, 167	3eqtr3rd 2665	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
169	168	fveq2d 6195	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
170	144	imnegd 13950	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
171	151	imcjd 13945	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
172	169, 170, 171	3eqtr3d 2664	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
173	146, 153, 172	neg11d 10404	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
174	142, 173	pm2.61dane 2881	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

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caddc 9939

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crp 11832

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cim 13838

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cpi 14797

clog 24301

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-log 24303

This theorem is referenced by: isosctrlem3 24550

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