Theorem ioorrnopnlem 40524

Description: The a point in an indexed product of open intervals is contained in an open ball that is contained in the indexed product of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopnlem.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ioorrnopnlem.n	|- ( ph -> X =/= (/) )
ioorrnopnlem.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
ioorrnopnlem.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
ioorrnopnlem.f	|- ( ph -> F e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
ioorrnopnlem.h	|- H = ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
ioorrnopnlem.e	|- E = inf ( H , RR , < )
ioorrnopnlem.v	|- V = ( F ( ball ` D ) E )
ioorrnopnlem.d	|- D = ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopnlem	|- ( ph -> E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( F e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, g   v, A   B, g   v, B   D, g, i   g, E, i   g, F, i   v, F, i   v, V   f, X, g, k   i, X, v   ph, f, g, k   ph, i

Allowed substitution hints:   ph( v)   A( f, i, k)   B( f, i, k)   D( v, f, k)   E( v, f, k)   F( f, k)   H( v, f, g, i, k)   V( f, g, i, k)

Proof of Theorem ioorrnopnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorrnopnlem.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
2		ioorrnopnlem.d	. . . . 5 |- D = ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) )
3	1, 2	rrndsxmet 40523	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) )
4		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ i ph
5		reex 10027	. . . . . . 7 |- RR e. _V
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. _V )
7		ioossre 12235	. . . . . . 7 |- ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ RR
8	7	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ RR )
9	4, 6, 8	ixpssmapc 39243	. . . . 5 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ ( RR ^m X ) )
10		ioorrnopnlem.f	. . . . 5 |- ( ph -> F e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
11	9, 10	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( RR ^m X ) )
12		ioorrnopnlem.e	. . . . . 6 |- E = inf ( H , RR , < )
13		ioorrnopnlem.h	. . . . . . . . 9 |- H = ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H = ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) )
15		ioorrnopnlem.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B : X --> RR )
16	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( B ` i ) e. RR )
17	10	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> F e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
18		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> i e. X )
19		fvixp2 39389	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) /\ i e. X ) -> ( F ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
20	17, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( F ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
21	7, 20	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( F ` i ) e. RR )
22	16, 21	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) e. RR )
23		ioorrnopnlem.a	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A : X --> RR )
24	23	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( A ` i ) e. RR )
25	24	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( A ` i ) e. RR* )
26	16	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( B ` i ) e. RR* )
27		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ` i ) e. RR* /\ ( B ` i ) e. RR* /\ ( F ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) -> ( F ` i ) < ( B ` i ) )
28	25, 26, 20, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( F ` i ) < ( B ` i ) )
29	21, 16	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) < ( B ` i ) <-> 0 < ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ) )
30	28, 29	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 < ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) )
31	22, 30	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) e. RR+ )
32	21, 24	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) e. RR )
33		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ` i ) e. RR* /\ ( B ` i ) e. RR* /\ ( F ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) -> ( A ` i ) < ( F ` i ) )
34	25, 26, 20, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( A ` i ) < ( F ` i ) )
35	24, 21	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( A ` i ) < ( F ` i ) <-> 0 < ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
36	34, 35	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> 0 < ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) )
37	32, 36	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) e. RR+ )
38	31, 37	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. RR+ )
39	38	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. i e. X if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. RR+ )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) = ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
41	40	rnmptss 6392	. . . . . . . . 9 |- ( A. i e. X if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. RR+ -> ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) C_ RR+ )
42	39, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) C_ RR+ )
43	14, 42	eqsstrd 3639	. . . . . . 7 |- ( ph -> H C_ RR+ )
44		ltso 10118	. . . . . . . . 9 |- < Or RR
45	44	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> < Or RR )
46	40	rnmptfi 39351	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. Fin -> ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) e. Fin )
47	1, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) e. Fin )
48	13, 47	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H e. Fin )
49	38	elexd 3214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. _V )
50		ioorrnopnlem.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X =/= (/) )
51	4, 49, 40, 50	rnmptn0 39413	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) =/= (/) )
52	14, 51	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H =/= (/) )
53		rpssre 11843	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ RR
54	53	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR+ C_ RR )
55	43, 54	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> H C_ RR )
56		fiinfcl 8407	. . . . . . . 8 |- ( ( < Or RR /\ ( H e. Fin /\ H =/= (/) /\ H C_ RR ) ) -> inf ( H , RR , < ) e. H )
57	45, 48, 52, 55, 56	syl13anc 1328	. . . . . . 7 |- ( ph -> inf ( H , RR , < ) e. H )
58	43, 57	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ph -> inf ( H , RR , < ) e. RR+ )
59	12, 58	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> E e. RR+ )
60		rpxr 11840	. . . . 5 |- ( E e. RR+ -> E e. RR* )
61	59, 60	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> E e. RR* )
62		eqid 2622	. . . . 5 |- ( MetOpen ` D ) = ( MetOpen ` D )
63	62	blopn 22305	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) /\ F e. ( RR ^m X ) /\ E e. RR* ) -> ( F ( ball ` D ) E ) e. ( MetOpen ` D ) )
64	3, 11, 61, 63	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( F ( ball ` D ) E ) e. ( MetOpen ` D ) )
65		ioorrnopnlem.v	. . . . 5 |- V = ( F ( ball ` D ) E )
66	65	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> V = ( F ( ball ` D ) E ) )
67	1	rrxtopnfi 40506	. . . . 5 |- ( ph -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) = ( MetOpen ` ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
68	2	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = D
69	68	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) ) = D )
70	69	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( MetOpen ` D ) )
71	67, 70	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) = ( MetOpen ` D ) )
72	66, 71	eleq12d 2695	. . 3 |- ( ph -> ( V e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) <-> ( F ( ball ` D ) E ) e. ( MetOpen ` D ) ) )
73	64, 72	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> V e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )
74		xmetpsmet 22153	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` ( RR ^m X ) ) -> D e. (PsMet ` ( RR ^m X ) ) )
75	3, 74	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> D e. (PsMet ` ( RR ^m X ) ) )
76		blcntrps 22217	. . . . 5 |- ( ( D e. (PsMet ` ( RR ^m X ) ) /\ F e. ( RR ^m X ) /\ E e. RR+ ) -> F e. ( F ( ball ` D ) E ) )
77	75, 11, 59, 76	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( F ( ball ` D ) E ) )
78	66	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( ball ` D ) E ) = V )
79	77, 78	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> F e. V )
80		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ g ph
81		elmapfn 7880	. . . . . . . 8 |- ( g e. ( RR ^m X ) -> g Fn X )
82	81	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) -> g Fn X )
83	25	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( A ` i ) e. RR* )
84	26	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( B ` i ) e. RR* )
85		simpl2 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> g e. ( RR ^m X ) )
86		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> i e. X )
87		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g e. ( RR ^m X ) -> g : X --> RR )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( RR ^m X ) /\ i e. X ) -> g : X --> RR )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g e. ( RR ^m X ) /\ i e. X ) -> i e. X )
90	88, 89	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( RR ^m X ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) e. RR )
91	85, 86, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) e. RR )
92	24	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( A ` i ) e. RR )
93	53, 59	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> E e. RR )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> E e. RR )
95	21, 94	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - E ) e. RR )
96	95	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - E ) e. RR )
97	53, 38	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. RR )
98	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> E = inf ( H , RR , < ) )
99		infxrrefi 39601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( H C_ RR /\ H e. Fin /\ H =/= (/) ) -> inf ( H , RR* , < ) = inf ( H , RR , < ) )
100	55, 48, 52, 99	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> inf ( H , RR* , < ) = inf ( H , RR , < ) )
101	100	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> inf ( H , RR , < ) = inf ( H , RR* , < ) )
102	98, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> E = inf ( H , RR* , < ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> E = inf ( H , RR* , < ) )
104		ressxr 10083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- RR C_ RR*
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> RR C_ RR* )
106	55, 105	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> H C_ RR* )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> H C_ RR* )
108	40	elrnmpt1 5374	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. X /\ if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. _V ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) )
109	18, 49, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. ran ( i e. X |-> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) ) )
110	109, 13	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. H )
111		infxrlb 12164	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( H C_ RR* /\ if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) e. H ) -> inf ( H , RR* , < ) <_ if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
112	107, 110, 111	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> inf ( H , RR* , < ) <_ if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
113	103, 112	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> E <_ if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) )
114		min2 12021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) e. RR /\ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) e. RR ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) )
115	22, 32, 114	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) )
116	94, 97, 32, 113, 115	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> E <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) )
117	94, 21, 24, 116	lesubd 10631	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( A ` i ) <_ ( ( F ` i ) - E ) )
118	117	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( A ` i ) <_ ( ( F ` i ) - E ) )
119	21	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( F ` i ) e. RR )
120	90	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) e. RR )
121	119, 120	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) e. RR )
122	121	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) e. RR )
123	1, 2	rrndsmet 40522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. ( Met ` ( RR ^m X ) ) )
124	123	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> D e. ( Met ` ( RR ^m X ) ) )
125	11	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> F e. ( RR ^m X ) )
126		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> g e. ( RR ^m X ) )
127		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( Met ` ( RR ^m X ) ) /\ F e. ( RR ^m X ) /\ g e. ( RR ^m X ) ) -> ( F D g ) e. RR )
128	124, 125, 126, 127	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( F D g ) e. RR )
129	128	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( F D g ) e. RR )
130	94	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> E e. RR )
131	130	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> E e. RR )
132	121	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) e. CC )
133	132	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) ) e. RR )
134	121	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) ) )
135	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> X e. Fin )
136		ixpf 7930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) -> F : X --> U_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
137	10, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> F : X --> U_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
138	8	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A. i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ RR )
139		iunss 4561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( U_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ RR <-> A. i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ RR )
140	138, 139	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) C_ RR )
141	137, 140	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : X --> RR )
142	141	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> F : X --> RR )
143	126, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> g : X --> RR )
144		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> i e. X )
145		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( dist ` (ℝ^ ` X ) )
146	135, 142, 143, 144, 145	rrnprjdstle 40521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) ) <_ ( F ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) g ) )
147		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (ℝ^ ` X ) = (ℝ^ ` X )
148		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( RR ^m X ) = ( RR ^m X )
149	147, 148	rrxdsfi 40505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. Fin -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
150	1, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = ( f e. ( RR ^m X ) , g e. ( RR ^m X ) |-> ( sqr ` sum_ k e. X ( ( ( f ` k ) - ( g ` k ) ) ^ 2 ) ) ) )
151	150, 69	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) = D )
152	151	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( F ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) g ) = ( F D g ) )
153	152	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( F ( dist ` (ℝ^ ` X ) ) g ) = ( F D g ) )
154	146, 153	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) ) <_ ( F D g ) )
155	121, 133, 128, 134, 154	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) <_ ( F D g ) )
156	155	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) <_ ( F D g ) )
157		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( F D g ) < E )
158	122, 129, 131, 156, 157	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) < E )
159		ltsub23 10508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` i ) e. RR /\ ( g ` i ) e. RR /\ E e. RR ) -> ( ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) < E <-> ( ( F ` i ) - E ) < ( g ` i ) ) )
160	119, 120, 130, 159	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) < E <-> ( ( F ` i ) - E ) < ( g ` i ) ) )
161	160	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) < E <-> ( ( F ` i ) - E ) < ( g ` i ) ) )
162	158, 161	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) - E ) < ( g ` i ) )
163	92, 96, 91, 118, 162	lelttrd 10195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( A ` i ) < ( g ` i ) )
164	21, 94	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) + E ) e. RR )
165	164	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) + E ) e. RR )
166	16	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( B ` i ) e. RR )
167	120, 119	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) e. RR )
168	167	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) e. RR )
169	167	leabsd 14153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( abs ` ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) ) )
170	120	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) e. CC )
171	119	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( F ` i ) e. CC )
172	170, 171	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( abs ` ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) ) = ( abs ` ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) ) )
173	169, 172	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( abs ` ( ( F ` i ) - ( g ` i ) ) ) )
174	167, 133, 128, 173, 154	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( F D g ) )
175	174	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( F D g ) )
176	168, 129, 131, 175, 157	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) < E )
177	119	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( F ` i ) e. RR )
178	91, 177, 131	ltsubadd2d 10625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( ( g ` i ) - ( F ` i ) ) < E <-> ( g ` i ) < ( ( F ` i ) + E ) ) )
179	176, 178	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) < ( ( F ` i ) + E ) )
180		min1 12020	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) e. RR /\ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) e. RR ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) <_ ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) )
181	22, 32, 180	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> if ( ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) <_ ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) , ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) , ( ( F ` i ) - ( A ` i ) ) ) <_ ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) )
182	94, 97, 22, 113, 181	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> E <_ ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) )
183	21, 94, 16	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( ( F ` i ) + E ) <_ ( B ` i ) <-> E <_ ( ( B ` i ) - ( F ` i ) ) ) )
184	182, 183	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) + E ) <_ ( B ` i ) )
185	184	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( ( F ` i ) + E ) <_ ( B ` i ) )
186	91, 165, 166, 179, 185	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) < ( B ` i ) )
187	83, 84, 91, 163, 186	eliood 39720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) /\ i e. X ) -> ( g ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
188	187	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) -> A. i e. X ( g ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
189	82, 188	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) -> ( g Fn X /\ A. i e. X ( g ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
190		vex 3203	. . . . . . 7 |- g e. _V
191	190	elixp 7915	. . . . . 6 |- ( g e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) <-> ( g Fn X /\ A. i e. X ( g ` i ) e. ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
192	189, 191	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ g e. ( RR ^m X ) /\ ( F D g ) < E ) -> g e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
193	80, 75, 11, 61, 192	ballss3 39270	. . . 4 |- ( ph -> ( F ( ball ` D ) E ) C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
194	66, 193	eqsstrd 3639	. . 3 |- ( ph -> V C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
195	79, 194	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( F e. V /\ V C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
196		eleq2 2690	. . . 4 |- ( v = V -> ( F e. v <-> F e. V ) )
197		sseq1 3626	. . . 4 |- ( v = V -> ( v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) <-> V C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
198	196, 197	anbi12d 747	. . 3 |- ( v = V -> ( ( F e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) <-> ( F e. V /\ V C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) ) )
199	198	rspcev 3309	. 2 |- ( ( V e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) /\ ( F e. V /\ V C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( F e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
200	73, 195, 199	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( F e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   sum_csu 14416   distcds 15950   TopOpenctopn 16082  PsMetcpsmet 19730   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-nm 22387  df-tng 22389  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  ioorrnopn  40525