Theorem ioorrnopnxr 40527

Description: The indexed product of open intervals is an open set in (ℝ^ ` X ). Similar to ioorrnopn 40525 but here unbounded intervals are allowed. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ioorrnopnxr.x	|- ( ph -> X e. Fin )
ioorrnopnxr.a	|- ( ph -> A : X --> RR* )
ioorrnopnxr.b	|- ( ph -> B : X --> RR* )

Assertion

Ref	Expression
ioorrnopnxr	|- ( ph -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )

Distinct variable groups:   A, i   B, i   i, X   ph, i

Proof of Theorem ioorrnopnxr

Dummy variables f j v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p0ex 4853	. . . . . 6 |- { (/) } e. _V
2	1	prid2 4298	. . . . 5 |- { (/) } e. { (/) , { (/) } }
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( X = (/) -> { (/) } e. { (/) , { (/) } } )
4		ixpeq1 7919	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) = X_ i e. (/) ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
5		ixp0x 7936	. . . . . . 7 |- X_ i e. (/) ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) = { (/) }
6	5	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> X_ i e. (/) ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) = { (/) } )
7	4, 6	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( X = (/) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) = { (/) } )
8		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( X = (/) -> (ℝ^ ` X ) = (ℝ^ ` (/) ) )
9	8	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) = ( TopOpen ` (ℝ^ ` (/) ) ) )
10		rrxtopn0b 40516	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` (ℝ^ ` (/) ) ) = { (/) , { (/) } }
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( X = (/) -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` (/) ) ) = { (/) , { (/) } } )
12	9, 11	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( X = (/) -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) = { (/) , { (/) } } )
13	7, 12	eleq12d 2695	. . . 4 |- ( X = (/) -> ( X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) <-> { (/) } e. { (/) , { (/) } } ) )
14	3, 13	mpbird 247	. . 3 |- ( X = (/) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )
15	14	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ X = (/) ) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )
16		neqne 2802	. . . 4 |- ( -. X = (/) -> X =/= (/) )
17	16	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X =/= (/) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( A ` i ) = ( A ` j ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
20	18, 19	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) = ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) )
21	20	cbvixpv 7926	. . . . . . . . 9 |- X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) = X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) )
22	21	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) <-> f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) )
23	22	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) -> f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) )
24	23	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) -> f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) )
25		ioorrnopnxr.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. Fin )
26	25	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) ) -> X e. Fin )
27		ioorrnopnxr.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : X --> RR* )
28	27	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) ) -> A : X --> RR* )
29		ioorrnopnxr.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B : X --> RR* )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) ) -> B : X --> RR* )
31	22	biimpri 218	. . . . . . . 8 |- ( f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) -> f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) ) -> f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( A ` j ) = ( A ` i ) )
34	33	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( A ` j ) = -oo <-> ( A ` i ) = -oo ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( f ` j ) = ( f ` i ) )
36	35	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( f ` j ) - 1 ) = ( ( f ` i ) - 1 ) )
37	34, 36, 33	ifbieq12d 4113	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> if ( ( A ` j ) = -oo , ( ( f ` j ) - 1 ) , ( A ` j ) ) = if ( ( A ` i ) = -oo , ( ( f ` i ) - 1 ) , ( A ` i ) ) )
38	37	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( j e. X |-> if ( ( A ` j ) = -oo , ( ( f ` j ) - 1 ) , ( A ` j ) ) ) = ( i e. X |-> if ( ( A ` i ) = -oo , ( ( f ` i ) - 1 ) , ( A ` i ) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( j = i -> ( B ` j ) = ( B ` i ) )
40	39	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( B ` j ) = +oo <-> ( B ` i ) = +oo ) )
41	35	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( j = i -> ( ( f ` j ) + 1 ) = ( ( f ` i ) + 1 ) )
42	40, 41, 39	ifbieq12d 4113	. . . . . . . 8 |- ( j = i -> if ( ( B ` j ) = +oo , ( ( f ` j ) + 1 ) , ( B ` j ) ) = if ( ( B ` i ) = +oo , ( ( f ` i ) + 1 ) , ( B ` i ) ) )
43	42	cbvmptv 4750	. . . . . . 7 |- ( j e. X |-> if ( ( B ` j ) = +oo , ( ( f ` j ) + 1 ) , ( B ` j ) ) ) = ( i e. X |-> if ( ( B ` i ) = +oo , ( ( f ` i ) + 1 ) , ( B ` i ) ) )
44		eqid 2622	. . . . . . 7 |- X_ i e. X ( ( ( j e. X |-> if ( ( A ` j ) = -oo , ( ( f ` j ) - 1 ) , ( A ` j ) ) ) ` i ) (,) ( ( j e. X |-> if ( ( B ` j ) = +oo , ( ( f ` j ) + 1 ) , ( B ` j ) ) ) ` i ) ) = X_ i e. X ( ( ( j e. X |-> if ( ( A ` j ) = -oo , ( ( f ` j ) - 1 ) , ( A ` j ) ) ) ` i ) (,) ( ( j e. X |-> if ( ( B ` j ) = +oo , ( ( f ` j ) + 1 ) , ( B ` j ) ) ) ` i ) )
45	26, 28, 30, 32, 38, 43, 44	ioorrnopnxrlem 40526	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ j e. X ( ( A ` j ) (,) ( B ` j ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( f e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
46	24, 45	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ X =/= (/) ) /\ f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) -> E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( f e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
47	46	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> A. f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( f e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) )
48		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) = ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) )
49	48	rrxtop 40509	. . . . . . 7 |- ( X e. Fin -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) e. Top )
50	25, 49	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) e. Top )
51	50	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) e. Top )
52		eltop2 20779	. . . . 5 |- ( ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) e. Top -> ( X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) <-> A. f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( f e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) ) )
53	51, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> ( X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) <-> A. f e. X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) E. v e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) ( f e. v /\ v C_ X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) ) ) )
54	47, 53	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= (/) ) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )
55	17, 54	syldan 487	. 2 |- ( ( ph /\ -. X = (/) ) -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )
56	15, 55	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> X_ i e. X ( ( A ` i ) (,) ( B ` i ) ) e. ( TopOpen ` (ℝ^ ` X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   X_cixp 7908   Fincfn 7955   1c1 9937   + caddc 9939   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   - cmin 10266   (,)cioo 12175   TopOpenctopn 16082   Topctop 20698  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-phl 19971  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  ioovonmbl  40891