Theorem pmeasadd 30387

Description: A premeasure on a ring of sets is additive on disjoint countable collections. This is called sigma-additivity. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
caraext.1	|- ( ph -> P : R --> ( 0 [,] +oo ) )
caraext.2	|- ( ph -> ( P ` (/) ) = 0 )
caraext.3	|- ( ( ph /\ ( x ~<_ om /\ x C_ R /\ Disj y e. x y ) ) -> ( P ` U. x ) = Σ* y e. x ( P ` y ) )
pmeassubadd.q	|- Q = { s e. ~P ~P O | ( (/) e. s /\ A. x e. s A. y e. s ( ( x u. y ) e. s /\ ( x \ y ) e. s ) ) }
pmeassubadd.1	|- ( ph -> R e. Q )
pmeassubadd.2	|- ( ph -> A ~<_ om )
pmeassubadd.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. R )
pmeasadd.4	|- ( ph -> Disj k e. A B )

Assertion

Ref	Expression
pmeasadd	|- ( ph -> ( P ` U_ k e. A B ) = Σ* k e. A ( P ` B ) )

Distinct variable groups:   x, P, y   x, R, y   ph, x, y   A, k, x, y   x, B, y   P, k   R, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( s)   A( s)   B( k, s)   P( s)   Q( x, y, k, s)   R( s)   O( x, y, k, s)

Proof of Theorem pmeasadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmeassubadd.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. R )
2	1	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. A B e. R )
3		dfiun3g 5378	. . . 4 |- ( A. k e. A B e. R -> U_ k e. A B = U. ran ( k e. A |-> B ) )
4	2, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U_ k e. A B = U. ran ( k e. A |-> B ) )
5	4	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( P ` U_ k e. A B ) = ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) )
6		pmeassubadd.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A ~<_ om )
7		mptct 9360	. . . . . 6 |- ( A ~<_ om -> ( k e. A |-> B ) ~<_ om )
8		rnct 9347	. . . . . 6 |- ( ( k e. A |-> B ) ~<_ om -> ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om )
9	6, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om )
10		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
11	10	rnmptss 6392	. . . . . 6 |- ( A. k e. A B e. R -> ran ( k e. A |-> B ) C_ R )
12	2, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( k e. A |-> B ) C_ R )
13		pmeasadd.4	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj k e. A B )
14		disjrnmpt 29398	. . . . . 6 |- (Disj k e. A B -> Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y )
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y )
16	9, 12, 15	3jca 1242	. . . 4 |- ( ph -> ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) )
17	16	ancli 574	. . 3 |- ( ph -> ( ph /\ ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) ) )
18		ctex 7970	. . . . 5 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
19		mptexg 6484	. . . . 5 |- ( A e. _V -> ( k e. A |-> B ) e. _V )
20	6, 18, 19	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) e. _V )
21		rnexg 7098	. . . 4 |- ( ( k e. A |-> B ) e. _V -> ran ( k e. A |-> B ) e. _V )
22		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( x ~<_ om <-> ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om ) )
23		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( x C_ R <-> ran ( k e. A |-> B ) C_ R ) )
24		disjeq1 4627	. . . . . . . 8 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> (Disj y e. x y <-> Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) )
25	22, 23, 24	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( ( x ~<_ om /\ x C_ R /\ Disj y e. x y ) <-> ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) ) )
26	25	anbi2d 740	. . . . . 6 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( ( ph /\ ( x ~<_ om /\ x C_ R /\ Disj y e. x y ) ) <-> ( ph /\ ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) ) ) )
27		unieq 4444	. . . . . . . 8 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> U. x = U. ran ( k e. A |-> B ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( P ` U. x ) = ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) )
29		esumeq1 30096	. . . . . . 7 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> Σ* y e. x ( P ` y ) = Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) )
30	28, 29	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( ( P ` U. x ) = Σ* y e. x ( P ` y ) <-> ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) = Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) ) )
31	26, 30	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( x = ran ( k e. A |-> B ) -> ( ( ( ph /\ ( x ~<_ om /\ x C_ R /\ Disj y e. x y ) ) -> ( P ` U. x ) = Σ* y e. x ( P ` y ) ) <-> ( ( ph /\ ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) ) -> ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) = Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) ) ) )
32		caraext.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x ~<_ om /\ x C_ R /\ Disj y e. x y ) ) -> ( P ` U. x ) = Σ* y e. x ( P ` y ) )
33	31, 32	vtoclg 3266	. . . 4 |- ( ran ( k e. A |-> B ) e. _V -> ( ( ph /\ ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) ) -> ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) = Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) ) )
34	20, 21, 33	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( ( ph /\ ( ran ( k e. A |-> B ) ~<_ om /\ ran ( k e. A |-> B ) C_ R /\ Disj y e. ran ( k e. A |-> B ) y ) ) -> ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) = Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) ) )
35	17, 34	mpd 15	. 2 |- ( ph -> ( P ` U. ran ( k e. A |-> B ) ) = Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) )
36		fveq2 6191	. . 3 |- ( y = B -> ( P ` y ) = ( P ` B ) )
37	6, 18	syl 17	. . 3 |- ( ph -> A e. _V )
38		caraext.1	. . . . 5 |- ( ph -> P : R --> ( 0 [,] +oo ) )
39	38	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P : R --> ( 0 [,] +oo ) )
40	39, 1	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( P ` B ) e. ( 0 [,] +oo ) )
41		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( P ` B ) = ( P ` (/) ) )
42	41	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> ( P ` B ) = ( P ` (/) ) )
43		caraext.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( P ` (/) ) = 0 )
44	43	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> ( P ` (/) ) = 0 )
45	42, 44	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( ( ph /\ k e. A ) /\ B = (/) ) -> ( P ` B ) = 0 )
46	36, 37, 40, 1, 45, 13	esumrnmpt2 30130	. 2 |- ( ph -> Σ* y e. ran ( k e. A |-> B ) ( P ` y ) = Σ* k e. A ( P ` B ) )
47	5, 35, 46	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( P ` U_ k e. A B ) = Σ* k e. A ( P ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   0cc0 9936   +oocpnf 10071   [,]cicc 12178  Σ^*cesum 30089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090

This theorem is referenced by: (None)