Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrvsum Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem rrvsum 30516
Description: An indexed sum of random variables is a random variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rrvsum.1 |- ( ph -> P e. Prob )
rrvsum.2 |- ( ph -> X : NN --> (rRndVar ` P ) )
rrvsum.3 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> S = ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) )
Assertion
Ref Expression
rrvsum |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> S e. (rRndVar ` P ) )
Proof of Theorem rrvsum
Dummy variables k n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrvsum.3 . 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> S = ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) )
2 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( k = 1 -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) = ( seq 1 ( oF + , X ) ` 1 ) )
32eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( k = 1 -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) <-> ( seq 1 ( oF + , X ) ` 1 ) e. (rRndVar ` P ) ) )
43imbi2d 330 . . . 4 |- ( k = 1 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` 1 ) e. (rRndVar ` P ) ) ) )
5 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( k = n -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) = ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) )
65eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( k = n -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) <-> ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) )
76imbi2d 330 . . . 4 |- ( k = n -> ( ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) ) )
8 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) = ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) )
98eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) <-> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) ) )
109imbi2d 330 . . . 4 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) ) ) )
11 fveq2 6191 . . . . . 6 |- ( k = N -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) = ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) )
1211eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( k = N -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) <-> ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) e. (rRndVar ` P ) ) )
1312imbi2d 330 . . . 4 |- ( k = N -> ( ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` k ) e. (rRndVar ` P ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) e. (rRndVar ` P ) ) ) )
14 1z 11407 . . . . . 6 |- 1 e. ZZ
15 seq1 12814 . . . . . 6 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` 1 ) = ( X ` 1 ) )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5 |- ( seq 1 ( oF + , X ) ` 1 ) = ( X ` 1 )
17 1nn 11031 . . . . . 6 |- 1 e. NN
18 rrvsum.2 . . . . . . 7 |- ( ph -> X : NN --> (rRndVar ` P ) )
1918ffvelrnda 6359 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ 1 e. NN ) -> ( X ` 1 ) e. (rRndVar ` P ) )
2017, 19mpan2 707 . . . . 5 |- ( ph -> ( X ` 1 ) e. (rRndVar ` P ) )
2116, 20syl5eqel 2705 . . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` 1 ) e. (rRndVar ` P ) )
22 seqp1 12816 . . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) oF + ( X ` ( n + 1 ) ) ) )
23 nnuz 11723 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2422, 23eleq2s 2719 . . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) oF + ( X ` ( n + 1 ) ) ) )
2524ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) oF + ( X ` ( n + 1 ) ) ) )
26 rrvsum.1 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. Prob )
2726ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> P e. Prob )
28 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) )
29 peano2nn 11032 . . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
3018ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( X ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) )
3129, 30sylan2 491 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( X ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) )
3231adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> ( X ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) )
3327, 28, 32rrvadd 30514 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) oF + ( X ` ( n + 1 ) ) ) e. (rRndVar ` P ) )
3425, 33eqeltrd 2701 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) )
3534ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) ) )
3635expcom 451 . . . . 5 |- ( n e. NN -> ( ph -> ( ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) ) ) )
3736a2d 29 . . . 4 |- ( n e. NN -> ( ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` n ) e. (rRndVar ` P ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` ( n + 1 ) ) e. (rRndVar ` P ) ) ) )
384, 7, 10, 13, 21, 37nnind 11038 . . 3 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) e. (rRndVar ` P ) ) )
3938impcom 446 . 2 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( seq 1 ( oF + , X ) ` N ) e. (rRndVar ` P ) )
401, 39eqeltrd 2701 1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> S e. (rRndVar ` P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-fcls 21745  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-cfil 23053  df-cmet 23055  df-cms 23132  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-sx 30252  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator