Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonsn Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem vonsn 40905
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of a singleton is zero. This is the first statement in Proposition 115G (e) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonsn.1  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
vonsn.2  |-  ( ph  ->  A  e.  ( RR 
^m  X ) )
Assertion
Ref Expression
vonsn  |-  ( ph  ->  ( (voln `  X
) `  { A } )  =  0 )

Proof of Theorem vonsn
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6191 . . . . 5  |-  ( X  =  (/)  ->  (voln `  X )  =  (voln `  (/) ) )
21fveq1d 6193 . . . 4  |-  ( X  =  (/)  ->  ( (voln `  X ) `  { A } )  =  ( (voln `  (/) ) `  { A } ) )
32adantl 482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln `  X ) `  { A } )  =  ( (voln `  (/) ) `  { A } ) )
4 0fin 8188 . . . . . 6  |-  (/)  e.  Fin
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  (/)  e.  Fin )
6 vonsn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  ( RR 
^m  X ) )
76adantr 481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A  e.  ( RR  ^m  X ) )
8 oveq2 6658 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( RR 
^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
98adantl 482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( RR  ^m  X )  =  ( RR  ^m  (/) ) )
107, 9eleqtrd 2703 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  A  e.  ( RR  ^m  (/) ) )
115, 10snvonmbl 40900 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  { A }  e.  dom  (voln `  (/) ) )
1211von0val 40885 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln `  (/) ) `  { A } )  =  0 )
133, 12eqtrd 2656 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  =  (/) )  ->  ( (voln `  X ) `  { A } )  =  0 )
14 neqne 2802 . . . 4  |-  ( -.  X  =  (/)  ->  X  =/=  (/) )
1514adantl 482 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
166rrxsnicc 40520 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k )
)  =  { A } )
1716eqcomd 2628 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { A }  =  X_ k  e.  X  ( ( A `  k
) [,] ( A `
 k ) ) )
1817fveq2d 6195 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (voln `  X
) `  { A } )  =  ( (voln `  X ) `  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k )
) ) )
1918adantr 481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (voln `  X ) `  { A } )  =  ( (voln `  X ) `  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k )
) ) )
20 vonsn.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
2120adantr 481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  e.  Fin )
22 simpr 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  X  =/=  (/) )
23 elmapi 7879 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( RR  ^m  X )  ->  A : X --> RR )
246, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : X --> RR )
2524adantr 481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  A : X
--> RR )
26 eqid 2622 . . . . 5  |-  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k
) )  =  X_ k  e.  X  (
( A `  k
) [,] ( A `
 k ) )
2721, 22, 25, 25, 26vonn0icc 40902 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (voln `  X ) `  X_ k  e.  X  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k
) ) )  = 
prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k ) ) ) )
2824ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR )
2928rexrd 10089 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( A `  k )  e.  RR* )
30 iccid 12220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A `  k )  e.  RR*  ->  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k ) )  =  { ( A `  k ) } )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  (
( A `  k
) [,] ( A `
 k ) )  =  { ( A `
 k ) } )
3231fveq2d 6195 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,] ( A `  k
) ) )  =  ( vol `  {
( A `  k
) } ) )
33 volsn 40183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A `  k )  e.  RR  ->  ( vol `  { ( A `
 k ) } )  =  0 )
3428, 33syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  { ( A `
 k ) } )  =  0 )
3532, 34eqtrd 2656 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  X )  ->  ( vol `  ( ( A `
 k ) [,] ( A `  k
) ) )  =  0 )
3635prodeq2dv 14653 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  ( ( A `  k ) [,] ( A `  k ) ) )  =  prod_ k  e.  X 
0 )
3736adantr 481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,] ( A `
 k ) ) )  =  prod_ k  e.  X  0 )
38 0cnd 10033 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  e.  CC )
39 fprodconst 14708 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  0  e.  CC )  ->  prod_ k  e.  X 
0  =  ( 0 ^ ( # `  X
) ) )
4020, 38, 39syl2anc 693 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  prod_ k  e.  X 
0  =  ( 0 ^ ( # `  X
) ) )
4140adantr 481 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  0  =  ( 0 ^ ( # `  X ) ) )
42 hashnncl 13157 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
4320, 42syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
4443adantr 481 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( ( # `
 X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
4522, 44mpbird 247 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
46 0exp 12895 . . . . . 6  |-  ( (
# `  X )  e.  NN  ->  ( 0 ^ ( # `  X
) )  =  0 )
4745, 46syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( 0 ^ ( # `  X
) )  =  0 )
4837, 41, 473eqtrd 2660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  prod_ k  e.  X  ( vol `  (
( A `  k
) [,] ( A `
 k ) ) )  =  0 )
4919, 27, 483eqtrd 2660 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =/=  (/) )  ->  ( (voln `  X ) `  { A } )  =  0 )
5015, 49syldan 487 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  X  =  (/) )  ->  (
(voln `  X ) `  { A } )  =  0 )
5113, 50pm2.61dan 832 1  |-  ( ph  ->  ( (voln `  X
) `  { A } )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 196    /\ wa 384    = wceq 1483    e. wcel 1990    =/= wne 2794   (/)c0 3915   {csn 4177   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650    ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   NNcn 11020   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   #chash 13117   prod_cprod 14635   volcvol 23232  volncvoln 40752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-pws 16110  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022  df-lvec 19103  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-phl 19971  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-cncf 22681  df-clm 22863  df-cph 22968  df-tch 22969  df-rrx 23173  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-salg 40529  df-sumge0 40580  df-mea 40667  df-ome 40704  df-caragen 40706  df-ovoln 40751  df-voln 40753
This theorem is referenced by:  vonct  40907
  Copyright terms: Public domain W3C validator