wallispi2lem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem wallispi2lem1 40288

Description: An intermediate step between the first version of the Wallis' formula for π and the second version of Wallis' formula. This second version will then be used to prove Stirling's approximation formula for the factorial. (Contributed by Glauco Siliprandi, 30-Jun-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
wallispi2lem1

Proof of Theorem wallispi2lem1 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . 3
2		oveq2 6658	. . . . . 6
3	2	oveq1d 6665	. . . . 5
4	3	oveq2d 6666	. . . 4
5		fveq2 6191	. . . 4
6	4, 5	oveq12d 6668	. . 3
7	1, 6	eqeq12d 2637	. 2
8		fveq2 6191	. . 3
9		oveq2 6658	. . . . . 6
10	9	oveq1d 6665	. . . . 5
11	10	oveq2d 6666	. . . 4
12		fveq2 6191	. . . 4
13	11, 12	oveq12d 6668	. . 3
14	8, 13	eqeq12d 2637	. 2
15		fveq2 6191	. . 3
16		oveq2 6658	. . . . . 6
17	16	oveq1d 6665	. . . . 5
18	17	oveq2d 6666	. . . 4
19		fveq2 6191	. . . 4
20	18, 19	oveq12d 6668	. . 3
21	15, 20	eqeq12d 2637	. 2
22		fveq2 6191	. . 3
23		oveq2 6658	. . . . . 6
24	23	oveq1d 6665	. . . . 5
25	24	oveq2d 6666	. . . 4
26		fveq2 6191	. . . 4
27	25, 26	oveq12d 6668	. . 3
28	22, 27	eqeq12d 2637	. 2
29		1z 11407	. . . 4
30		seq1 12814	. . . 4
31	29, 30	ax-mp 5	. . 3
32		1nn 11031	. . . 4
33		oveq2 6658	. . . . . . 7
34	33	oveq1d 6665	. . . . . . 7
35	33, 34	oveq12d 6668	. . . . . 6
36	33	oveq1d 6665	. . . . . . 7
37	33, 36	oveq12d 6668	. . . . . 6
38	35, 37	oveq12d 6668	. . . . 5
39		eqid 2622	. . . . 5
40		ovex 6678	. . . . 5
41	38, 39, 40	fvmpt 6282	. . . 4
42	32, 41	ax-mp 5	. . 3
43		2t1e2 11176	. . . . . . 7
44	43	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
45		2m1e1 11135	. . . . . . . 8
46	44, 45	eqtri 2644	. . . . . . 7
47	43, 46	oveq12i 6662	. . . . . 6
48	43	oveq1i 6660	. . . . . . . 8
49		2p1e3 11151	. . . . . . . 8
50	48, 49	eqtri 2644	. . . . . . 7
51	43, 50	oveq12i 6662	. . . . . 6
52	47, 51	oveq12i 6662	. . . . 5
53		2cn 11091	. . . . . 6
54		ax-1cn 9994	. . . . . 6
55		3cn 11095	. . . . . 6
56		ax-1ne0 10005	. . . . . 6
57		3ne0 11115	. . . . . 6
58	53, 54, 53, 55, 56, 57	divmuldivi 10785	. . . . 5
59		2t2e4 11177	. . . . . 6
60	55	mulid2i 10043	. . . . . 6
61	59, 60	oveq12i 6662	. . . . 5
62	52, 58, 61	3eqtri 2648	. . . 4
63		4cn 11098	. . . . 5
64		divrec2 10702	. . . . 5 $/\$ $/\$
65	63, 55, 57, 64	mp3an 1424	. . . 4
66	50	eqcomi 2631	. . . . . 6
67	66	oveq2i 6661	. . . . 5
68		seq1 12814	. . . . . . . 8
69	29, 68	ax-mp 5	. . . . . . 7
70	33	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
71	33, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
73	70, 72	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
74		eqid 2622	. . . . . . . . 9
75		ovex 6678	. . . . . . . . 9
76	73, 74, 75	fvmpt 6282	. . . . . . . 8
77	32, 76	ax-mp 5	. . . . . . 7
78	43	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
79	43, 46	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . 11
80	79, 43	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10
81	80	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
82	78, 81	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
83		2exp4 15794	. . . . . . . . . 10 ;
84		sq2 12960	. . . . . . . . . 10
85	83, 84	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 ;
86		4t4e16 11633	. . . . . . . . . . 11 ;
87	86	eqcomi 2631	. . . . . . . . . 10 ;
88	87	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 ;
89		4ne0 11117	. . . . . . . . . 10
90	63, 63, 89	divcan3i 10771	. . . . . . . . 9
91	85, 88, 90	3eqtri 2648	. . . . . . . 8
92	82, 91	eqtri 2644	. . . . . . 7
93	69, 77, 92	3eqtri 2648	. . . . . 6
94	93	eqcomi 2631	. . . . 5
95	67, 94	oveq12i 6662	. . . 4
96	62, 65, 95	3eqtri 2648	. . 3
97	31, 42, 96	3eqtri 2648	. 2
98		elnnuz 11724	. . . . . . 7
99	98	biimpi 206	. . . . . 6
100	99	adantr 481	. . . . 5 $/\$
101		seqp1 12816	. . . . 5
102	100, 101	syl 17	. . . 4 $/\$
103		simpr 477	. . . . 5 $/\$
104	103	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$
105		eqidd 2623	. . . . . . . . 9
106		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
107	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
108	106, 107	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
109	106	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12
110	106, 109	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11
111	108, 110	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
112	111	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$
113		peano2nn 11032	. . . . . . . . 9
114		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . 13
115	114	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
116		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13
117		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . 14
118	117	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . 13
119	116, 118	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . 12
120	115, 119	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . 11
121		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
123		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15
124	116, 123	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14
125	122, 124	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13
126	125, 123	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . 12
127		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . 15
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
129		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . 15
130	123, 129	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . 14
131	122, 124, 128, 130	mulgt1d 10960	. . . . . . . . . . . . 13
132	123, 125	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . 13
133	131, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12
134	126, 133	elrpd 11869	. . . . . . . . . . 11
135	120, 134	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10
136	115	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13
137		0le1 10551	. . . . . . . . . . . . . . 15
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
139	116, 123, 118, 138	addge0d 10603	. . . . . . . . . . . . 13
140	122, 124, 136, 139	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . 12
141	125, 140	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . 11
142	120, 141	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10
143	135, 142	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9
144	105, 112, 113, 143	fvmptd 6288	. . . . . . . 8
145	144	oveq2d 6666	. . . . . . 7
146	125	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
147	126	recnd 10068	. . . . . . . . . 10
148	141	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10
149	133	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . 10
150	141	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10
151	146, 147, 146, 148, 149, 150	divmuldivd 10842	. . . . . . . . 9
152	146, 146	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10
153	152, 147, 148, 149, 150	divdiv1d 10832	. . . . . . . . 9
154	146	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . 12
155	154	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11
156	155	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
158	151, 153, 157	3eqtr2d 2662	. . . . . . . 8
159	158	oveq2d 6666	. . . . . . 7
160	146	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11
161	160, 147, 149	divcld 10801	. . . . . . . . . 10
162	161, 148, 150	divrec2d 10805	. . . . . . . . 9
163	162	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
164		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13
165		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13
166	164, 165	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
167		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12
168	166, 167	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11
169		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . 15
170	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
171		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14
172	170, 171	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . 13
173	172	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . 12
174	173	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
175	168, 174	reccld 10794	. . . . . . . . . 10
176		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
177		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
178	177	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
179	177	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
180	177, 179	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
181	180	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15
182	178, 181	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
183	182	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
184		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14
185	184	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
186	169	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
187		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
188	186, 187	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
189		4nn0 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
190	189	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
191	188, 190	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
192	191	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16
193		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
194		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
195	193, 194	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
197	195, 196	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
198	195, 197	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
199	198	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . . . 16
200	186	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
201		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202	193, 194, 200, 201	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
203		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
204	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
205	204, 203	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
206		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
207	204, 206	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
208	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
209	127, 208	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
210		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
211	210	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
212		nnge1 11046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
213	203, 206, 204, 211, 212	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
214	203, 205, 207, 209, 213	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
215	203, 214	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
216	195, 196, 215	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
217	195, 197, 202, 216	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
218		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
219	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
220	198, 217, 219	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . 16
221	192, 199, 220	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15
222	184, 221	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14
223	222	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
224	176, 183, 185, 223	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
225	224, 223	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 $/\$
226		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
227	226	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
228	99, 225, 227	seqcl 12821	. . . . . . . . . 10
229	175, 228	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
230	148, 150	reccld 10794	. . . . . . . . 9
231	229, 230, 161	mul12d 10245	. . . . . . . 8
232	175, 228	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11
233	232	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
234	228, 175, 161	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10
235	167, 168, 160, 147, 174, 149	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . 12
236	160	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13
237	164, 165, 167	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
238	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
239	238	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
240	237, 239	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
241	240	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16
242	166, 164, 167	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . 16
243	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
244	243	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
245	241, 242, 244	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15
246	245	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14
247	168	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . 14
248	246, 247	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13
249	236, 248	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
250		2p2e4 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
251	53, 53, 250	mvlladdi 10299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
252	251	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
253	252	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
254	120	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . 16
255	218	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
256		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
257	256	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
258	146, 254, 255, 257	expsubd 13019	. . . . . . . . . . . . . . 15
259	253, 258	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
260	245	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15
261	260	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
262	259, 261	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13
263	146, 254, 257	expclzd 13013	. . . . . . . . . . . . . 14
264	147	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14
265	165, 167	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . . . 16
266	170	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16
267	113	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . 16
268	164, 265, 266, 267	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . 15
269	146, 268, 255	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14
270	147, 149, 255	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . 14
271	263, 160, 264, 269, 270	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . 13
272	146, 147	sqmuld 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15
273	272	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14
274	273	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
275	262, 271, 274	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . 12
276	235, 249, 275	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11
277	276	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
278	233, 234, 277	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9
279	278	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
280	163, 231, 279	3eqtrd 2660	. . . . . . 7
281	145, 159, 280	3eqtrd 2660	. . . . . 6
282		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10
283		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
284	283	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
285	284	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
286	284	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
287	284, 286	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
288	287	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
289	285, 288	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$
290	146, 147	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
291	290	sqcld 13006	. . . . . . . . . . 11
292	146, 147, 254, 149	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . 12
293	290, 292, 255	expne0d 13014	. . . . . . . . . . 11
294	263, 291, 293	divcld 10801	. . . . . . . . . 10
295	282, 289, 113, 294	fvmptd 6288	. . . . . . . . 9
296	295	eqcomd 2628	. . . . . . . 8
297	296	oveq2d 6666	. . . . . . 7
298	297	oveq2d 6666	. . . . . 6
299		seqp1 12816	. . . . . . . . 9
300	99, 299	syl 17	. . . . . . . 8
301	300	eqcomd 2628	. . . . . . 7
302	301	oveq2d 6666	. . . . . 6
303	281, 298, 302	3eqtrd 2660	. . . . 5
304	303	adantr 481	. . . 4 $/\$
305	102, 104, 304	3eqtrd 2660	. . 3 $/\$
306	305	ex 450	. 2
307	7, 14, 21, 28, 97, 306	nnind 11038	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c6 11074

cn0 11292

cz 11377 ;cdc 11493

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cseq 12801

cexp 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: wallispi2 40290

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